福建省寧德市民族中學(xué)(355000) 鄭一平

福建省寧德市第一中學(xué)(352100) 蘇華春

命題者常喜歡把數(shù)列與相關(guān)知識綜合作為高考壓軸題考查學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力和綜合素質(zhì),是基于數(shù)列既是高中數(shù)學(xué)的主干知識,又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),既具有函數(shù)的特征,又能構(gòu)成獨(dú)特的遞推關(guān)系.從近年高考數(shù)列試題可以看出,由過去單純考查數(shù)列知識或遞推數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為在知識交匯上做文章,常以綜合性問題形式作為壓軸題出現(xiàn).特別作為壓軸題常設(shè)計了許多層次恰當(dāng)、合理的綜合性問題,使數(shù)列與高中階段相關(guān)知識相結(jié)合,并以數(shù)列知識為載體注重考查數(shù)學(xué)推理能力和分析解決問題的能力,尤其考查學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng),成為學(xué)生數(shù)學(xué)高考得高分的關(guān)鍵.本文以浙江、北京、江蘇近兩年全國高考數(shù)列綜合題為例,分析其三種新題型及其解題方法特點(diǎn),對于做好數(shù)列教學(xué)與復(fù)習(xí),尤其對提升數(shù)列綜合題解題能力有很大幫助.

1 與不等式交匯的綜合題

這類試題似乎考數(shù)列但又不單純?yōu)閿?shù)列,尤其注意在知識交匯上做文章,設(shè)計了層次恰當(dāng)、合理的綜合性問題,使數(shù)列與高中階段重要的不等式等知識相結(jié)合, 考查不等式證明、計算的方法、技巧.

例1(2019年高考浙江卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a3= 4,a4=S3, 數(shù)列{bn}滿足: 對每n ∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;

(2)記Cn=證明:C1+C2+···+

分析(Ⅰ)首先求得數(shù)列{an}的首項和公差確定數(shù)列{an}的通項公式,然后結(jié)合三項成等比數(shù)列的充分必要條件整理計算即可確定數(shù)列{bn}的通項公式;

(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)果對數(shù)列{cn}的通項公式進(jìn)行放縮,然后利用不等式的性質(zhì)和裂項求和的方法即可證得題中的不等式.

解析(Ⅰ)由題意得解得:故數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-2.所以Sn=n(n-1).由n ∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列知:

整理得:

(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的通項公式可得:

評析本題(Ⅰ)主要考查數(shù)列通項公式的求解,(Ⅱ)考查如何根據(jù)條件把等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等量關(guān)系,通過放縮方法結(jié)合裂項求和達(dá)到目的,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

例2(2020年高考浙江卷理科第20 題)已知數(shù)列{an},{bn},{cn}中,a1=b1=c1= 1,cn=an+1-an,cn+1=

(Ⅰ)若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且公比q ＞0,且b1+b2=6b3,求q與{an}的通項公式;

(Ⅱ)若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列, 且公差d ＞0, 證明:c1+c2+···+cn ＜1+

分析(Ⅰ)根據(jù)b1+b2=6b3,求得q,進(jìn)而求得數(shù)列{cn}的通項公式,利用累加法求得數(shù)列{an}的通項公式.(ⅠⅠ)利用累乘法求得數(shù)列{cn}的表達(dá)式,結(jié)合裂項求和法證得不等式成立.

解(Ⅰ)依題意b1= 1,b2=q,b3=q2,而b1+b2= 6b3,即1+q=6q2,由于q ＞0,所以解得q=所以bn=因為bn+2=故cn+1=·cn= 4·cn,所以數(shù)列{cn}是首項為1, 公比為4 的等比數(shù)列, 所以cn= 4n-1.所以an+1- an=cn= 4n-1(n≥ 2,n ∈N*).所以an=a1+1+4+···+4n-2=

(ⅠⅠ)依題意設(shè)bn= 1+(n-1)d=dn+1-d, 由于(n≥2,n ∈N*),故

所以

由于d ＞0,b1= 1, 所 以bn+1＞0, 所 以即c1+c2+···+cn ＜1+n ∈N*.

評析本題對能力要求較高,主要考查累加法、累乘法求數(shù)列的通項公式,考查裂項求和法和推理論證能力、分析問題和解決問題的能力.

2 新定義型數(shù)列綜合題

新定義數(shù)列問題主要給出了數(shù)列新定義一種運(yùn)算、概念(如一種符號、一種圖形等)、一種性質(zhì)等,由過去單純考查數(shù)列知識或遞推數(shù)列問題以及在知識交匯上做文章,變?yōu)樵O(shè)計層次恰當(dāng)、合理的新問題,使數(shù)列與高中階段相關(guān)知識相結(jié)合,并以數(shù)列知識為載體注重考查數(shù)學(xué)推理能力和分析解決問題的能力,要求學(xué)生在短時間內(nèi)理解試題所給的新型定義,能將所學(xué)知識與方法遷移到不同情境中,進(jìn)而考查學(xué)生的理性思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

例3(2019年高考江蘇卷壓軸題)定義首項為1 且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”.

(Ⅰ)已知等比數(shù)列{an}滿足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求證: 數(shù)列{an}為“M-數(shù)列”;

(Ⅱ)已知數(shù)列{bn}滿足:b1= 1,其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項和.

①求數(shù)列{bn}的通項公式;

②設(shè)m為正整數(shù),若存在“M-數(shù)列”{cn}(n ∈N*),對任意正整數(shù)k,當(dāng)k≥m時,都有ck≤bk≤ck+1成立,求m的最大值.

分析(Ⅰ)只要求出數(shù)列{an}的通項公式即可判斷結(jié)論;

(Ⅱ)①由題意利用遞推關(guān)系式討論推理可得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列, 據(jù)此即可確定其通項公式; ②由①確定bk的值,將原問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化,構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得m的最大值.

解析(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,所以a1/=0,q /=0.由

因此數(shù)列{an}為“M-數(shù)列”.

②由①知,bk=k,k ∈N*.因為數(shù)列{cn}為“M-數(shù)列”,設(shè)公比為q,所以c1= 1,q ＞0.因為ck≤bk≤ck+1,所以qk-1≤k≤qk,其中k=1,2,3,...,m.當(dāng)k=1 時,有q≥1;當(dāng)k=2,3,...,m時,有

設(shè)f(x)=(x ＞1), 則f ′(x)=令f′(x)=0,得x=e.列表如下:

x (1,e)e (e,+∞)f′(x)+0-f(x)↗極大值↘

綜上,所求m的最大值為5.

評析本題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力.尤其問題(Ⅱ)②要通過觀察分析構(gòu)作函數(shù),把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題利用導(dǎo)數(shù)知識來解決.

例4(2020年高考江蘇卷第20 題)已知數(shù)列{an}(n ∈N*)的首項a1= 1,前n項和為Sn.設(shè)λ與k是常數(shù),若對一切正整數(shù)n,均有成立,則稱此數(shù)列為“λ-k”數(shù)列.

(Ⅰ)若等差數(shù)列{an}是“λ-1”數(shù)列,求λ的值;

(Ⅱ)若數(shù)列{an}是“-2”數(shù)列,且an ＞0,求數(shù)列{an}的通項公式;

(3)對于給定的λ, 是否存在三個不同的數(shù)列{an}為“λ-3”數(shù)列,且an≥0? 若存在,求λ的取值范圍;若不存在,說明理由,

分析(Ⅰ)根據(jù)定義得Sn+1-Sn=λan+1,再根據(jù)和項與通項關(guān)系化簡得an+1=λan+1,最后根據(jù)數(shù)列不為零數(shù)列得結(jié)果;

解(Ⅰ)Sn+1-Sn=λan+1,即an+1=λan+1,由a1=1,an+1/≡0,所以λ=1.

(Ⅱ)因為an ＞0,所以Sn+1＞Sn,所以因為所以所以Sn+1= 4Sn,所以Sn= 4n-1, 因為S1=a1= 1,Sn= 4n-1, 所以an= 4n-1-4n-2= 3·4n-2,n≥ 2, 所 以an=

(Ⅲ)假設(shè)存在三個不同的數(shù)列{an}為λ-3 數(shù)列.

有兩個不等正根,設(shè)f(x)=(λ3-1)x2+(λ3+2)x+(λ3-1)(λ/=1).

①當(dāng)λ ＜1 時, Δ = (λ3+2)2-4(λ3-1)2＞0?0＜λ3＜4,即0＜λ ＜1,此時f(0)=λ3-1＜0,對稱軸＞0,滿足題意.

②當(dāng)λ ＞1 時, Δ = (λ3+2)2-4(λ3-1)2＞0?0＜λ3＜4,即1＜λ ＜此時f(0)=λ3-1＞0,對稱軸x=-＜0,此情況有兩個不等負(fù)根,不滿足題意舍去.

綜上,0＜λ ＜1.

評析本題考查數(shù)列新定義、由和項求通項、一元二次方程實根分步以及綜合分析求解能力,屬難題.解決新定義問題的兩個突破點(diǎn): 一是正確理解新定義.耐心閱讀, 分析含義,準(zhǔn)確提取信息是解決這類問題的前提,剝?nèi)バ露x、新法則、新運(yùn)算的外表,利用所學(xué)的知識將陌生的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的性質(zhì),是解決這類問題的突破口.二是合理利用有關(guān)性質(zhì)是破解新定義型問題的關(guān)鍵.在解題時要善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用性質(zhì)的一些因素,并合理利用.問題(Ⅰ)比較簡單;問題(Ⅱ)根據(jù)遞推數(shù)列關(guān)系推導(dǎo)求得Sn= 4n-1,進(jìn)而求得an達(dá)到求解目的;問題(Ⅲ)則通過變形、代換,把問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題,把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題解決,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和推理能力.只有在分析條件理解題意的基礎(chǔ)上,用所學(xué)知識進(jìn)行推理方能奏效.

3.與數(shù)論相關(guān)的推理綜合題

例5(2019年高考北京卷壓軸題)已知數(shù)列{an},從中選取第i1項、第i2項、…、第in項(i1＜i2＜i3＜···＜in),若ai1＜ai2＜··· ＜aim,則稱新數(shù)列ai1,ai2,··· ,aim為{an}的長度為m的遞增子列.規(guī)定: 數(shù)列{an}的任意一項都是{an}的長度為1 的遞增子列.

(Ⅰ)寫出數(shù)列1,8,3,7,5,6,9 的一個長度為4 的遞增子列;

(Ⅱ)已知數(shù)列{an}的長度為p的遞增子列的末項的最小值為am0,長度為q的遞增子列的末項的最小值為an0.若p ＜q,求證:am0＜an0;

(Ⅲ)設(shè)無窮數(shù)列{an}的各項均為正整數(shù),且任意兩項均不相等.若{an}的長度為s的遞增子列末項的最小值為2s-1,且長度為s末項為2s-1 的遞增子列恰有2s-1 個(s=1,2,···),求數(shù)列{an}的通項公式.

分析(Ⅰ)由題意結(jié)合新定義的知識給出一個滿足題意的遞增子列即可;(Ⅱ)利用數(shù)列的性質(zhì)和遞增子列的定義證明題中的結(jié)論即可;(Ⅲ)觀察所要求解數(shù)列的特征給出一個滿足題意的通項公式,然后證明通項公式滿足題中所有的條件即可.

解析(Ⅰ)滿足題意的一個長度為4 的遞增子列為: 1,3,5,6.

(Ⅱ)對于每一個長度為q的遞增子列a1,a2,··· ,aq,都能從其中找到若干個長度為p的遞增子列a1,a2,··· ,ap,此時ap≤aq, 設(shè)所有長度為q的子列的末項分別為:{aq1,aq2,aq3,···}, 所有長度為p的子列的末項分別為:{ap1,ap2,ap3,···},則an0= mⅰn{aq1,aq2,aq3,···},注意到長度為p的子列可能無法進(jìn)一步找到長度為q的子列, 故am0≤mⅰn{ap1,ap2,ap3,···},據(jù)此可得:am0＜an0.

(Ⅲ)滿足題意的一個數(shù)列的通項公式可以是

下面說明此數(shù)列滿足題意.很明顯數(shù)列為無窮數(shù)列, 且各項均為正整數(shù), 任意兩項均不相等.長度為s的遞增子列末項的最小值為2s -1, 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明長度為s末項為2s -1 的遞增子列恰有2s-1個(s=1,2,···):當(dāng)n= 1 時命題顯然成立, 假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立, 即長度為k末項為2k -1 的遞增子列恰有2k-1個,則當(dāng)n=k+ 1 時, 對于n=k時得到的每一個子列as1,as2,··· ,ask―1,2k-1,可構(gòu)造:as1,as2,··· ,ask―1,2k-1,2(k+1)-1 和as1,as2,··· ,ask―1,2k,2(k+1)-1 兩個滿足題意的遞增子列,則長度為k+1 末項為2k+1 的遞增子列恰有2×2k-1=2k=2(k+1)-1個.

綜上可得,數(shù)列an==2,1,4,3,6,5,8,7 是一個滿足題意的數(shù)列的通項公式.

評析本小題主要考查接受新知識能力,引入新定義,要求利用定義結(jié)合條件解決相關(guān)問題,所謂“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種,然后根據(jù)此新定義去解決問題,有時還需要用類比的方法去理解新的定義,這樣有助于對新定義的透徹理解.但是,透過現(xiàn)象看本質(zhì),它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識,所以說“新題”不一定是“難題”,掌握好三基,以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.特別問題(Ⅲ)對觀察能力要求較高,觀察得到通項后要求能利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明有一定難度.

例6(2020年高考北京卷壓軸題)已知{an}是無窮數(shù)列.給出兩個性質(zhì):

①對于{an}中任意兩項ai,aj(i ＞j),在{an}中都存在一項am,使

②對于{an}中任意項an(n≥3),在{an}中都存在兩項ak,al(k ＞l).使得an=

(Ⅰ)若an=n(n=1,2,···),判斷數(shù)列{an}是否滿足性質(zhì)①,說明理由;

(Ⅱ)若an= 2n-1(n= 1,2,···),判斷數(shù)列{an}是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②,說明理由;

(Ⅲ)若{an}是遞增數(shù)列,且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②,證明:{an}為等比數(shù)列.

分析(Ⅰ)根據(jù)定義驗證,即可判斷;(Ⅱ)根據(jù)定義逐一驗證,即可判斷; (Ⅲ)首先,證明數(shù)列中的各項同號,然后證明a3=最后,用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列即可.

解(Ⅰ)因為a2= 2,a3= 3,/∈Z,所以{an}不具有性質(zhì)①;

(Ⅱ)因為?i,j ∈N*,i ＞j,=2(2i-j)-1,2i-j ∈N*,所以=a2i-j.所以{an}具有性質(zhì)①;因為?n ∈N*,n≥3,?k=n-1,l=n-2,= 2(2k-l)-1= 2n-1=an,所以{an}具有性質(zhì)②;

(Ⅲ)首先, 證明數(shù)列中的各項同號, 不妨設(shè)已知某項是正數(shù),往證數(shù)列各項恒為正數(shù).顯然an /= 0(n/∈N*),假設(shè)數(shù)列中存在負(fù)項,設(shè)N0= max{n|an ＜0},第一種情況: 若N0=1,即a1＜0＜a2＜a3＜···,由①可知: 存在m1,滿足am1=＜0,存在m2,滿足am2=＜0,由N0= 1可知從而a2=a3, 與數(shù)列的單調(diào)性矛盾, 假設(shè)不成立.第二種情況: 若N0≥2, 由①知存在實數(shù)m, 滿足am=＜0,由N0的定義可知:m≤N0,另一方面,am==aN0,由數(shù)列單調(diào)性可知:m ＞N0,這與N0的定義矛盾,假設(shè)不成立.

同理可證得數(shù)列中若存在負(fù)數(shù),則各項恒為負(fù)數(shù).綜上可得,數(shù)列中的各項同號.

其次, 證明a3=利用性質(zhì)②: 取n= 3, 此時(k ＞l), 由數(shù)列的單調(diào)性可知ak ＞al ＞0, 而a3=ak ·＞ak, 故k ＜3, 此時必有k= 2,l= 1, 即a3=,最后,用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列(過程留給讀者).

綜上可得,數(shù)列{an}的通項公式為:an=a1qn-1.即數(shù)列{an}為等比數(shù)列.

評析本題主要考查數(shù)列的綜合運(yùn)用,等比數(shù)列的證明,數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,數(shù)學(xué)歸納法與推理方法、不等式的性質(zhì)的綜合運(yùn)用等知識,意在考查學(xué)生的觀察能力、轉(zhuǎn)化能力和推理能力.問題(Ⅰ)與(Ⅱ)相對都比較簡單, 問題(Ⅲ)對能力要求較高,關(guān)鍵突破點(diǎn)有三: 一要根據(jù)證明需要分情況逐一討論;二要根據(jù)性質(zhì)②找到前三項的等比關(guān)系;三要根據(jù)性質(zhì)①找到數(shù)列中的其他項,并證明其他項依次滿足等比關(guān)系.