倪玉雙，蔣耀華，楊春俠

(1.長沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，長沙 410114； 2.中機(jī)國際工程設(shè)計(jì)研究院有限責(zé)任公司，長沙 410007)

“可持續(xù)發(fā)展”越來越成為各類工程結(jié)構(gòu)發(fā)展的主題，根據(jù)《工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》(GB 50153—2008)，《建筑結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》(GB 50068—2018)修訂中增加了“使結(jié)構(gòu)符合可持續(xù)發(fā)展的要求”。對(duì)于建筑結(jié)構(gòu)而言，可持續(xù)發(fā)展在社會(huì)方面的內(nèi)容就是要保證使用者的健康和舒適，保護(hù)建筑工程的文化價(jià)值[1]。

砌體結(jié)構(gòu)是一種重要的建筑結(jié)構(gòu)形式，在中國有大量的既有砌體結(jié)構(gòu)，包括大量的砌體古建筑，古建筑作為凝固的藝術(shù)，承載著大量而豐富的歷史信息，保護(hù)這些既有砌體結(jié)構(gòu)具有重要的意義。而這些既有砌體結(jié)構(gòu)在不同程度上需要定期的維修和加固，維修加固通常需要通過調(diào)查檢測(cè)、結(jié)構(gòu)試驗(yàn)獲得相關(guān)強(qiáng)度數(shù)據(jù)來進(jìn)行分析，砌體的抗壓強(qiáng)度就是一個(gè)非常重要的強(qiáng)度指標(biāo)。對(duì)于既有建筑砌體的抗壓強(qiáng)度，目前主要有兩種方法進(jìn)行檢測(cè)：直接法和間接法。直接法是在現(xiàn)場(chǎng)直接檢測(cè)砌體的抗壓強(qiáng)度，原位軸壓法屬于直接法；間接法是通過檢測(cè)砌筑塊材和砂漿的強(qiáng)度來計(jì)算砌體的強(qiáng)度[2]。由于樣本離散性、量測(cè)誤差等不確定因素的影響，這兩種方法推定的強(qiáng)度值在某些情況下存在差異。同時(shí)，對(duì)于既有砌體結(jié)構(gòu)而言，不管是哪種方法，都受到現(xiàn)場(chǎng)條件的限制，可獲得的砌體抗壓強(qiáng)度實(shí)測(cè)樣本有限，特別是對(duì)于具有歷史保護(hù)價(jià)值的砌體結(jié)構(gòu)，一磚一瓦都彌足珍貴，應(yīng)該盡可能地利用已有信息，對(duì)強(qiáng)度進(jìn)行合理推斷。

貝葉斯方法正是一種可以充分利用各種信息的有效方法，利用貝葉斯理論可賦予先驗(yàn)信息和似然函數(shù)中的樣本信息合理的權(quán)重，使得推斷結(jié)果更為全面合理。更為重要的是基于貝葉斯理論的強(qiáng)度推斷結(jié)果具有可持續(xù)性，已有的后驗(yàn)分布可以作為下一次強(qiáng)度推斷的先驗(yàn)信息，作為下一次進(jìn)行貝葉斯推斷的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，對(duì)于需要保護(hù)的砌體古建筑而言，可實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)的長期觀測(cè)，具有非常重要的工程價(jià)值和社會(huì)意義。目前，貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論在英美等西方發(fā)達(dá)國家已經(jīng)稱為當(dāng)前兩大統(tǒng)計(jì)學(xué)派之一，并在實(shí)踐中獲得了廣泛應(yīng)用。近年來，貝葉斯理論也被學(xué)者們應(yīng)用到巖土工程[3-5]和結(jié)構(gòu)工程[6-10]等領(lǐng)域進(jìn)行相關(guān)參數(shù)的不確定性分析，但在砌體結(jié)構(gòu)中進(jìn)行強(qiáng)度推斷方面的研究不多，彭斌，汪瀾涯[11-12]等基于貝葉斯方法對(duì)砌體抗壓強(qiáng)度進(jìn)行過推定，但是實(shí)現(xiàn)過程較為復(fù)雜。筆者用簡單可行且力學(xué)概念清晰的方法實(shí)現(xiàn)既有建筑砌體抗壓強(qiáng)度的貝葉斯推斷。

1 貝葉斯定理

貝葉斯學(xué)派的最基本的觀點(diǎn)是：任一個(gè)未知量θ都可以看作一個(gè)隨機(jī)變量，應(yīng)該用一個(gè)概率分布去描述θ的未知狀況。這個(gè)概率分布是在抽樣前就有的有關(guān)θ的先驗(yàn)信息的概率陳述，被稱為先驗(yàn)分布。

貝葉斯方法就是將關(guān)于未知參數(shù)的先驗(yàn)信息與樣本信息進(jìn)行綜合，再根據(jù)貝葉斯定理，得出后驗(yàn)信息去推斷未知參數(shù)。連續(xù)型隨機(jī)變量的貝葉斯公式可用式(1)表示[13]。

(1)

式中：π(θ|x)為后驗(yàn)密度函數(shù)，對(duì)應(yīng)的分布稱為后驗(yàn)分布，它綜合了有關(guān)參數(shù)θ的先驗(yàn)信息和抽樣信息。π(θ)是參數(shù)θ的先驗(yàn)密度函數(shù)，對(duì)應(yīng)的分布為先驗(yàn)分布。L(x|θ)為似然函數(shù)，一般來說，先驗(yàn)分布反映了人們?cè)诔闃忧皩?duì)參數(shù)θ的認(rèn)識(shí)，后驗(yàn)分布反映了人們?cè)诔闃雍髮?duì)參數(shù)θ的認(rèn)識(shí)，它實(shí)際上是通過抽樣信息對(duì)參數(shù)θ的先驗(yàn)信息進(jìn)行調(diào)整，因此，基于后驗(yàn)分布對(duì)參數(shù)θ進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷更加有效，也更加合理。也可以把式(1)寫成式(2)。

π(θ|x)∝L(x|θ)π(θ)

(2)

其中：∝表示“正比于”，兩邊只差一個(gè)不依賴于θ的常數(shù)因子，式(2)右端雖不是正常的密度函數(shù)，但它是后驗(yàn)分布π(θ|x)的核，在某些時(shí)候可以用來簡化后驗(yàn)分布的計(jì)算。

2 砌體抗壓強(qiáng)度的貝葉斯推斷

2.1 似然函數(shù)

《建筑結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》(GB 50068—2018)明確規(guī)定材料強(qiáng)度的概率分布宜采用正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布，因此，砌體抗壓強(qiáng)度、塊體強(qiáng)度和砂漿強(qiáng)度概率模型均用對(duì)數(shù)正態(tài)分布表示。因?yàn)槠鲶w抗壓強(qiáng)度與塊體強(qiáng)度和砂漿強(qiáng)度有關(guān)，若有塊體強(qiáng)度和砂漿強(qiáng)度的觀測(cè)值，可利用砌體抗壓強(qiáng)度與二者的關(guān)系建立砌體抗壓強(qiáng)度的似然函數(shù)。

《砌體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50003—2011)[14]采用式(3)來計(jì)算砌體抗壓強(qiáng)度平均值。

(3)

式中：fm為砌體抗壓強(qiáng)度平均值；f1為塊體的強(qiáng)度等級(jí)值或平均值；f2為砂漿抗壓強(qiáng)度平均值；α為與塊體高度有關(guān)的參數(shù)；k1為反映塊體種類的參數(shù)；k2為采用低強(qiáng)度等級(jí)砂漿時(shí)的修正系數(shù)。α、k1和k2的取值規(guī)定見《砌體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50003—2011)。為構(gòu)造砌體抗壓強(qiáng)度平均值fm的似然函數(shù)，對(duì)式(3)兩邊取對(duì)數(shù)[12]，得到式(4)。

ln(fm)=lnk1+αlnf1+ln(1+0.07f2)+lnk2

(4)

令fm=ln(fm)、K1=lnk1、F1=lnf1、F2=ln(1+0.07f2)、K2=lnk2，則式(4)可寫成(5)。

Fm=K1+αF1+F2+K2

(5)

θFm=K1+α×θF1+θF2+K2

(6)

(7)

由此可知，若有一組塊體和砂漿的強(qiáng)度觀測(cè)值，則可以通過間接法推定出砌體抗壓強(qiáng)度的一組樣本觀察值Fm,1，F(xiàn)m,2,…，F(xiàn)m,n，可建立式(8)的砌體抗壓強(qiáng)度樣本的似然函數(shù)。

L(Fm|θ)=

(8)

2.2 后驗(yàn)分布

以上砌體抗壓強(qiáng)度樣本的似然函數(shù)為正態(tài)分布，為了便于推導(dǎo)強(qiáng)度均值的后驗(yàn)分布，利用對(duì)數(shù)正態(tài)分布與正態(tài)分布的關(guān)系進(jìn)行簡單的變換，用另一正態(tài)分布N(μ,τ2)作為均值θ的先驗(yàn)分布，利用先驗(yàn)信息可確定μ和τ2的取值。

先驗(yàn)分布和似然函數(shù)都確定后，即可由式(2)得出砌體抗壓強(qiáng)度均值的后驗(yàn)分布，如式(9)所示。

π(θ|Fm)∝L(Fm|θ)π(θ)∝

(9)

從μ1的計(jì)算公式可以看出，后驗(yàn)均值是在先驗(yàn)均值與似然函數(shù)中的樣本均值間采取折中方案，有了砌體抗壓強(qiáng)度均值的后驗(yàn)分布后，即可綜合先驗(yàn)信息和樣本信息對(duì)強(qiáng)度均值進(jìn)行更好的推斷，由上式可知，要定量計(jì)算出后驗(yàn)分布，還需要對(duì)塊體和砂漿的概率密度模型進(jìn)行推定。

3 塊體和砂漿強(qiáng)度概率密度模型推定

3.1 塊體強(qiáng)度f1的概率密度模型

(10)

對(duì)于某一樣本F1,1,F1,2,……，F(xiàn)1,n其對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)為

(11)

于是，可以得到其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

(12)

將對(duì)數(shù)似然函數(shù)分別對(duì)于均值和方差求導(dǎo)以求得其對(duì)應(yīng)的極大似然估計(jì)值，得到式(13)。

(13)

(14)

3.1.2 參數(shù)估計(jì)值的偏差分析 求得參數(shù)的估計(jì)值以后，利用無偏性準(zhǔn)則來評(píng)價(jià)估計(jì)量的好壞。估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)參數(shù)的真實(shí)值，則稱此估計(jì)量為被估計(jì)參數(shù)的無偏估計(jì)，即具有無偏性。下面即對(duì)塊體強(qiáng)度分布的均值和方差的極大似然估計(jì)值的偏差進(jìn)行分析。

(15)

(16)

(17)

(18)

只要有一組塊體強(qiáng)度的觀測(cè)值，就可以按式(18)的均值和方差的估計(jì)值確定其分布。

3.2 砂漿強(qiáng)度f2的概率密度模型

(19)

塊體和砂漿強(qiáng)度的概率模型確定以后，按式(8)可確定抗壓強(qiáng)度的似然函數(shù)，按現(xiàn)場(chǎng)原位軸壓法測(cè)試的砌體抗壓強(qiáng)度確定先驗(yàn)分布，則對(duì)應(yīng)的后驗(yàn)分布即可按式(9)確定。后驗(yàn)分布確定后既可以得到砌體抗壓強(qiáng)度的貝葉斯推斷值，下面用一具體算例說明整個(gè)實(shí)現(xiàn)過程。

4 算例

以國網(wǎng)湖南省電力有限公司東塘二辦公樓結(jié)構(gòu)現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)結(jié)果對(duì)砌體抗壓強(qiáng)度進(jìn)行貝葉斯推斷。根據(jù)《砌體工程現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)》(GB/T 50315—2011)[15]的規(guī)定采用回彈法檢測(cè)磚與砂漿抗壓強(qiáng)度，現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)如圖1所示，采用現(xiàn)場(chǎng)原位軸壓法檢測(cè)砌體抗壓強(qiáng)度，現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)如圖2所示。

圖2 砌體原位軸壓強(qiáng)度檢測(cè)Fig.2 Axial compression in situ of

4.1 砌體抗壓強(qiáng)度平均值

將整幢建筑的承重墻體劃分為1個(gè)檢測(cè)單元，從1層到6層的墻體共選擇10個(gè)測(cè)區(qū)，每個(gè)測(cè)區(qū)中選擇10個(gè)測(cè)位進(jìn)行磚的回彈測(cè)試，將回彈測(cè)試值按《砌體結(jié)構(gòu)工程現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)》(GB/T 50315—2011)中的數(shù)據(jù)分析要求換算為磚抗壓強(qiáng)度平均值，見表1中f1，在磚塊回彈測(cè)試的相同測(cè)區(qū)內(nèi)同樣選擇10個(gè)測(cè)位進(jìn)行砂漿的回彈測(cè)試，并根據(jù)回彈值和碳化深度值按《砌體結(jié)構(gòu)工程現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)》(GB/T 50315—2011)中的數(shù)據(jù)分析要求換算為砂漿抗壓強(qiáng)度平均值，見表1中f2，在磚和砂漿強(qiáng)度的10個(gè)測(cè)區(qū)中選擇3個(gè)部位將承重墻體開槽后進(jìn)行原位軸壓法測(cè)試，并將槽間砌體抗壓強(qiáng)度換算為標(biāo)準(zhǔn)砌體抗壓強(qiáng)度，見表1中fm。

表1 抗壓強(qiáng)度檢測(cè)值Table 1 Compressive strength of inspection value

圖3 砌體抗壓強(qiáng)度的分布Fig.3 Distribution of compressive strength of

利用對(duì)數(shù)正態(tài)分布與正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換關(guān)系可知，通過抗壓強(qiáng)度均值的后驗(yàn)分布可得砌體抗壓強(qiáng)度平均值的貝葉斯推斷值為2.58 MPa，而由檢測(cè)結(jié)果可知，現(xiàn)場(chǎng)原位測(cè)試的砌體抗壓強(qiáng)度平均值為2.64 MPa，將表1中的塊體強(qiáng)度平均值f1和砂漿強(qiáng)度平均值f2代入式(3)可計(jì)算出砌體抗壓強(qiáng)度平均值為2.42 MPa?？梢?，利用貝葉斯理論推斷的砌體抗壓強(qiáng)度平均值介于現(xiàn)場(chǎng)原位測(cè)試結(jié)果和利用塊體和砂漿強(qiáng)度檢測(cè)值計(jì)算的結(jié)果之間，能夠?qū)煞N方法的信息按照一定的權(quán)重比進(jìn)行綜合。

4.2 砌體抗壓強(qiáng)度推定值

原位軸壓法測(cè)得的砌體抗壓強(qiáng)度平均值為2.64 MPa，但原位軸壓法的測(cè)區(qū)為3個(gè)，小于6，故按式(15.0.8-3)確定砌體抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值的推定值，即取測(cè)區(qū)砌體抗壓強(qiáng)度的最小值2.61 MPa。

由此可知，對(duì)于砌體抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值的推定值，原位軸壓法測(cè)試值推定的為2.61 MPa，利用塊體和砂漿的回彈檢測(cè)值推定得到的為2.01 MPa，貝葉斯方法計(jì)算得到的為2.51 MPa，仍然介于兩者之間，進(jìn)一步說明利用貝葉斯方法可以將直接法和間接法獲得的砌體強(qiáng)度信息相結(jié)合，從而降低推定結(jié)果的不確定性。

5 結(jié)論

1)既有建筑砌體抗壓強(qiáng)度的貝葉斯推斷可以將現(xiàn)場(chǎng)原位測(cè)試的砌體抗壓強(qiáng)度值和通過塊體和砂漿強(qiáng)度推定的計(jì)算值以一定的權(quán)重相結(jié)合，若似然函數(shù)中樣本均值的方差偏小，則其在后驗(yàn)均值中的權(quán)重就大，反之，所占的權(quán)重就小，即貝葉斯推斷的后驗(yàn)分布是在先驗(yàn)分布與似然函數(shù)間采取的折中方案，使得最后的結(jié)果充分考慮各種信息，更為全面合理。

2)既有砌體結(jié)構(gòu)抗壓強(qiáng)度的貝葉斯推斷結(jié)果具有可持續(xù)性，已有的后驗(yàn)分布可以作為下一次強(qiáng)度推斷的先驗(yàn)信息，在實(shí)際工程中可實(shí)現(xiàn)強(qiáng)度的動(dòng)態(tài)長期觀測(cè)。

3)既有砌體結(jié)構(gòu)抗壓強(qiáng)度的貝葉斯推斷中的思路和方法可推廣到其他強(qiáng)度指標(biāo)，對(duì)檢測(cè)、結(jié)構(gòu)試驗(yàn)獲得的相關(guān)強(qiáng)度數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，作為砌體結(jié)構(gòu)定期維修和加固的依據(jù)，降低推定結(jié)果的不確定性，有利于客觀分析和決策，為最大程度地實(shí)現(xiàn)砌體結(jié)構(gòu)的可持續(xù)發(fā)展提供基礎(chǔ)。