(大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,大連 116024)

1 引 言

不確定性廣泛存在于物理系統(tǒng)的整個生命周期中，隨著實(shí)際問題日益復(fù)雜，描述材料屬性、結(jié)構(gòu)幾何、載荷條件以及制造公差等的不確定性信息呈現(xiàn)多元化特點(diǎn)，通常可分為隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性。前者描述的是物理系統(tǒng)的固有特性，通常采用概率形式量化；后者則是由于對物理系統(tǒng)的認(rèn)識水平和信息缺乏而產(chǎn)生的認(rèn)知差異，通常采用區(qū)間形式量化。實(shí)際工程的不確定分析問題中，隨機(jī)與認(rèn)知不確定性經(jīng)常同時存在，因此解決多種類型不確定性變量的混合可靠性分析越來越受關(guān)注。

近年來，眾多國內(nèi)外學(xué)者對混合可靠性問題進(jìn)行了深入的研究。王睿星等[1]綜述了已有的4種主要非概率可靠性模型，針對線性功能函數(shù)分別從度量原理、可靠性指標(biāo)物理意義、適用范圍和結(jié)果精度等方面對各模型進(jìn)行了對比和總結(jié)。郭書祥等[2]結(jié)合結(jié)構(gòu)的概率和非概率混合模型，通過兩級功能方程的逐次建立及可靠性分析,給出結(jié)構(gòu)可靠的概率度量。Du[3]提出了基于一階可靠性方法的FORM(First Order Reliability Method)的統(tǒng)一不確定性分析方法，稱為FORM-UUA，可以處理具有高魯棒性的黑箱功能函數(shù)；Guo等[4]基于該方法對具有隨機(jī)變量和區(qū)間變量的混合可靠性問題進(jìn)行了敏感性分析。Jiang等[5]構(gòu)造了一個等效的隨機(jī)變量單層優(yōu)化算法，改進(jìn)了雙層循環(huán)算法的效率和穩(wěn)定性，可計(jì)算最大失效概率。賈大衛(wèi)等[6]采用Laplace漸進(jìn)積分法分析了凸集-概率混合模型的結(jié)構(gòu)可靠性問題。上述方法在處理功能函數(shù)高非線性和多設(shè)計(jì)點(diǎn)的情況容易出現(xiàn)計(jì)算失真。

在可靠性分析方法中，蒙特卡洛模擬MCS(Monte Carlo Simulation)是適用性和魯棒性最好的方法，不受隨機(jī)變量數(shù)目和功能函數(shù)形式的影響。但是在求解小失效概率問題時，需要大量的隨機(jī)樣本。為了解決MCS方法計(jì)算效率低的問題，往往采用減少方差的模擬方法，其中重要性抽樣通過引入重要性抽樣函數(shù)，來提高隨機(jī)樣本落入失效區(qū)域的幾率。Liu等[7]提出了一種基于FORM-UUA的重要抽樣法用于處理隨機(jī)和相關(guān)區(qū)間變量的混合可靠性問題，但是當(dāng)功能函數(shù)具有高非線性或者多設(shè)計(jì)點(diǎn)的情況下，該方法很難準(zhǔn)確定位失效面附近，進(jìn)而影響最終失效概率的準(zhǔn)確性。序列重要抽樣方法SIS(Sequential Importance Sampling)是一種有效的自適應(yīng)重要抽樣方法，通過中間分布的逐級采樣逼近最優(yōu)重要抽樣函數(shù)，漸近收斂的特性使得算法處理復(fù)雜功能函數(shù)更加有效，在隨機(jī)不確定性分析領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，包括可靠性分析[8,9]、可靠性靈敏性分析[10]及可靠性優(yōu)化[11]等。

同時，為了節(jié)省耗時功能函數(shù)的可靠性分析的計(jì)算成本，代理模型技術(shù)在可靠性分析領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。Kriging[12,13]模型是最常用的代理模型之一，本質(zhì)上是一個高斯過程模型，可以給出功能函數(shù)在未知點(diǎn)的預(yù)測均值和預(yù)測方差，為后續(xù)改進(jìn)代理模型的精度提供了更多的可能。Yang等[14]將主動學(xué)習(xí)Kriging與MCS方法相結(jié)合用于解決隨機(jī)-區(qū)間混合可靠性問題，稱為ALK-HRA方法(Active Learning Kriging model for Hybrid Reliability Analysis)。Zhang等[15]提出一種基于投影邊界的主動學(xué)習(xí)方法，提高了ALK-HRA方法的效率。但是基于MCS的方法在面對小失效概率問題時，過大的樣本數(shù)使得主動學(xué)習(xí)過程變得繁雜耗時。

本文將序列重要抽樣方法與主動學(xué)習(xí)Kriging模型結(jié)合，提出了一種有效處理隨機(jī)-區(qū)間混合可靠性問題的方法。在序列重要采樣方法中采用高斯混合分布作為提議分布進(jìn)行逐級采樣，通過合理選擇高斯混合分布的參數(shù)使得算法適用于復(fù)雜功能函數(shù)；提出了構(gòu)建Kriging模型的兩步主動學(xué)習(xí)策略，在保證算法準(zhǔn)確性的前提下顯著提高計(jì)算效率。

2 隨機(jī)-區(qū)間混合可靠性問題

對于隨機(jī)變量和區(qū)間變量同時存在的混合可靠性問題，功能函數(shù)G(X,Y)包含隨機(jī)變量X和區(qū)間變量Y。考慮區(qū)間變量，可以定義功能函數(shù)的上下界為

Gmax(X)={maxYG(X,Y)|Y∈D}

(1)

Gmin(X)={minYG(X,Y)|Y∈D}

(2)

式中D=[YL,YU]為區(qū)間變量取值范圍，Gmin(X)和Gmax(X)分別為區(qū)間變量影響下功能函數(shù)的最小值和最大值，圖1給出了設(shè)計(jì)空間中的失效區(qū)域。定義失效概率的上下邊界為

圖1 混合可靠性問題失效區(qū)域

(3)

(4)

混合可靠性分析就是計(jì)算失效概率的上下邊界，這是一個雙循環(huán)的過程，內(nèi)層循環(huán)采用優(yōu)化算法求解功能函數(shù)的極值響應(yīng)，外層循環(huán)采用概率分析方法求解失效概率?？梢圆捎妹商乜宸椒∕CS求解式(3,4)。首先，根據(jù)隨機(jī)變量分布函數(shù)產(chǎn)生大量樣本，然后估計(jì)每一個樣本在區(qū)間變量影響下的最大和最小響應(yīng)，最終統(tǒng)計(jì)失效響應(yīng)的占比即可得到失效概率。雖然MCS方法具有很強(qiáng)的魯棒性和適應(yīng)性，但是計(jì)算成本較大。

3 基于主動學(xué)習(xí)Kriging的序列重要抽樣方法

3.1 混合可靠性分析的序列重要抽樣方法

重要性抽樣通過引入合理的重要抽樣函數(shù)h(X)，使得產(chǎn)生樣本落入失效區(qū)域的概率增加，從而提高采樣效率。在重要性抽樣中，失效概率的計(jì)算式表示為

(5)

(6)

(7)

(8)

重要抽樣方法的關(guān)鍵是合理選取重要抽樣函數(shù)hU(X)和hL(X)。如果選取得當(dāng)，可以顯著降低采樣方差，節(jié)省計(jì)算成本。理論上存在最優(yōu)的重要抽樣函數(shù)使采樣方差為0，形式如下

(9)

(10)

(11)

式中Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)。隨著參數(shù)σ逐漸趨近于0，光滑函數(shù)對于指示函數(shù)的近似效果越好，即存在如下極限情況

(12)

(13)

(14)

(15)

中間分布的參數(shù)選擇是SIS方法的重要組成部分。為了確保相鄰中間分布之間的歸一化常數(shù)比估計(jì)值式(15)的準(zhǔn)確性，應(yīng)該合理選擇參數(shù)σ使得相鄰分布之間的差異不大。文獻(xiàn)[9]提出了一種自適應(yīng)的參數(shù)σ選取方式。即在SIS的每一個迭代步中，可以通過求解下面的優(yōu)化問題自適應(yīng)的選擇參數(shù)σ。

(16)

(17)

(18)

3.2 主動學(xué)習(xí)Kriging模型

本文采用Kriging模型近似真實(shí)功能函數(shù)。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)DoE(Design of Experiments)方法影響著Kriging模型的精度與效率，雖然可以通過DoE方法選取足夠多的樣本來提高Kriging模型的精度，但是會增加計(jì)算負(fù)擔(dān)。為了平衡樣本數(shù)和模型精度，學(xué)者們提出了構(gòu)建代理模型的主動學(xué)習(xí)方法，通過少量的初始樣本構(gòu)建Kriging模型，然后采用某種學(xué)習(xí)方案序列的增加樣本點(diǎn)，逐步提高Kriging模型的精度，如U準(zhǔn)則[18]、EFF準(zhǔn)則[19]和H準(zhǔn)則[20]等。其中U準(zhǔn)則是一種簡單高效的主動學(xué)習(xí)策略，旨在將Kriging預(yù)測最不準(zhǔn)確的點(diǎn)逐次加入到訓(xùn)練樣本中。其學(xué)習(xí)函數(shù)如下

(19)

3.3 本文方法流程

本文提出基于主動學(xué)習(xí)Kriging模型與序列重要抽樣方法相結(jié)合的ALK-HRA-SIS方法，求解隨機(jī)-區(qū)間混合可靠性問題。SIS方法通過分布序列的逐級采樣，將初始樣本逐漸轉(zhuǎn)移到近似最優(yōu)的重要密度函數(shù)附近。當(dāng)與主動學(xué)習(xí)Kriging方法相結(jié)合時，Kriging模型的近似精度需要滿足以下兩點(diǎn)需求，一是保證分布序列可以無偏收斂到近似最優(yōu)的重要密度函數(shù)附近，二是確保最終的重要采樣過程計(jì)算失效概率的準(zhǔn)確性。因此，本文提出了兩步主動學(xué)習(xí)策略，即在SIS方法的分布序列第一級和最后一級分別進(jìn)行Kriging主動學(xué)習(xí)。第一個主動學(xué)習(xí)過程針對SIS分布序列的初始樣本集，第一次提高Kriging模型的預(yù)測精度，以獲得功能函數(shù)的整體近似。第二個主動學(xué)習(xí)過程針對SIS分布序列的最終重要樣本集，第二次提升Kriging模型預(yù)測精度，保證最終失效概率計(jì)算的準(zhǔn)確性。圖2為基于主動學(xué)習(xí)Kriging模型的序列重要抽樣方法流程，具體步驟如下。

圖2 本文方法ALK-HRA-SIS流程

(1) 初始化Kriging代理模型。采用拉丁超立方抽樣在變量空間產(chǎn)生少量初始DoE樣本，隨機(jī)變量采用均值附近5倍標(biāo)準(zhǔn)差作為采樣范圍，區(qū)間變量采樣范圍即為變量界限。利用Matlab toolbox DACE建立初始化的代理模型。

(2) 產(chǎn)生初始樣本集。迭代步j(luò)=1，為了計(jì)算失效概率的上下邊界，SIS方法需要兩個分布序列，其初始分布相同(隨機(jī)變量的初始概率分布)，可以采用相同的初始樣本集ΩM C。對于隨機(jī)變量，根據(jù)分布產(chǎn)生隨機(jī)樣本；對于區(qū)間變量，采用LHS產(chǎn)生樣本。

(3) 主動學(xué)習(xí)過程。使用Kriging模型預(yù)測初始樣本集ΩM C的預(yù)測值和預(yù)測方差，采用U準(zhǔn)則識別需要更新的樣本點(diǎn)，加入到訓(xùn)練樣本中，重新建立Kriging代理模型，重復(fù)上述過程，樣本集上的U值最小值滿足min(U)≥2時停止更新。

(4) 構(gòu)造SIS分布序列。對于失效概率的上下邊界，需要分別構(gòu)造SIS的分布序列。采用上面步驟給出的Kriging模型，依照式(13～16)分別構(gòu)造用于計(jì)算失效概率上下邊界的分布序列，當(dāng)兩個分布序列收斂時，記錄當(dāng)前算法迭代步為j=ML和j=MU。

(20)

(21)

(6) 主動學(xué)習(xí)過程。使用Kriging模型預(yù)測樣本集ΩI S的預(yù)測值和預(yù)測方差，采用U準(zhǔn)則識別需要更新的樣本點(diǎn)，加入到訓(xùn)練樣本中，重新建立Kriging代理模型，重復(fù)上述過程，樣本集上的U值最小值滿足min(U)≥2時停止更新。

(7) 失效概率計(jì)算。根據(jù)式(17，18)，采用Kriging模型預(yù)測失效概率的上下邊界。

4 算例分析

通過三個算例將本文提出的ALK-HRA-SIS算法與其他幾種常用的混合可靠性分析方法進(jìn)行比較，包括MCS、SIS、FORM-UUA[3]和ALK-HRA[14]，說明本文方法的計(jì)算效率和精度。對于每個算例，MCS采用200×106次真實(shí)功能函數(shù)調(diào)用，其中根據(jù)隨機(jī)變量概率分布產(chǎn)生106個樣本，根據(jù)區(qū)間變量產(chǎn)生200個樣本，參考解是獨(dú)立運(yùn)行MCS方法10次所得的平均值。

4.1 算例1

本算例來源于文獻(xiàn)[19]，本文對其進(jìn)行了適當(dāng)修改，功能函數(shù)如下,

(22)

式中x1和x2是相互獨(dú)立的正態(tài)分布隨機(jī)變量，x1～N(1.5,1)，x2～N(2.5,1)，y為區(qū)間變量，取值范圍是[2,2.5]。已有研究[19]表明，該算例的功能函數(shù)在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間形狀復(fù)雜，呈高非線性和多峰特性。本算例中，ALK-HRA-SIS方法初始樣本集ΩM C個數(shù)為5000，每個中間分布取樣個數(shù)為2000。

表1給出了不同方法的計(jì)算結(jié)果，其中，Pmax和Pmin分別為失效概率的上下界限，Ncall為調(diào)用實(shí)際功能函數(shù)的次數(shù)，相對誤差(%)(U/L)為失效概率結(jié)果與MSC方法參考解的相對誤差，U和L分別對應(yīng)失效概率的上下界。

表1 算例1結(jié)果

由表1可知，F(xiàn)ORM-UUA是基于一階可靠度法的統(tǒng)一不確定性分析方法，分別采用了441次和1114次功能函數(shù)調(diào)用近似求解失效概率的上下界限，Ncall為二者的和1555次，失效概率結(jié)果相對誤差很大，Pmax的相對誤差達(dá)到了274.25%。ALK-HRA的功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)為初始DoE樣本和主動學(xué)習(xí)增加樣本數(shù)目相加，共51次。本文提出的ALK-HRA-SIS實(shí)際功能函數(shù)為初始DoE樣本與兩次主動學(xué)習(xí)過程增加樣本數(shù)目相加，共41次。SIS,ALK-HRA和ALK-HRA-SIS方法的失效概率相對誤差均較小，其中SIS方法結(jié)果最接近MCS參考解，但計(jì)算量很大。相比ALK-HRA，本文的ALK-HRA-SIS方法計(jì)算精度更高，誤差小于1%，而且功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)更少，降低了樣本池的規(guī)模，提升了算法的計(jì)算效率。

圖3給出了本文方法獲得的最終重要抽樣樣本與真實(shí)失效面，可以看出，ALK-HRA-SIS方法可以準(zhǔn)確定位失效面的兩個重要區(qū)域。同時，獲得的兩組重要樣本的分布變化也捕捉到了最大與最小失效面的重要區(qū)域的變化。

圖3 ALK-SIS最后一級樣本

4.2 算例2

該算例是概率可靠性領(lǐng)域常用的例子，本文稍作修改，功能函數(shù)如下,

(23)

式中x1和x2為相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，y是區(qū)間變量，取值范圍為[2.5,3.2]。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，該算例的失效域具有多個設(shè)計(jì)點(diǎn)，同時失效域是斷開的。FORM-UUA無法求解多設(shè)計(jì)點(diǎn)問題。

在本算例中，ALK-HRA和ALK-HRA-SIS方法的初始DoE設(shè)置為12。表2給出了不同方法的結(jié)果對比。盡管SIS精度很好，但函數(shù)調(diào)用次數(shù)太多；相比ALK-HRA方法，本文的方法在計(jì)算效率(功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)43=12+20+11)和計(jì)算精度(誤差分別為1.32%和1.60%)方面都有優(yōu)勢，說明本文方法可有效解決功能函數(shù)多設(shè)計(jì)點(diǎn)和高非線性問題。

表2 算例2結(jié)果

圖4給出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中本文方法樣本點(diǎn)逐漸向最優(yōu)重要抽樣函數(shù)收斂的過程，算法在4步迭代之后收斂到重要失效區(qū)域，準(zhǔn)確捕捉到了最優(yōu)和次優(yōu)失效面，同時重要樣本的分布比例也表明了兩個失效區(qū)域?qū)τ谑Ц怕实呢暙I(xiàn)程度。

圖4 對應(yīng)失效概率下界的SIS樣本收斂過程

4.3 算例3

如圖5所示，屋頂結(jié)構(gòu)受到均勻分布荷載q作用。頂層與壓桿材料為混凝土，而底層與拉桿由鋼材料構(gòu)成。在結(jié)構(gòu)分析中，均勻分布載荷等效為三個節(jié)點(diǎn)載荷，大小為P=ql/4。表3給出了隨機(jī)和區(qū)間變量的參數(shù)信息。功能函數(shù)定義如下，

表3 屋頂結(jié)構(gòu)不確定性變量

圖5 屋頂結(jié)構(gòu)

(24)

式中EC和ES分別為混凝土和鋼筋的楊氏模量，AC和AS分別為其橫截面積。功能函數(shù)表示節(jié)點(diǎn)C豎向撓度大于0.025 m則結(jié)構(gòu)失效。

該算例有2個區(qū)間變量，因此采用400個區(qū)間樣本用于估計(jì)失效概率的極值。同樣，ALK-HRA與ALK-HRA-SIS方法的初始DoE設(shè)置為12?？梢钥闯?，對于屋頂結(jié)構(gòu)混合可靠性問題，F(xiàn)ORM-UUA相對誤差最大，ALK-HRA與本文方法的相對誤差均很小，本文方法的計(jì)算精度更高，真實(shí)函數(shù)調(diào)用次數(shù)更少(46次)。

表4 算例3結(jié)果

5 結(jié) 論

對于隨機(jī)-區(qū)間混合可靠性分析中的復(fù)雜功能函數(shù)，如高非線性和多設(shè)計(jì)點(diǎn)，本文提出了結(jié)合序列重要抽樣方法和主動學(xué)習(xí)Kriging模型的ALK-HRA-SIS方法。通過自適應(yīng)的分布序列逐級采樣，實(shí)現(xiàn)對最優(yōu)重要抽樣密度的近似取樣，采樣過程中使用主動學(xué)習(xí)Kriging模型近似計(jì)算樣本響應(yīng)值，顯著降低了功能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)，在保證結(jié)果精度的同時提高了序列重要抽樣的計(jì)算效率。算例分析表明，與FORM-UUA相比，本文方法對于高非線性及多設(shè)計(jì)點(diǎn)問題的處理能力更強(qiáng)；與ALK-HRA方法相比，降低了樣本池的規(guī)模，提高了實(shí)際問題的計(jì)算效率。

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