白 杰，孫熠璇，劉子嘉，杜建祥

（北京空間機(jī)電研究所，北京 100094）

0 引言

空間相機(jī)在軌工作時(shí)處于微重力（10-3g～10-4g）環(huán)境，而其裝配與測(cè)試一般在地面重力環(huán)境下進(jìn)行，因此需要進(jìn)行重力卸載來模擬空間微重力環(huán)境[1]，以保證成像光路中所有光學(xué)元件的面形、位移及角度在地面測(cè)試過程中與在軌成像時(shí)一致。空間相機(jī)對(duì)光學(xué)元件的面形及位置精度有極高的要求，特別是具備可見光成像功能的空間飛行器，其反射鏡的面形RMS 一般需要達(dá)到(1/50)λ，甚至(1/60)λ；反射鏡的位置精度一般需要達(dá)到0.01 mm 級(jí)別，甚至μm 級(jí)別。同時(shí)，受火箭發(fā)射能力及發(fā)射成本的制約，常常要求空間相機(jī)的光機(jī)主體進(jìn)行結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)，因此空間相機(jī)常具有尺寸大、剛度低的特點(diǎn)，且其光機(jī)系統(tǒng)對(duì)位置穩(wěn)定性要求很高，使得空間相機(jī)地面裝調(diào)過程中的微重力環(huán)境模擬異常復(fù)雜困難。在空間相機(jī)地面裝調(diào)重力卸載仿真計(jì)算過程中，仿真模型較結(jié)構(gòu)實(shí)際狀態(tài)存在誤差，故一般要求仿真計(jì)算的反射鏡面形RMS 及位置精度優(yōu)于指標(biāo)要求的30%，因而對(duì)于一般的反射鏡，仿真計(jì)算結(jié)果需滿足其面形RMS 優(yōu)于(6/1000)λ，位置變化量小于1 μm。

針對(duì)空間相機(jī)及其他空間飛行器的地面微重力環(huán)境模擬，諸多學(xué)者設(shè)計(jì)了不同的重力補(bǔ)償方案和重力卸載結(jié)構(gòu)[2-6]，但未發(fā)現(xiàn)有文獻(xiàn)提出有效的重力卸載點(diǎn)選取及卸載力計(jì)算方法。然而，隨著超輕量化空間遙感相機(jī)、2～4 m 大口徑及4～10 m 超大口徑空間遙感相機(jī)的研制逐漸成為國內(nèi)外光學(xué)遙感領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[7]，在空間相機(jī)光機(jī)結(jié)構(gòu)裝調(diào)過程中，有效重力卸載點(diǎn)的識(shí)別難度增大，需設(shè)置的重力卸載點(diǎn)個(gè)數(shù)增多，利用一般的試錯(cuò)法調(diào)整卸載點(diǎn)位置及卸載力已無法滿足要求，而其仿真優(yōu)化的難度亦隨著相機(jī)口徑的增大和結(jié)構(gòu)輕量化水平的提高呈指數(shù)級(jí)增加。

鑒于此，著眼于高效、快速地獲得使系統(tǒng)優(yōu)化目標(biāo)精度最佳的卸載點(diǎn)系及最優(yōu)卸載力，本文提出一種基于貪心算法結(jié)合天牛須搜索的重力卸載仿真優(yōu)化方法。貪心算法的策略為將單個(gè)全局最優(yōu)問題劃分為若干個(gè)迭代的局部最優(yōu)子問題，通過求解一系列的局部最優(yōu)解來獲得全局最優(yōu)解[8-9]。基于此策略，可將光機(jī)系統(tǒng)重力卸載的仿真優(yōu)化問題分解為逐個(gè)提取系統(tǒng)的相對(duì)最佳卸載點(diǎn)，從而獲得系統(tǒng)的相對(duì)最優(yōu)卸載點(diǎn)系，繼而計(jì)算出其對(duì)應(yīng)的最優(yōu)卸載力。每組卸載點(diǎn)系的最佳卸載力值利用天牛須算法進(jìn)行迭代搜索計(jì)算。

1 重力卸載仿真優(yōu)化方法

1.1 光機(jī)系統(tǒng)建模

將空間相機(jī)的光機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)離散化，建立結(jié)構(gòu)剛度矩陣K；設(shè)離散化光機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的位移矢量為d，所受到的力為F，則可建立空間相機(jī)光機(jī)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方程

求解式(1)即可獲得光機(jī)系統(tǒng)各個(gè)離散位置的變形量。

在利用基于貪心算法結(jié)合天牛須搜索的光機(jī)系統(tǒng)重力卸載仿真優(yōu)化過程中，每組卸載點(diǎn)系的最佳卸載力采用天牛須搜索算法進(jìn)行迭代計(jì)算，無須知道系統(tǒng)具體的結(jié)構(gòu)求解模型，只需在每次計(jì)算求解式(1)前設(shè)置力矢量F，并能獲取式(1)求解后的位移矢量d即可。因此，可以建立光機(jī)系統(tǒng)的有限元模型，并利用有限元軟件的二次開發(fā)功能實(shí)現(xiàn)對(duì)力矢量F的設(shè)置和對(duì)位移矢量d的獲取。

光機(jī)系統(tǒng)的基本建模過程如下：

1）利用有限元軟件建立光機(jī)結(jié)構(gòu)的離散化網(wǎng)格模型；

2）利用有限元軟件建立光機(jī)結(jié)構(gòu)的位移邊界條件及初始力邊界條件，前者為光機(jī)結(jié)構(gòu)裝調(diào)時(shí)的固定約束，后者為地面重力加速度；

3）利用有限元軟件建立光機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的靜力學(xué)分析工況；

4）利用有限元軟件的二次開發(fā)功能建立優(yōu)化算法與有限元軟件的通信接口，進(jìn)行數(shù)據(jù)交換與相關(guān)設(shè)置。

將優(yōu)化算法調(diào)整光機(jī)系統(tǒng)力矢量F，以及控制有限元軟件分析計(jì)算獲得最終系統(tǒng)位移矢量d的過程用f1表示，則有

1.2 貪心算法

在空間相機(jī)的地面裝調(diào)重力卸載仿真優(yōu)化過程中，若采用傳統(tǒng)的牛頓法或梯度下降法，則需要建立光機(jī)系統(tǒng)的精確求解方程，并推導(dǎo)計(jì)算目標(biāo)值的方向?qū)?shù)或最快下降梯度。而光機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)離散化后的節(jié)點(diǎn)數(shù)量非常龐大，一般在幾萬甚至幾十萬個(gè)以上，相應(yīng)地，系統(tǒng)方程的維度也在幾萬甚至幾十萬個(gè)以上，其方程的建立、求解和推導(dǎo)異常復(fù)雜，并且針對(duì)不同的優(yōu)化目標(biāo)所建立的方程會(huì)有差異，需重新進(jìn)行推導(dǎo)和計(jì)算；若利用一般的試錯(cuò)法進(jìn)行計(jì)算，隨著光機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)復(fù)雜程度的增加，需施加卸載力的個(gè)數(shù)也將不斷增多，計(jì)算量會(huì)呈指數(shù)級(jí)增加，導(dǎo)致優(yōu)化效率急劇降低。而貪心算法的基本策略優(yōu)勢(shì)則可以將復(fù)雜問題分解簡(jiǎn)單化，且在求解子問題的過程中，可利用天牛須搜索算法進(jìn)行迭代搜索計(jì)算，無須建立光機(jī)系統(tǒng)的具體求解方程，因而對(duì)不同的優(yōu)化目標(biāo)具有更好的適應(yīng)性，能更加高效地獲得系統(tǒng)最優(yōu)卸載力。

基于貪心算法的基本策略，將光機(jī)系統(tǒng)重力卸載的仿真優(yōu)化分解為逐個(gè)提取系統(tǒng)最優(yōu)卸載點(diǎn)的迭代過程，具體如下：

1）提取光機(jī)結(jié)構(gòu)的可行卸載點(diǎn)集。

2）第1 次計(jì)算時(shí)，從可行卸載點(diǎn)集中提取1 個(gè)或1 組最佳卸載點(diǎn)；利用天牛須搜索算法計(jì)算被選卸載點(diǎn)的最優(yōu)卸載力，以使系統(tǒng)獲得最佳性能。

3）第i(i＞1)次計(jì)算時(shí)，從可行卸載點(diǎn)集中提取1 個(gè)或1 組最佳卸載點(diǎn)，該個(gè)或該組卸載點(diǎn)與前(i-1)次添加的卸載點(diǎn)共同組成卸載點(diǎn)系；利用天牛須搜索算法計(jì)算每組卸載點(diǎn)系的最佳卸載力，以使系統(tǒng)獲得最佳性能。

4）重復(fù)步驟3），不斷增加卸載點(diǎn)的個(gè)數(shù)，直至其最優(yōu)卸載力使得光機(jī)系統(tǒng)滿足各項(xiàng)指標(biāo)要求。

設(shè)系統(tǒng)的可行卸載點(diǎn)集為SF，已添加的卸載點(diǎn)集為SF0，光機(jī)系統(tǒng)的優(yōu)化目標(biāo)所對(duì)應(yīng)的位置點(diǎn)集為SD，從系統(tǒng)位移矢量d到優(yōu)化目標(biāo)值的轉(zhuǎn)換函數(shù)為f2。每次從可行卸載點(diǎn)集SF中提取1 個(gè)或1 組卸載點(diǎn)，且該卸載點(diǎn)不屬于SF0，保證原系統(tǒng)在增加該卸載點(diǎn)后的最優(yōu)卸載力使得集合SD中所有位置的最大優(yōu)化目標(biāo)最小。設(shè)第i次施加的卸載點(diǎn)為Pi，則Pi須保證

一般情況下，f2為計(jì)算某個(gè)光學(xué)鏡的位置函數(shù)或面形函數(shù)。

利用貪心算法進(jìn)行系統(tǒng)最佳卸載點(diǎn)系提取的算法復(fù)雜度為O(n)，而窮盡所有可行卸載點(diǎn)系找尋最優(yōu)解的算法復(fù)雜度為O(2n)，可見利用貪心算法可以極大降低計(jì)算復(fù)雜度；同時(shí)由式(1)可知，求解模型為一近似的線性系統(tǒng)，一般情況下，施加較多卸載力的最佳卸載點(diǎn)系包含施加較少卸載力的最佳卸載點(diǎn)系，因而能保證該算法的高效性。

1.3 天牛須搜索算法

天牛須搜索算法是一種模擬天牛覓食的仿生算法。在自然界中，天牛覓食時(shí)利用左右觸須來探測(cè)食物氣味，從而獲取下一個(gè)飛行方向。在多維空間搜索優(yōu)化過程中，假設(shè)天牛在任意位置的方向是隨機(jī)的，在某初始隨機(jī)化位置，首先計(jì)算左右觸須的位置，然后將位置值代入系統(tǒng)模型獲得左右觸須探測(cè)到的氣味值，再根據(jù)氣味值的大小判斷天牛下一步的飛行方向，同時(shí)指定飛行步長(zhǎng)，即可計(jì)算出天牛的下一位置坐標(biāo)。由于天牛須搜索算法每次計(jì)算時(shí)只考慮一個(gè)個(gè)體，故具有較高的計(jì)算效率，尤其隨著搜索維度的增加，相比于其他算法，其在計(jì)算效率方面的優(yōu)勢(shì)更加明顯，能更高效、快捷地進(jìn)行系統(tǒng)尋優(yōu)。但是在該算法中，設(shè)置不同的初始位置、不同的觸須距離、不同的迭代步長(zhǎng)等均可能導(dǎo)致算法收斂于局部最優(yōu)點(diǎn)；可在優(yōu)化過程中調(diào)節(jié)相應(yīng)參數(shù)，例如迭代步長(zhǎng)，以提高算法的全局優(yōu)化精度[10-11]。

給定一組卸載點(diǎn)系，設(shè)其卸載點(diǎn)的個(gè)數(shù)為k，天牛的第n次位置為Fn，天牛的朝向?yàn)镈n，天牛左右觸須的探測(cè)距離為l。其中，Dn為k維隨機(jī)歸一化矢量。則：

一般情況下，天牛的觸須探測(cè)長(zhǎng)度l與步長(zhǎng)step 為同一個(gè)數(shù)量級(jí)，以保證天牛的位置收斂方向與天牛須的探測(cè)收斂方向一致，因此令

將式(9)分別代入式(4)和式(5)可得：

對(duì)比式(8)、式(10)、式(11)可知，按照式(9)的方式設(shè)置天牛須探測(cè)長(zhǎng)度，天牛的下一位置為左須和右須探測(cè)到的最優(yōu)位置，可簡(jiǎn)化搜索流程。

2 算法驗(yàn)證

2.1 測(cè)試結(jié)構(gòu)模型搭建

以國內(nèi)某遙感相機(jī)次鏡的重力卸載仿真計(jì)算為例，驗(yàn)證本文所提出的算法。該遙感相機(jī)次鏡的各項(xiàng)指標(biāo)要求極高，基于其基本結(jié)構(gòu)形式，搭建如圖1 所示的近似光機(jī)主體結(jié)構(gòu)，由主承力板、前鏡筒和次鏡組成，其最大外包絡(luò)直徑為2000 mm、長(zhǎng)度為2600 mm。一般情況下，相機(jī)結(jié)構(gòu)的剛度越低，在重力作用下的變形會(huì)越大，重力卸載仿真的難度會(huì)增大。為了更充分地驗(yàn)證算法的有效性，在搭建近似光機(jī)主體結(jié)構(gòu)時(shí)進(jìn)一步降低其剛度，僅采用簡(jiǎn)易的環(huán)形梁和橫梁來搭接其前鏡筒；次鏡口徑350 mm、質(zhì)量3.5 kg，用直徑10 mm、厚度2 mm 的空心管連接到前鏡筒上；主承力板及前鏡筒的材料一般選用密度較小、彈性模量較高的C-SiC 復(fù)合材料，本文為了增加分析難度，將其設(shè)置為鈦合金。

圖1 光機(jī)結(jié)構(gòu)組成Fig. 1 Configuration of the opto-mechanical structure

光機(jī)結(jié)構(gòu)裝調(diào)測(cè)試狀態(tài)如圖2 所示，以主成承力板兩端為固定約束邊界條件。

圖2 光機(jī)結(jié)構(gòu)裝調(diào)狀態(tài)Fig. 2 Assemblage of the opto-mechanical structure

考慮到測(cè)試過程中的實(shí)施誤差，設(shè)定仿真目標(biāo)為次鏡的面形RMS 不大于(6/1000)λ，位置變化小于1 μm，角度變化小于1″。

2.2 測(cè)試模型剛度分析

建立該測(cè)試結(jié)構(gòu)的有限元模型，施加固定位移約束條件及重力載荷。在不施加任何卸載力的情況下，次鏡的結(jié)構(gòu)位移為0.73 mm，如圖3 所示。

圖3 測(cè)試模型無卸載力情況下的結(jié)構(gòu)變形Fig. 3 Distortion of the test model without unloading force

該測(cè)試模型在固定約束邊界條件下的前3 階約束模態(tài)分別為10.9 Hz、19.6 Hz、27 Hz，如圖4 所示。可以看到，該測(cè)試模型在重力作用下變形較大，其自由模態(tài)和約束模態(tài)都較低，即整體剛度較低。而一般情況下，光機(jī)結(jié)構(gòu)在重力作用下的變形小于0.4 mm，一階模態(tài)不低于30 Hz，因此利用該模型可充分驗(yàn)證算法的有效性。

圖4 測(cè)試模型的前3 階約束模態(tài)Fig. 4 First three constrained modes of the test model

2.3 多目標(biāo)優(yōu)化分析處理

由于光學(xué)鏡的面形RMS、位移及角度偏差需同時(shí)滿足指標(biāo)要求，而天牛須搜索算法中的方向判據(jù)為單個(gè)指標(biāo)，所以需利用主目標(biāo)函數(shù)法，提取主要優(yōu)化目標(biāo)，將其他優(yōu)化目標(biāo)作為約束條件。

光學(xué)鏡的面形RMS 及角度偏差均由光學(xué)鏡的位移變化而產(chǎn)生，故一般情況下，光學(xué)鏡的位移偏差較小時(shí)，其面形RMS 及角度偏差均較小，因此本文提取光學(xué)鏡的位移偏差為主目標(biāo)，面形RMS 及角度偏差作為約束條件。在該計(jì)算分析過程中，f2設(shè)置為計(jì)算次鏡的最大位移變化，以次鏡的面形RMS 及角度變化作為收斂計(jì)算的判據(jù)。

2.4 仿真算法平臺(tái)搭建及求解

在該測(cè)試模型的驗(yàn)證過程中，有限元仿真軟件選取Femap，算法開發(fā)環(huán)境選取vs 2010 MFC 開發(fā)平臺(tái)，基于式(3)、式(6)～式(8)、式(10)和式(11)，利用C++語言編寫基于貪心算法結(jié)合天牛須搜索的空間相機(jī)地面裝調(diào)重力卸載仿真計(jì)算程序，并利用Femap 提供的ATL 開發(fā)包建立MFC 與Femap的通信接口，以設(shè)置Femap 的加載力，控制其仿真計(jì)算并提取計(jì)算結(jié)果，完成整個(gè)算法模型的搭建。仿真算法平臺(tái)界面如圖5 所示。

圖5 仿真算法平臺(tái)界面Fig. 5 The interface of the simulation platform

在該測(cè)試光機(jī)結(jié)構(gòu)中，可行卸載點(diǎn)集選取前鏡筒12 根橫梁與3 個(gè)環(huán)形梁的交叉點(diǎn)，共36 個(gè)點(diǎn)?？紤]到結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，以相機(jī)豎直中心面對(duì)稱的每2 點(diǎn)組成1 組，故可行卸載點(diǎn)集中共有21 組卸載點(diǎn)。在天牛須搜索法中，搜索步長(zhǎng)step 設(shè)置為5 N，步長(zhǎng)調(diào)整系數(shù)ratio 設(shè)為0.95，每輪搜索次數(shù)設(shè)為50 次。

利用該仿真算法平臺(tái)，經(jīng)過5550 次迭代搜索計(jì)算得到，共需添加6 組卸載力，卸載點(diǎn)分布如圖6所示。在該卸載力下，次鏡最大位移0.6 μm，面形RMS 變化(1/1000)λ，角度變化0.5″，均滿足指標(biāo)要求。光機(jī)結(jié)構(gòu)的變形如圖7 所示。仿真計(jì)算得到的卸載力大小如表1 所示。

圖6 仿真計(jì)算得到的重力卸載點(diǎn)分布Fig. 6 Unloading points distribution calculated by simulation

圖7 測(cè)試模型在重力卸載后的結(jié)構(gòu)變形Fig. 7 Structural distortion of the test model with unloading forces

表1 仿真計(jì)算得到的卸載力大小Table 1 Values of the unloading forces calculated by simulation單位：N

3 結(jié)束語

重力卸載的仿真優(yōu)化是空間相機(jī)地面裝調(diào)的難點(diǎn)之一，通過人為試錯(cuò)和調(diào)試的方法進(jìn)行仿真優(yōu)化計(jì)算，往往需要數(shù)日甚至數(shù)月的時(shí)間才能獲得滿足指標(biāo)的解。本文提出一種基于貪心算法結(jié)合天牛須搜索的重力卸載仿真優(yōu)化方法，通過計(jì)算機(jī)智能化迭代計(jì)算分析表明，在無須人為干預(yù)的情況下，在數(shù)小時(shí)之內(nèi)即可獲得滿足系統(tǒng)指標(biāo)的解，可以高效、快速地獲得系統(tǒng)最佳卸載點(diǎn)系及最優(yōu)卸載力，是解決空間相機(jī)地面裝調(diào)時(shí)重力卸載仿真優(yōu)化的有效方法。