羅四維，樂燕芬，彭 洋，吳俊杰，雷李華，張 波，金 濤

（1.上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093；2.上海計(jì)量測試技術(shù)研究院，上海 201203）

1 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，微電子工程、光學(xué)精密工程、計(jì)量科學(xué)與技術(shù)等領(lǐng)域?qū){米位移技術(shù)的要求越來越嚴(yán)格，不但要求具有納米級(jí)位移精度，還需要有較高的靈敏度且易于控制［1，2］?，F(xiàn)階段的納米位移系統(tǒng)通常采用壓電陶瓷作為驅(qū)動(dòng)元件，壓電陶瓷由于具有良好的動(dòng)態(tài)特性和高分辨率等特點(diǎn)，已成為微位移驅(qū)動(dòng)方面的理想器件［3，4］。但在使用過程中也存在一些缺陷，如存在非線性、蠕變、機(jī)械振動(dòng)和熱漂移問題［5］。

為了在壓電致動(dòng)器上獲得高度線性化的位移操作，有關(guān)學(xué)者提出了許多可行的方法及措施。反饋控制是工業(yè)領(lǐng)域中應(yīng)用最廣泛的方法，代表性的方法有比例積分微分控制（PID）［6］、比例二重積分控制（PII）［7］及比例積分控制（PI）。然而，這些控制方法均需要高精度位移傳感器，但傳感器的噪聲會(huì)限制控制與位移的精度［8］。前饋控制是另一種有效的方法，主要思想是首先獲得描述驅(qū)動(dòng)器的滯后行為的數(shù)學(xué)模型，然后基于所提出的模型的反演來實(shí)現(xiàn)前饋控制器。前饋控制雖然不涉及傳感器，但是模型的不確定性通常將定位精度限制在驅(qū)動(dòng)范圍的1%～3%［9，10］。它的復(fù)雜性限制了可實(shí)現(xiàn)的精度和實(shí)際應(yīng)用。電荷控制是除反饋和前饋控制外的另一種控制方案，其控制原理是由于壓電陶瓷的位移與電荷量成正比，所以可以簡單的通過電荷反饋來控制壓電陶瓷的位移，既不需要昂貴的位移傳感器也不必建立復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型就可以大大改善壓電陶瓷的遲滯。在開環(huán)控制的納米定位系統(tǒng)中，電荷控制器被廣泛應(yīng)用。

傳統(tǒng)電荷控制器長期存在的問題是有限的低頻性能以及沒有接地配置的功能，而且其存在的剩余遲滯問題也阻礙了電荷控制器去獲得更高的位移線性度。為了應(yīng)對(duì)這一挑戰(zhàn)，F(xiàn)leming A J等［11］提出了一種具有接地配置的電荷控制器。但該方法需要一塊高性能的差分放大器而且它的低頻性能并沒有得到明顯的改善；之后，F(xiàn)leming A J［12］又提出了一種具有有源直流穩(wěn)定性的電荷控制器，解決了有限的低頻性能的問題，但這也使得壓電陶瓷沒有了接地配置的功能。

前面提到的這些方法大部分是用于單個(gè)壓電致動(dòng)器的高線性操作的，而對(duì)于多個(gè)壓電致動(dòng)器的同步高線性操作并不適用，但是使用多個(gè)壓電致動(dòng)器驅(qū)動(dòng)的優(yōu)點(diǎn)是很明顯的。首先，多個(gè)壓電致動(dòng)器的同步運(yùn)行可以實(shí)現(xiàn)推力的成倍增加。其次，可以實(shí)現(xiàn)大尺寸器件的高精度位置控制，這種需求常常出現(xiàn)在大尺寸光學(xué)元件上。微位移平臺(tái)作為位移系統(tǒng)的另一個(gè)核心部分，其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、剛度、位移行程及是否存在運(yùn)動(dòng)方向上的互相干擾即耦合誤差［13］對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的精密程度也起到了重要的作用［14，15］。

本文的壓電位移系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種具有接地配置功能的壓電控制器，通過非線性反饋控制和相似控制相結(jié)合的方法［16］來改善壓電致動(dòng)器的位移軌跡線性度和無法接地配置的問題，進(jìn)一步提高了位移線性度。為顯示控制效果，還設(shè)計(jì)了一種內(nèi)外層嵌套式串聯(lián)結(jié)構(gòu)二維壓電微位移臺(tái)，相比于疊加式結(jié)構(gòu)其運(yùn)動(dòng)慣性較小，對(duì)驅(qū)動(dòng)控制部分的要求較并聯(lián)結(jié)構(gòu)更低，且柔性鉸鏈平行布置實(shí)現(xiàn)位移解耦，有效地避免了運(yùn)動(dòng)方向上的相互干擾。本系統(tǒng)的驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)部分搭建了激光干涉測量系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)方向上的解耦，且行程及位移線性度達(dá)到了設(shè)計(jì)要求。

2 壓電控制器的設(shè)計(jì)

2.1 傳統(tǒng)電荷控制器的原理

電荷控制器的原理通常如圖1所示。假設(shè)壓電陶瓷是一個(gè)理想的電容Cp，運(yùn)算放大器也看作理想的，Rf和R1為無窮大阻值的電阻，實(shí)際經(jīng)過壓電陶瓷的電荷量可以寫為：

圖1 電荷控制器的基本原理圖Fig.1 Schematic diagram of a charge controller

式中：Qact是實(shí)際通過壓電致動(dòng)器Cp的電荷量；C1為電荷控制器的輸入電容；Vin為輸入電壓；Vout是輸出電壓。

如果Vin和Qact是線性變化的，那么相對(duì)應(yīng)的位移變化也是線性的，為了防止低頻漂移，可以在C1和Cp上分別并聯(lián)電阻R1和Rf。其傳遞函數(shù)可以寫為

從傳遞函數(shù)中可以看出該電路中有一個(gè)零點(diǎn)s＝－1／R1C1和一個(gè)極點(diǎn)s＝－1／RfCp。為了盡量減少零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)增益的影響，令R1C1＝RfCp，實(shí)際應(yīng)用中的輸入信號(hào)頻率盡量遠(yuǎn)離零點(diǎn)和極點(diǎn)。這樣輸入電壓和輸出電壓的關(guān)系為

由于Cp在實(shí)際中并不是定值，因此輸出電壓Vout與Vin并不是完全線性相關(guān)的。這種傳統(tǒng)的電荷控制方法雖然可以一定程度上降低壓電致動(dòng)器的遲滯導(dǎo)致的軌跡非線性偏差，但是卻存在過補(bǔ)償現(xiàn)象。另外，通過圖1可以看到壓電陶瓷的Cp的一端接的浮地，在一些場合下壓電陶瓷必須有接地配置［17］，而這也使得經(jīng)過壓電陶瓷的電荷需要先經(jīng)過前置低壓放大器，這并不利于大推力的壓電致動(dòng)器。另外，由于該電路存在的極點(diǎn)和零點(diǎn)在低頻處，這導(dǎo)致當(dāng)輸入信號(hào)的頻率低于極點(diǎn)或零點(diǎn)頻率時(shí)，電荷控制器會(huì)轉(zhuǎn)變成電壓控制器。因此這種電路結(jié)構(gòu)的電荷控制器并不適合低頻和靜態(tài)操作。

2.2 多壓電致動(dòng)器的電荷控制器的設(shè)計(jì)

本文在傳統(tǒng)電荷控制器的輸出端通過外接一個(gè)同型號(hào)的壓電致動(dòng)器至地，從而構(gòu)成一種含有兩個(gè)壓電致動(dòng)器的電荷控制器，圖2是該種控制器的基本結(jié)構(gòu)原理。A1為前置放大器的增益，實(shí)驗(yàn)中設(shè)定A1＝－1；HVA為高壓放大器。

圖2 同步操作的多壓電致動(dòng)器的電荷控制器原理圖Fig.2 Schematic diagram of charge controller for multi-piezoelectric actuator operated synchronously

假設(shè)這些壓電致動(dòng)器的電容是近似相等，即：

假設(shè)運(yùn)放是理想的，則這些執(zhí)行器上的電荷也是近似相等的，即：

由式（1）可得理想情況下Qp與輸入電壓Vin是線性的關(guān)系，那么根據(jù)上式可得Qp1，Qp3，Qp4，…，Qpn等也有線性的關(guān)系。這意味著當(dāng)圖2中的Cp1的位移是線性的時(shí)候，同時(shí)也將在Cp2上獲得線性的位移。理想情況下可以外接無數(shù)個(gè)同型號(hào)的致動(dòng)器，但考慮到控制器的相位滯后以及運(yùn)放驅(qū)動(dòng)功率的問題，實(shí)際使用中外接的同型號(hào)控制器的數(shù)量不能過多。為了進(jìn)一步降低傳統(tǒng)電荷控制方法的過補(bǔ)償導(dǎo)致的軌跡非線性以及電荷控制器在低頻和靜態(tài)情況下不適用的問題，結(jié)合上面的多壓電制動(dòng)器的電荷控制，提出了一種具有非線性反饋網(wǎng)絡(luò)的多壓電陶瓷的電荷控制方案（為了敘述方便這里僅外接一個(gè)壓電致動(dòng)器）。

假定其中帶有遲滯行為的壓電陶瓷可以等效為一個(gè)可變電容Cp，其電容變化為δCp；A1為反相跟隨放大器；A2為高壓放大器，A2的值與電荷放大器的增益互為倒數(shù)；A3為可調(diào)放大器，補(bǔ)償因子A3值為正數(shù)；A4為誤差放大器；R1和Rf為電荷控制器提供直流反饋路徑。具有非線性反饋網(wǎng)絡(luò)的雙壓電陶瓷的電荷控制器如圖3所示。

圖3 具有非線性反饋網(wǎng)絡(luò)的雙壓電陶瓷的電荷控制器Fig.3 A charge controller for piezoelectric bimorph with nonlinear feedback network

實(shí)際經(jīng)過壓電致動(dòng)器Cp的電荷為

式中Vp是Vout非線性偏差的尺度。

由于Vout?Vp，因此有：

其中，

可以得到：

通過比較式（3）和（11），可以看出增益A3實(shí)際上影響了控制器的輸出Vout的非線性，當(dāng)增益A3＞0時(shí)，可以起到校正過補(bǔ)償和欠補(bǔ)償?shù)男ЧＡ硗?，在式?1）中，由于Vp?Vout，忽略了Vp的作用。如果考慮Vp，則Vp和Vout的關(guān)系式為

考慮到遲滯等效的電容對(duì)于電荷控制器的位移非線性的影響［17］，將Cp1寫為Cp1＋δCp1，Cp2寫為Cp2＋δCp2可得Cp2兩端的電壓為：

考慮到非線性環(huán)中A2和A3的影響，由式（11）可得壓電致動(dòng)器Piezo2上的電荷表達(dá)式如下：

從式（14）可知piezo2的電荷不僅可以通過Vin來控制，而且也與A3的值有關(guān)。另外，壓電致動(dòng)器piezo1和piezo2的相似度也會(huì)影響最終的控制器效果，尤其是壓電致動(dòng)器piezo1和piezo2的電容是否相等。本系統(tǒng)選擇的壓電陶瓷的靜態(tài)電容值均以LRC電橋儀測得的數(shù)據(jù)為準(zhǔn)。如果再外接致動(dòng)器在該控制器上，那么它們和piezo2是等價(jià)的。如果只將piezo2作為實(shí)際壓電陶瓷而piezo1僅用于反饋，那么piezo2會(huì)具有真正的接地配置。當(dāng)具有接地配置的高壓放大器驅(qū)動(dòng)的是一個(gè)電容和壓電陶瓷的組合體時(shí)，此時(shí)實(shí)際壓電致動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)功率將會(huì)受到串聯(lián)電容的影響，而多個(gè)壓電致動(dòng)器的電荷控制器的方案中并不需要擔(dān)心這一點(diǎn)。配置低頻漂移最簡單的方法是在反饋電容和輸入電容上并聯(lián)電阻，但是這會(huì)在電路的低頻處產(chǎn)生零點(diǎn)和極點(diǎn)。為了盡可能減小零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)于電路的影響，應(yīng)該使得零點(diǎn)和極點(diǎn)盡可能相等而且工作頻率盡可能遠(yuǎn)離零點(diǎn)和極點(diǎn)。本文將直流反饋路徑的放大倍數(shù)設(shè)置為20倍，采用T型電阻網(wǎng)路作為反饋電阻，不僅可以得到大阻值電阻，還可以減小單一大阻值電阻帶來的噪聲，這可以大大改善傳統(tǒng)電荷控制器的低頻性能，T型電阻網(wǎng)絡(luò)的電阻等效公式為：

式中：Rf1＝Rf2＝110 kΩ；Rf3＝676Ω。

圖4為控制器的電路原理圖，高壓放大器HVA采用高輸入阻抗、高電壓轉(zhuǎn)換速率的APEX PA85A器件；可調(diào)增益A3由20 kΩ定值電阻和一個(gè)線性數(shù)字電位器組成（紅色圓圈）。因此，A3可以調(diào)整到最大值0.05，最小值可以調(diào)整到0。在實(shí)驗(yàn)中，piezo2通過調(diào)整A3的值而具有最小的位移軌跡偏差。當(dāng)A3設(shè)置為0時(shí)，非線性反饋回路被禁用。壓電致動(dòng)器1直接安裝在控制板上，致動(dòng)器2通過屏蔽電纜連接到控制板上。

圖4 控制器電路原理圖Fig.4 Circuit schematic of the controller

HVA采用高輸入阻抗、高電壓轉(zhuǎn)換速率的APEX PA85A器件；可調(diào)增益A3由20 kΩ定值電阻和一個(gè)線性數(shù)字電位器組成（紅色圓圈）。因此，A3可以調(diào)整到最大值0.05，最小值可以調(diào)整到0。在實(shí)驗(yàn)中，piezo2通過調(diào)整A3的值而具有最小的位移軌跡偏差。當(dāng)A3設(shè)置為0時(shí)，非線性反饋回路被禁用。壓電致動(dòng)器1直接安裝在控制板上，致動(dòng)器2通過屏蔽電纜連接到控制板上。

3 位移臺(tái)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及有限元仿真分析

3.1 位移臺(tái)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與剛度計(jì)算

圖5為二維壓電微位移平臺(tái)結(jié)構(gòu)模型圖及柔性鉸鏈幾何示意圖，平臺(tái)采用了S型柔性鉸鏈作為導(dǎo)向機(jī)構(gòu)，壓電陶瓷作為驅(qū)動(dòng)元件。位移臺(tái)兩個(gè)自由度方向均采用平行對(duì)稱結(jié)構(gòu)布置，每個(gè)柔性鉸鏈的兩端分別與中間的承載運(yùn)動(dòng)平臺(tái)和位移臺(tái)外框固定，結(jié)構(gòu)上將Y軸方向的運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)嵌套在X軸方向的運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)內(nèi)，壓電致動(dòng)器放置在位移平臺(tái)的中間卡槽內(nèi)。在壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)力作用下，引起S型柔性鉸鏈發(fā)生變形，實(shí)現(xiàn)二維微動(dòng)平臺(tái)的位移輸出。

圖5 壓電位移平臺(tái)結(jié)構(gòu)模型圖及柔性鉸鏈幾何示意圖Fig.5 Structure model of piezoelectric displacement table and the geometry diagram of a flexure hinge

壓電位移臺(tái)的剛度性能以及輸出位移是由柔性鉸鏈決定的，因此，對(duì)柔性鉸鏈進(jìn)行理論計(jì)算和分析是十分重要的［18］，由于位移臺(tái)中柔性鉸鏈?zhǔn)菍?duì)稱布置，且形狀及受力情況相似，因此只對(duì)一個(gè)鉸鏈進(jìn)行分析。根據(jù)柔性鉸鏈在位移臺(tái)中的受力情況，將柔性鉸鏈簡化為一端固定、另一端受力F作用的懸臂梁，得到它受力方向上的剛度計(jì)算公式。設(shè)置圖5中柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)參數(shù)：長度L、寬度W、高H、鉸鏈間寬D。

在所用彈性材料服從胡克定律的條件下，懸臂梁上的某一段受到的力引起的形變，不會(huì)對(duì)其他段產(chǎn)生影響，所以若想得知柔性機(jī)構(gòu)受力產(chǎn)生的整體形變，可以將其分為5部分，然后依次將各個(gè)分段的形變相加，就可得到懸臂梁的整體形變。將柔性鉸鏈簡化為如圖8所示懸臂梁結(jié)構(gòu)，并分段標(biāo)記為A、B、C、D、E段5個(gè)部分，使用分段計(jì)算法得到懸臂梁左端下面①點(diǎn)受力載荷的總位移S（1）幾何關(guān)系，可得此懸臂梁在力載荷F作用下的位移形變圖見圖6。

圖6 柔性鉸鏈整體位移形變圖Fig.6 Flexure hinge overall displacement diagram

圖6中，端面扭轉(zhuǎn)角度θ＝－（FL2）／（2EI），當(dāng)A段單獨(dú)形變時(shí)，設(shè)S為水平最大位移，其計(jì)算公式為

根據(jù)材料力學(xué)中的偽剛體法，分別計(jì)算每一段梁的形變對(duì)柔性鉸鏈整體位移的影響，最后以此將產(chǎn)生的形變代數(shù)相加，即可得到在載荷力F的作用下圖6中①點(diǎn)的總位移S（1）：

式中：I為慣性矩，I＝（HW）3／12；E為彈性模量；D為柔性鉸鏈橫截面積，P＝HW；代入式（17）可得柔性鉸鏈①點(diǎn)在受到力載荷的作用下的位移公式：

再根據(jù)力學(xué)彈性理論中的胡克定律F＝k·Δx可知在材料的線彈性范圍內(nèi)，固體的單向拉伸變形與所受的外力成正比，柔性鉸鏈的剛度系數(shù)表達(dá)式為

由于同一方向有兩個(gè)柔性鉸鏈并排放置，剛度也增加一倍。由式（19）可知?jiǎng)偠认禂?shù)k是與設(shè)置的柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)參數(shù)，L、W、H、D相關(guān)的函數(shù)。根據(jù)此柔性鉸鏈在壓電位移臺(tái)中的具體要求，還有位移臺(tái)需要達(dá)到的剛度和位移需要，以及鉸鏈幾何參數(shù)與平臺(tái)輸出位移關(guān)系。確定各參數(shù)具體數(shù)值，X方向：L＝20 mm、W＝1 mm、H＝10 mm、D＝2 mm；Y方向：L＝15 mm、W＝1 mm、H＝10 mm、D＝2 mm。位移臺(tái)制作材料為45＃鋼材料，其彈性模量E＝210 GPa，泊松比μ＝0.28，密度ρ＝7 850 kg／m3，許用應(yīng)力σ＝340 MPa。

3.2 位移臺(tái)有限元?jiǎng)偠确治黾榜詈衔灰品抡?/h3>

通過初步設(shè)計(jì)得到的平行鉸鏈的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)，本文應(yīng)用ANSYS有限元分析軟件對(duì)微動(dòng)臺(tái)的性能，包括剛度、行程、耦合位移進(jìn)行有限元仿真分析，研究理論設(shè)計(jì)的合理性。根據(jù)設(shè)計(jì)的尺寸參數(shù)在Space Claim三維設(shè)計(jì)軟件中構(gòu)建微動(dòng)臺(tái)的三維模型，模型繪制以及網(wǎng)格劃分后直接導(dǎo)入到ANSYS軟件中的static structure組塊中分析，在施加約束和載荷時(shí)，模擬微動(dòng)臺(tái)實(shí)際工作情形，將基座的4個(gè)螺紋安裝孔端面進(jìn)行固定限定其自由度，然后對(duì)微動(dòng)臺(tái)工作臺(tái)施加力載荷，通過查看工作臺(tái)位移輸出仿真結(jié)果，來計(jì)算其剛度。圖7為位移臺(tái)X、Y運(yùn)動(dòng)方向模擬剛度及位移分析云圖。

圖7 位移臺(tái)X、Y運(yùn)動(dòng)方向模擬剛度及位移分析云圖Fig.7 The simulated stiffness and displacement of displacement platform X and Y was analyzed

理論計(jì)算X方向剛度值大約為7.954 2 N／μm，而微動(dòng)臺(tái)需實(shí)現(xiàn)3.8μm位移行程，故仿真時(shí)對(duì)載荷施加面施加約30.23 N的力載荷。同理在Y方向施加約69.54 N的力載荷。仿真分析結(jié)果顯示，在工作臺(tái)X方向受到30.23 N的力載荷時(shí)產(chǎn)生了大約3.83μm的位移量，Y方向位移量為0μm；Y方向受到69.54 N的力載荷時(shí)產(chǎn)生了大約4.08μm的位移量，X方向位移量為0μm。故可計(jì)算通過有限元方法得到的微動(dòng)臺(tái)X方向剛度為7.89 N／μm，Y方向剛度為17.04 N／μm，位移理論值與仿真結(jié)果偏差在0.3%左右，接近理論值。且仿真結(jié)果顯示當(dāng)只對(duì)位移臺(tái)單一運(yùn)動(dòng)方向施加力載荷時(shí)，位移臺(tái)僅在受力方向有位移產(chǎn)生，在另一運(yùn)動(dòng)方向沒有位移產(chǎn)生。說明此位移平臺(tái)結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)在X，Y方向運(yùn)動(dòng)無耦合。驗(yàn)證了理論分析可靠性，故符合設(shè)計(jì)要求。理論計(jì)算與仿真剛度產(chǎn)生偏差的原因是平臺(tái)的理論分析采用偽剛體模型法，根據(jù)力學(xué)理論建模時(shí)進(jìn)行了一定簡化。

4 高線性度的壓電位移系統(tǒng)測試實(shí)驗(yàn)

4.1 測試條件與儀器

實(shí)驗(yàn)基于雷尼紹XL-80型干涉裝置，建了一套激光干涉納米測量系統(tǒng)，其框圖如圖8所示。

圖8 激光干涉納米測量系統(tǒng)框圖Fig.8 Block diagram of laser interferometer nanometer measurement system

該干涉系統(tǒng)具有環(huán)境補(bǔ)償功能可以對(duì)氣壓、濕度和溫度進(jìn)行實(shí)時(shí)采集，并對(duì)測量結(jié)果進(jìn)行實(shí)時(shí)修正，干涉儀測量分辨率可以達(dá)到1 nm。

實(shí)驗(yàn)中壓電陶瓷推動(dòng)著直角棱鏡做水平的直線運(yùn)動(dòng)，而另一塊直角棱鏡固定不動(dòng)。兩者之間產(chǎn)生的光程差隨壓電陶瓷的形變而改變，干涉儀將光程差信息處理后轉(zhuǎn)化為位移信息并上傳至計(jì)算機(jī)，由計(jì)算機(jī)上的相應(yīng)上位機(jī)軟件進(jìn)行實(shí)時(shí)處理并顯示位移信息。實(shí)驗(yàn)采用的壓電陶瓷為NECTOKIN公司生產(chǎn)AE0203D08F型疊堆壓電陶瓷，其長為5.01 mm、寬為1.8 mm、高為2 mm。該壓電陶瓷的參數(shù)性能指標(biāo)見表1。

表1 壓電陶瓷的參數(shù)性能指標(biāo)Tab.1 Performance indicators of piezoelectric ceramics

實(shí)驗(yàn)裝置如圖9所示，它由信號(hào)源、壓電陶瓷、光干涉測量3部分構(gòu)成。為避免環(huán)境對(duì)于測量裝置的干擾，本文將實(shí)驗(yàn)裝置置于氣浮平臺(tái)上并在實(shí)驗(yàn)開始前對(duì)于整個(gè)裝置預(yù)熱2 h。

圖9 實(shí)驗(yàn)環(huán)境及測量實(shí)物圖Fig.9 Experimental environment and physical picture of measurement

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了更好地說明壓電致動(dòng)器的位移軌跡偏差使用最大位移誤差MTE（%）來描述，表達(dá)式為

式中：Ei是軌跡偏差；δD是壓電致動(dòng)器的移動(dòng)量。

本文對(duì)比了加入T型電阻網(wǎng)絡(luò)前和后的效果，見圖10?？刂破鞯霓D(zhuǎn)換頻率從0.89 Hz降低為0.13 Hz。通過測試數(shù)據(jù)可以得出，該控制器具有良好的位移軌跡線性度。在頻率為2 Hz三角波輸入的情況下，X、Y方向的運(yùn)動(dòng)位移分別為3.892 m和3.995 m。將上述軌跡曲線與標(biāo)準(zhǔn)三角波曲線進(jìn)行比較，可以得到軌跡的偏差。圖11為X、Y運(yùn)動(dòng)方向的軌跡誤差圖?？梢钥吹阶畲筌壽E偏差僅為31 nm和38 nm，最大非線性偏差（MTE）分別僅為0.79%和0.95%，線性度分別提高65.3%和64.8%。表現(xiàn)出了良好的軌跡線性度。這說明非線性反饋網(wǎng)絡(luò)對(duì)于多個(gè)壓電陶瓷的同步操作的線性度提高也是有效的。

圖10 微位移平臺(tái)位移曲線圖Fig.10 Displacement curve of micro displacement platform

圖11 X、Y運(yùn)動(dòng)方向的軌跡誤差圖Fig.11 Trajectory error graph of X and Y direction of motion

兩個(gè)壓電致動(dòng)器的軌跡一致性也是該控制方案的一個(gè)重要評(píng)價(jià)指標(biāo)。本文實(shí)驗(yàn)了在相同幅值（幅值為4.5 V）而不同頻率（0.5，1，2，5和10 Hz）的三角波的輸入下控制器的帶來的控制效果。以2 Hz信號(hào)X方向上的位移運(yùn)動(dòng)為例闡述實(shí)驗(yàn)具體過程，輸入2 Hz三角波通過微調(diào)A3的值為0.007后，被控制的壓電致動(dòng)器（piezo1）具有了最小的位移偏差。然后保持A3不變?cè)偻饨右粋€(gè)壓電致動(dòng)器（piezo2），其電容量Cp2為0.087μF。雖然它們的電容量差1 nF，但它們之間的軌跡偏差最大僅為9 nm（約為行程的0.23%），表現(xiàn)出了高度的一致性。piezo1、piezo2的最大軌跡誤差分別為0.027μm、0.031μm（約為行程的0.69%、0.79%）最后微調(diào)A3的值為0.008后，piezo2的最大軌跡偏差為24 nm，MTE從0.79%減小到了0.61%。這說明非線性反饋網(wǎng)絡(luò)對(duì)于多個(gè)壓電陶瓷的同步操作的線性度的提高也是有效的，基于相似控制原理使得無反饋控制的壓電致動(dòng)器piezo2表現(xiàn)出了高線性度。圖12顯示了這一結(jié)果。

圖12 X方向上兩個(gè)壓電致動(dòng)器各自的位移誤差Fig.12 Displacement error of two piezoelectric actuators in X direction

對(duì)比了加入T型電阻網(wǎng)絡(luò)之前和之后的數(shù)據(jù)，控制器的轉(zhuǎn)換頻率從0.89 Hz降低為0.13 Hz。控制器在不同頻率（低頻段）下的控制效果顯示在了圖13中，可以看出由于兩個(gè)壓電致動(dòng)器的差異導(dǎo)致位移軌跡的不完全重合，由于電路的轉(zhuǎn)換頻率為0.13 Hz，當(dāng)靠近該頻率時(shí)候非線性反饋環(huán)路的效果變差。此外，雖然兩個(gè)壓電致動(dòng)器的差異使得它們的軌跡無法完全重合，但是卻可以導(dǎo)致Piezo2的軌跡偏差進(jìn)一步減小。實(shí)驗(yàn)中將A3補(bǔ)償因子的值從0.007變?yōu)?.008，導(dǎo)致piezo2的位移線性度得到改善，圖13結(jié)果（灰色標(biāo)記點(diǎn)線）說明了這一點(diǎn)。這意味著，若僅將Piezo2作為實(shí)際致動(dòng)器來用而piezo1不參與致動(dòng)，相比于傳統(tǒng)非線性電荷控制器其控制效果也會(huì)有所改善。

圖13 幾個(gè)低頻率信號(hào)下的兩個(gè)壓電陶瓷各自的控制效果Fig.13 Control effect of two piezoelectric ceramics under several low frequency signals

為了測量位移平臺(tái)的是否存在耦合位移，在X，Y運(yùn)動(dòng)方向施加驅(qū)動(dòng)力，使平臺(tái)產(chǎn)生位移，再在其正交方向使用激光干涉儀對(duì)可能出現(xiàn)的耦合位移進(jìn)行測量，得到的壓電位移平臺(tái)的耦合曲線如圖14所示，可以看出，耦合偏移誤差分別僅為0.090%，0.098%證明此嵌套式串聯(lián)結(jié)構(gòu)可以有效地避免耦合位移。

圖14 微位移平臺(tái)運(yùn)動(dòng)耦合誤差Fig.14 Coupling error of motion of micro-displacement platform

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示了多壓電電荷控制器方案用在納米位移操作上的優(yōu)良性能。實(shí)測的結(jié)果與仿真和理論分析的結(jié)果存在一定的誤差。其原因有兩點(diǎn)：

1）微位移平臺(tái)存在加工誤差和壓電陶瓷的安裝誤差；

2）理論分析建立在一定假設(shè)基礎(chǔ)上，有限元網(wǎng)格劃分以及數(shù)值解具有近似性。

5 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一套高線性度的二維無耦合壓電位移系統(tǒng)，在典型電荷控制器的基礎(chǔ)上，提出了一種適用于多個(gè)壓電作動(dòng)器同步線性運(yùn)行的電荷控制器。與傳統(tǒng)的電荷控制器相比，它不僅實(shí)現(xiàn)了多個(gè)壓電驅(qū)動(dòng)器的同步線性運(yùn)行，而且還提供了良好的接地配置實(shí)際的執(zhí)行機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)了相應(yīng)的二維串聯(lián)嵌套微位移平臺(tái)。該平臺(tái)具有剛度對(duì)稱、固有頻率高且可消除耦合位移等特點(diǎn)。并通過實(shí)驗(yàn)測量了該控制方案的性能及可行性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：非線性反饋網(wǎng)絡(luò)將壓電陶瓷的軌跡誤差減小到行程范圍的0.79%，最小僅為0.69%。T型電阻器網(wǎng)絡(luò)將控制器的轉(zhuǎn)換頻率降低到0.13 Hz而這僅僅是在一個(gè)88 nF電容量的壓電致動(dòng)器上實(shí)現(xiàn)的，說明電荷控制器的低頻性能得到了較大改善。兩個(gè)壓電致動(dòng)器之間軌跡偏差僅為行程范圍的0.23%，與此同時(shí)它們各自的軌跡誤差均不超過0.95%，表現(xiàn)出了良好的同步性和軌跡線性度。且兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方向的耦合位移誤差分別僅為0.090%和0.098%，證實(shí)了該系統(tǒng)確實(shí)可以有效地避免二維運(yùn)動(dòng)的耦合問題，其性能指標(biāo)基本滿足光學(xué)精密儀器的需求，且控制方案易于實(shí)現(xiàn)，成本較低。為了進(jìn)一步提高控制器的低頻性能，未來工作重點(diǎn)將會(huì)增加有源直流穩(wěn)壓電路的研究。