張清泉

（青島廣雅中學(xué)，山東青島 266000）

“綜合與實踐”作為《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》教學(xué)內(nèi)容中重要的一個部分，不僅反映數(shù)學(xué)課程和教學(xué)改革的要求，也為學(xué)生提供了一種通過綜合、實踐的過程去做數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)的機會，尤其是作為數(shù)學(xué)課程的重要學(xué)習(xí)領(lǐng)域，它還強調(diào)以問題為載體，讓學(xué)生在解決問題的過程中，獲得并積累大量的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，是實現(xiàn)課程總目標(biāo)“四基”中的基本活動經(jīng)驗的主要途徑之一[1]。因此，新課改以來，青島市一直將“綜合與實踐” 作為學(xué)生學(xué)習(xí)的重要一環(huán)，在青島每年的初中學(xué)業(yè)水平考試中，“綜合與實踐”也都是考查的重點。

1 考查目的

“綜合與實踐”部分，既是學(xué)生所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識與技能、 思想與方法在解決一些數(shù)學(xué)問題中的綜合運用，即“數(shù)學(xué)探究”；也是這些知識與技能、思想與方法在解決生活和社會問題中的綜合運用，即“數(shù)學(xué)建?！薄Ｒ虼?，通過“綜合與實踐”內(nèi)容的考查，可以對以下幾點有一個較為直觀的評價。

（1）學(xué)生是否具備良好的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)運用意識；（2）學(xué)生是否形成了相關(guān)知識點的聯(lián)結(jié)，并具備綜合運用的能力；（3）學(xué)生是否具備解決“綜合與實踐”問題所需的探索性的、研究性的學(xué)習(xí)能力和研究能力；（4）學(xué)生是否積累了足夠的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。如果我們把通過“綜合與實踐”學(xué)習(xí)得到的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的過程細(xì)化，可以發(fā)現(xiàn)它應(yīng)該包含“學(xué)數(shù)學(xué)”“做數(shù)學(xué)”“用數(shù)學(xué)”“再創(chuàng)造”4 個層次，對這部分內(nèi)容的考查，可以很好地反映出學(xué)生目前經(jīng)驗積累所達(dá)到的層次[2]。

同時，通過“綜合與實踐”的考查，可以引導(dǎo)教師在日常的教學(xué)中，在重視四基目標(biāo)的基礎(chǔ)上，更關(guān)注教材的研究、 方法的指導(dǎo)和提供數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的實踐機會。

例1：2018年青島初中學(xué)業(yè)水平考試23 題

問題提出： 用若干相同的一個單位長度的細(xì)直木棒，按照如圖1 方式搭建一個長方體框架，探究所用木棒條數(shù)的規(guī)律。

圖1 2018年青島初中學(xué)業(yè)水平考試23 題

問題探究：

我們先從簡單的問題開始探究，從中找出解決問題的方法。

探究一：

用若干木棒來搭建橫長是m，縱長是n 的矩形框架（m、n 是正整數(shù)），需要木棒的條數(shù)。

如圖①，當(dāng)m=1，n=1 時，橫放木棒為1×（1+1）條，縱放木棒為（1+1）×1 條，共需4 條；

如圖②，當(dāng)m=2，n=1 時，橫放木棒為2×（1+1）條，縱放木棒為（2+1）×1 條，共需7 條；

如圖③，當(dāng)m=2，n=2 時，橫放木棒為2×（2+1））條，縱放木棒為（2+1）×2 條，共需12 條；

如圖④，當(dāng)m=3，n=1 時，橫放木棒為3×（1+1）條，縱放木棒為（3+1）×1 條，共需10 條；

如圖⑤，當(dāng)m=3，n=2 時，橫放木棒為3×（2+1）條，縱放木棒為（3+1）×2 條，共需17 條。

問題（一）： 當(dāng)m=4，n=2 時，共 需 木 棒____________條．

問題（二）：當(dāng)矩形框架橫長是m，縱長是n 時，橫放的木棒為____________ 條；

縱放的木棒為____________ 條。

探究二：

用若干木棒來搭建橫長是m，縱長是n，高是s的長方體框架（m、n、s 是正整數(shù)），需要木棒的條數(shù)。

如圖⑥，當(dāng)m=3，n=2，s=1 時，橫放與縱放木棒之和為[3×（2+1）+（3+1）×2]×（1+1）=34 條，豎放木棒為（3+1）×（2+1）×1=12 條，共需46 條；

如圖⑦，當(dāng)m=3，n=2，s=2 時，橫放與縱放木棒之和為[3×（2+1）+（3+1）×2]×（2+1）=51 條，豎放木棒為（3+1）×（2+1）×2=24 條，共需75 條；

如圖⑧，當(dāng)m=3，n=2，s=3 時，橫放與縱放木棒之和為[3×（2+1）+（3+1）×2]×（3+1）=68 條，豎放木棒為（3+1）×（2+1）×3=36 條，共需104 條。

問題（三）：當(dāng)長方體框架的橫長是m，縱長是n，高是s 時，橫放與縱放木棒條數(shù)之和為___________ 條，豎放木棒條數(shù)為___________ 條。

實際應(yīng)用： 現(xiàn)在按探究二的搭建方式搭建一個縱長是2、高是4 的長方體框架，總共使用了170 條木棒，則這個長方體框架的橫長是_________。

拓展應(yīng)用：若按照如圖2 方式搭建一個底面邊長是10，高是5 的正三棱柱框架，需要木棒_____條。

圖2 拓展應(yīng)用

該題的命題立意包含：（1） 學(xué)生能通過觀察、試驗、歸納、類比等方法進行合情推理；（2）理解簡單的數(shù)形結(jié)合思想等基本數(shù)學(xué)思想；（3）建立初步的幾何直觀，能利用圖形描述和分析問題；（4）能夠從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，研究其變化規(guī)律，并能用數(shù)學(xué)語言描述；（5）能利用“從特殊到一般”“從一般到特殊”“轉(zhuǎn)化”等策略分析解決簡單問題；（6）結(jié)合實際情境建立模型解決問題。由此可見，該題就是一個微型的科研過程，依托“綜合與實踐”的探究，對學(xué)生的綜合能力進行了考查；同時，作為學(xué)業(yè)水平測試中的一道難題，學(xué)生在考試過程中，能探究的時間是極為有限的，學(xué)生想在短暫的時間內(nèi)，完成一系列的思維活動，其思維能進展到何種程度，取決于有多少數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗作為積累[3]。因此，該題的考查，又反映出學(xué)生基本活動經(jīng)驗的多少。

2 命題設(shè)計原則

2.1 依托知識，超越知識

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生要獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗。相對而言，前兩者是有形的，后兩者則是無形的，所以在學(xué)業(yè)水平測試中，對前兩者的考查容易做到，但思想的形成和經(jīng)驗的積累卻是不容易考查的。因此，“綜合與實踐”的考查在設(shè)計時，應(yīng)該依托知識又超越知識，更多地指向?qū)W生能否提煉出思想方法和活動經(jīng)驗是否豐富上。

2.2 依托教材，超越教材

“綜合與實踐”考題的背景，可以從學(xué)生熟悉的現(xiàn)實背景和已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，結(jié)合教材和教學(xué)內(nèi)容，確定命題主題、內(nèi)容，同時也可以從數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)之美、趣味數(shù)學(xué)等方面選擇主題。

如例1，圍繞基本的擺木棒問題展開拓展性研究，然后從二維上升到三維，學(xué)生在探索中，不斷體會數(shù)學(xué)思想方法的價值和精髓。這樣的命題，即依托教材，又超越教材，使學(xué)生的綜合能力得到了考查。

2.3 依托課堂，超越課堂

“綜合與實踐”問題的考查，其背后是對學(xué)生是具備多少數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的考查。這些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗來源于學(xué)生的日常學(xué)習(xí)，依托課堂活動，但“綜合與實踐” 活動的完整過程，往往不是課堂上能夠完成的，需要課內(nèi)外相結(jié)合。比如，有的活動可以采用任務(wù)驅(qū)動的形式，課堂上進行交流合作完成任務(wù)；有的活動則是按照“選題—開題—做題—結(jié)題”的思路，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“微科研”過程學(xué)會怎樣做研究[4]。這種活動的組織實施顯然是要超越傳統(tǒng)課堂的。

3 考查形式

青島初中學(xué)業(yè)水平考試中，“綜合與實踐” 題目的編制基本都是以例1、例2 這種形式呈現(xiàn)的，簡單來說，就是給學(xué)生呈現(xiàn)一個模擬的“微科研”過程。

3.1 題目選材——重在問題導(dǎo)向

“綜合與實踐”是一類以數(shù)學(xué)問題或生活中的問題作為載體，以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動，所以考試命題的核心是問題或問題串。尋找好的問題，把求解問題的過程、 求解問題運用的思想方法或者拓展問題的結(jié)論，設(shè)計成學(xué)生便于理解和參與的形式，是“綜合與實踐”命題首先考慮的。

以例1 為例，數(shù)木棒是學(xué)生非常熟悉的一個問題，它來源于教材，又是平常學(xué)習(xí)中反復(fù)出現(xiàn)的問題，在平面上探索木棒擺放規(guī)律還是學(xué)生曾經(jīng)利用數(shù)形結(jié)合思想解決的問題。從探究一到探究二，從學(xué)生已經(jīng)解決的二維平面問題發(fā)展到三維空間問題，再到推導(dǎo)公式解決實際應(yīng)用，掌握方法解決拓展問題，我們可以看出這是一個以問題解決為中心的探究活動，學(xué)生可以在解決問題的實踐與探究過程中聯(lián)想想象、發(fā)散遷移，進一步發(fā)現(xiàn)新問題、創(chuàng)出新策略。以此更好地對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗進行考查。

3.2 呈現(xiàn)方式——問題引領(lǐng)與過程指導(dǎo)相結(jié)合

“綜合與實踐”的題目首先呈現(xiàn)給學(xué)生的應(yīng)該是某個問題的探究過程，以問題為紐帶，驅(qū)動學(xué)生快速經(jīng)歷，提取信息。然后圍繞探究過程，提出問題或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，再設(shè)計有效問題串啟發(fā)學(xué)生用已有的數(shù)學(xué)知識、技能、思想方法和活動經(jīng)驗去分析、解決問題，循環(huán)往復(fù)、不斷深化。

在命題時所選問題呈現(xiàn)出的求解過程或思想方法要利于學(xué)生理解，利于學(xué)生綜合運用所學(xué)知識，并能使學(xué)生在短時間內(nèi)對問題所體現(xiàn)的“微科研”的過程有體驗，喚醒他們積累的類似數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，使接下來的自主探究有據(jù)可依。

學(xué)生看到問題之后，可以通過觀察接收信息，分析與問題相關(guān)的背景知識、相關(guān)方法、數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)工具，最后反饋、 提煉所有信息這一過程明確題意，并與學(xué)習(xí)過的相關(guān)數(shù)學(xué)知識或模型進行連接，從而合理的運用題目呈現(xiàn)的解決問題的思路或方案，通過自主探究、實驗操作、觀察思考、推證演算等實踐操作環(huán)節(jié)解決問題。學(xué)生在根據(jù)題目尋求解題途徑時，能否有效地獲得信息，能否依托已有知識點提煉出合適的方法，都反映出以往有多少類似的活動經(jīng)驗，可以說，經(jīng)驗的多少決定了學(xué)生在本題中的得分多少。

4 學(xué)生解答情況

“綜合與實踐”題目在青島中考中的分值是10分，每年平均分都基本在5～6 分之間，從閱卷情況看，很少有學(xué)生會空題，這就反映了青島學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中，都得到了參與數(shù)學(xué)探究活動的機會，也通過這些活動具備了自主探究的能力，積累了基本活動經(jīng)驗。同時，這道題目的區(qū)分度也非常明顯，不同層次的學(xué)生分?jǐn)?shù)差異明顯，很好地反映出對學(xué)生基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗多少的考查結(jié)果，正好對應(yīng)了“學(xué)數(shù)學(xué)”“做數(shù)學(xué)”“用數(shù)學(xué)”“再創(chuàng)造”4 個層次[5]。

例1 中，問題（一）（二）正確率很高，說明絕大部分學(xué)生探究問題和類比歸納的能力較強，對于“學(xué)數(shù)學(xué)” 這個層次的經(jīng)驗是豐富的，從學(xué)生答題情況來看，主要存在的問題是書寫不規(guī)范。問題（三）是在探究一的基礎(chǔ)上層次遞進，由平面圖形過渡到立體空間，從二維上升到三維，難度增大，部分學(xué)生得分相對比較理想，通過規(guī)范的書寫，反映出這部分學(xué)生數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，綜合運用數(shù)學(xué)的能力較強，積累了足夠的“做數(shù)學(xué)”的活動經(jīng)驗。但是也有不少學(xué)生或限于個人的理解能力，不能從特殊中抽象出一般的規(guī)律，部分學(xué)生即使得到一般性的規(guī)律，但在答題規(guī)范、 計算等方面出現(xiàn)問題，如出現(xiàn)運算符號混亂，整式乘法結(jié)果錯誤等，反映出這部分學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的活動經(jīng)驗相對有所欠缺，不完整[6]。

實際應(yīng)用是對問題（三）結(jié)論的應(yīng)用，學(xué)生需要通過經(jīng)歷觀察、猜想、類比、歸納得到結(jié)論，轉(zhuǎn)化為方程，通過解方程獲得答案，雖然解方程不是這一問的難點，但是在中考這樣短時間、高壓力下，不具備豐富的“微科研”全過程數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，在“用數(shù)學(xué)”這個層次就難以將探究的完整結(jié)果呈現(xiàn)出來，很多學(xué)生在此處出現(xiàn)了錯誤。

最后的拓展應(yīng)用，得分率最低，因為需要較強的綜合運用能力、方法遷移能力，以前沒有過類似活動經(jīng)驗，就更難突破，所以這一問也是對學(xué)生初中三年學(xué)習(xí)中，是否曾經(jīng)有過自主探究、設(shè)問質(zhì)疑，創(chuàng)新體驗等數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的最好檢驗，反映出“再創(chuàng)造”能力依然是我們今后教學(xué)要重點關(guān)注的一項能力。

5 反思

有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能單純地依靠模仿和記憶，教師們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從事觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流、再創(chuàng)造等數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用的過程，從而更好地理解數(shù)學(xué)知識，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識與能力，積累寶貴的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，“經(jīng)歷了過程”的“做中學(xué)”往往比“直接得知結(jié)果”的“灌輸”印象更深刻，而這種“經(jīng)歷”的經(jīng)驗是任何講解都替代不了的。數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)運用意識和能力、 研究能力等這些綜合素質(zhì)必須依靠平日教與學(xué)的積淀，因此在教學(xué)中，教師要為學(xué)生搭建數(shù)學(xué)活動的平臺，提供充足的時間和空間，讓學(xué)生去經(jīng)歷活動過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，不斷發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問題，避免出現(xiàn)為了所謂的“省時間”，用過多的講解替代學(xué)生獨立的探究，或為了所謂的“多做練習(xí)”，用直接告知結(jié)果代替學(xué)生對定理公式產(chǎn)生過程的理解等一些舍本逐末、功利主義的做法。