呂 騫，丁徐鍇，陳 鶴，賈 佳，李宏生

(1.東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210096；2.東南大學(xué) 微慣性儀表與先進(jìn)導(dǎo)航技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210096)

0 引 言

微半球諧振陀螺儀是一種基于科里奧利效應(yīng)工作的高精度新型固體振動(dòng)陀螺[1,2]，一種沒(méi)有高速轉(zhuǎn)子和活動(dòng)支承，由半球殼的徑向振動(dòng)駐波的進(jìn)動(dòng)效應(yīng)來(lái)感應(yīng)基座旋轉(zhuǎn)的陀螺儀。其具有體積小、重量輕、功耗低、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、可靠性高、工作壽命長(zhǎng)等獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)[3]，被國(guó)際慣性技術(shù)學(xué)界認(rèn)為是21世紀(jì)最適用于航空航天器捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的理想器件[4,5]。

然而，由于工藝的限制，微半球諧振子加工過(guò)程中存在許多不理想的因素，如吹制過(guò)程中溫場(chǎng)不均勻、成型后研磨釋放不水平等。而這些加工誤差導(dǎo)致微半球諧振子機(jī)械結(jié)構(gòu)出現(xiàn)偏差，破壞其結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性[6]。從測(cè)控系統(tǒng)角度來(lái)看，這類誤差將導(dǎo)致諧振子的工作模態(tài)頻率出現(xiàn)裂解，且模態(tài)主軸軸向也不再是任意方向，這將嚴(yán)重影響了陀螺儀的性能。

為了確定諧振子模態(tài)主軸位置，李巍等人[7]通過(guò)推導(dǎo)振動(dòng)位移的表達(dá)式并通過(guò)安裝兩組激勵(lì)電極及位移傳感器來(lái)測(cè)試模態(tài)主軸方位。王錦等人[8]分析不同角度檢測(cè)電極處的頻率響應(yīng)特性，通過(guò)頻率響應(yīng)參數(shù)計(jì)算諧振子模態(tài)主軸軸向。

本文將根據(jù)理想振動(dòng)式陀螺儀的通用運(yùn)動(dòng)方程對(duì)微半球諧振子誤差模型進(jìn)行推導(dǎo)，再根據(jù)推導(dǎo)所得的微半球諧振基本誤差模型研究微半球諧振子的頻率誤差，提出了一種可以通過(guò)電掃頻所得數(shù)據(jù)計(jì)算微半球諧振子頻率主軸方位角的方法，在微半球諧振子結(jié)構(gòu)誤差研究和機(jī)械修調(diào)領(lǐng)域具有指導(dǎo)意義。

1 微半球諧振子基本誤差模型推導(dǎo)

理想振動(dòng)式陀螺儀的通用運(yùn)動(dòng)方程如下[9,10]

(1)

式中x,y為理想諧振子運(yùn)動(dòng)主軸方向的位移；ω0為理想諧振子工作模態(tài)的固有頻率；Q0為品質(zhì)因數(shù)；Ω為基座旋轉(zhuǎn)的角速度；η為角度增益系數(shù)；η′為向心力增益系數(shù)；gx，gy為理想諧振子沿主軸方向施加的外界加速度。

(2)

其中，

設(shè)L=[x,y]T則

Lω=PωL

(3)

式中Pω為諧振子沿{x,y}軸位移至頻率主軸方向位移的旋轉(zhuǎn)矩陣。將式(3)代入式(2)可得

(4)

當(dāng)諧振子運(yùn)動(dòng)環(huán)向諧波數(shù)n=2時(shí)

①大寫字母表示形狀、特征、性質(zhì)，如：U-tube U形管；I-beam工字鋼；T-ruler丁字尺；Y-section三通接頭管。

(5)

而諧振子阻尼誤差同樣可以利用兩模態(tài)時(shí)間常數(shù)結(jié)合阻尼主軸方位角建模。在式(4)加入阻尼項(xiàng)后，可以得到微半球諧振子運(yùn)動(dòng)的基本誤差模型

(6)

(7)

式中θτ為諧振子阻尼主軸方位角，τ{1,2}為諧振子兩個(gè)工作模態(tài)的時(shí)間常數(shù)。

由于式(6)并未顯式表示質(zhì)量誤差，而在陀螺儀測(cè)控系統(tǒng)設(shè)計(jì)中質(zhì)量攝動(dòng)引起的誤差是無(wú)法避免的，故引入質(zhì)量攝動(dòng)矩陣[11]，可將式(6)改為

(8)

式中m0為諧振子模態(tài)等效質(zhì)量；F為諧振子所受外力的向量矩陣；[ε]為非理想諧振子質(zhì)量攝動(dòng)系數(shù)矩陣。[ε]的表達(dá)式如下

式中ε{1,2}為理想諧振子質(zhì)量攝動(dòng)系數(shù)，其值通常均為小量。

2 微半球諧振子模態(tài)主軸方位測(cè)算原理

設(shè)在諧振子工作在n=2模態(tài)

F=f+KTL

(9)

式中f為作用在工作模態(tài)的等效基頻靜電力;KT則為等效靜電剛度矩陣，其表達(dá)式為

式中kT11為激勵(lì)電壓在x軸向上產(chǎn)生的靜電剛度，kT12和kT21為激勵(lì)電壓在x與y軸向間產(chǎn)生的耦合靜電剛度，kT22為激勵(lì)電壓在y軸向上產(chǎn)生的靜電剛度。當(dāng)兩個(gè)軸向上所加的激勵(lì)電壓大致相同時(shí)，kT11≈kT22。

將式(9)代入式(8)，則得

(10)

對(duì)式(10)進(jìn)行拉氏變換，可得

(11)

式(11)給出了基頻靜電力f至諧振子位移的傳遞函數(shù)。其中,T{x,y}/f{x,y}(s)為{x,y}軸向靜電力到{x,y}軸位移的傳遞函數(shù)。T(s)中副對(duì)角線傳遞函數(shù)反映了諧振子模態(tài)之間的耦合，若其為零，則諧振子沿{x,y}軸向的運(yùn)動(dòng)互相獨(dú)立，其模態(tài)主軸與{x,y}重合。但實(shí)際上由于加工誤差的存在，微半球諧振子模態(tài)主軸與{x,y}軸之間總存在誤差角θω。

將式(5)和式(7)代入式(11)。同時(shí)，為了便于分析微半球諧振子頻率誤差的特點(diǎn)，可先忽略阻尼誤差，則有τx=τy=τ0,2/τc=0。又由于質(zhì)量攝動(dòng)引起的誤差對(duì)頻率誤差影響較小，故可忽略，取ε1=ε2=0。進(jìn)而，可得

(12)

由于真空封裝的全對(duì)稱微半球諧振子的Q值較高[12～15]，因此可忽略其阻尼對(duì)于諧振頻率的影響，又當(dāng)兩個(gè)軸向上所加的激勵(lì)電壓大致相同時(shí)，kT11≈kT22=kT0，則式(12)中傳遞函數(shù)的兩對(duì)極點(diǎn)分別為

(13)

(14)

式中 上標(biāo)*指共軛。又根據(jù)式(12)解得傳遞函數(shù)Tx/fx(s)的一對(duì)零點(diǎn)可由下式確定

(15)

將式(13)和式(14)代入式(15)，可得

(16)

式(13)和式(14)表明，傳遞函數(shù)T(s)的極點(diǎn)反映了諧振子在當(dāng)前偏置電壓下的模態(tài)頻率。而根據(jù)式(16)，可以通過(guò)電掃頻的方式，利用Tx/fx(s)的零、極點(diǎn)確定諧振子工作模態(tài)主軸方位角。

3 實(shí)驗(yàn)與仿真驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)測(cè)算

為驗(yàn)證式(16)對(duì)確定微半球諧振子頻率主軸方位角的有效性，搭建測(cè)試實(shí)驗(yàn)平臺(tái)對(duì)微半球諧振子進(jìn)行電掃頻實(shí)驗(yàn)。微半球諧振子及實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖1所示。

圖1 微半球諧振子及實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

考慮到在推導(dǎo)式(16)過(guò)程中忽略了阻尼項(xiàng)，本文分別試驗(yàn)了Q值為1 930(1#諧振子)和13 390(2#諧振子)的兩個(gè)微半球諧振子，以實(shí)驗(yàn)微半球諧振子Q值大小不同對(duì)式(16)計(jì)算主軸方位角的影響。

首先對(duì)兩個(gè)微半球諧振子進(jìn)行電掃頻。為了保證掃頻過(guò)程中兩個(gè)模態(tài)靜電力剛度近似相同(kT11≈kT22)，對(duì)兩個(gè)模態(tài)電極加相同的直流激勵(lì)電壓，并對(duì)x模態(tài)加交流激勵(lì)電壓進(jìn)行電掃頻，得到微半球諧振子x模態(tài)的幅頻特性曲線如圖2所示。

圖2 電掃頻所得微半球諧振子x模態(tài)的幅頻特性曲線

對(duì)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到兩個(gè)諧振子的零極點(diǎn)頻率值如表1所示。并根據(jù)式(16)計(jì)算得兩個(gè)微半球諧振子的頻率主軸方位角分別為30.36°和34.75°。

表1 微半球諧振子零極點(diǎn)頻率值

3.2 仿真檢驗(yàn)

用MATLAB對(duì)式(12)的Tx/fx(s)進(jìn)行建模仿真，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)果。由于無(wú)法直接得到式(12)中的靜電力剛度kT11,kT22，故首先對(duì)兩個(gè)微諧振子進(jìn)行靜電力剛度實(shí)驗(yàn)，得到微半球諧振子x模態(tài)諧振頻率與電極所加直流電壓的關(guān)系數(shù)據(jù)，并對(duì)其進(jìn)行二次擬合，結(jié)果曲線如圖3所示。根據(jù)圖3可知，較低的直流激勵(lì)電壓對(duì)模態(tài)諧振頻率的影響極小，故可在仿真時(shí)忽略項(xiàng)kT11/m0,kT22/m0。

圖3 微半球諧振子x模態(tài)諧振頻率與靜電力關(guān)系曲線

下一步根據(jù)所得兩個(gè)微諧振子的模態(tài)諧振頻率(極點(diǎn)頻率)及計(jì)算所得方位角進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖4所示。根據(jù)圖4可知，仿真所得的零點(diǎn)頻率分別為5 587.1 Hz和6 664.5 Hz，與實(shí)際測(cè)量所得零點(diǎn)位置頻率基本重合。

圖4 微半球諧振子x模態(tài)仿真幅頻特性曲線

根據(jù)以上結(jié)果可知，式(16)可以有效確定微半球諧振子的模態(tài)主軸方位角，且微諧振子值Q越大，計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確。

4 結(jié) 論

本文對(duì)微半球諧振陀螺儀的諧振子誤差模型進(jìn)行了研究，首先根據(jù)理想振動(dòng)式陀螺儀的通用運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)出微半球諧振子的誤差基本模型；再根據(jù)該基本誤差模型提出了一種可以通過(guò)電掃頻測(cè)算微半球諧振子頻率主軸方位角的方法；通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量?jī)蓚€(gè)Q相差較大的微半球諧振子頻率主軸方位角分別為30.36°和34.75°，利用仿真驗(yàn)證了本文方法測(cè)得的主軸方位角的有效性。本文所介紹的微半球諧振子頻率主軸方位角計(jì)算方法對(duì)于在微半球諧振子結(jié)構(gòu)誤差研究和機(jī)械修調(diào)領(lǐng)域具有指導(dǎo)意義。