孫艷梅 劉才華

摘 要：本文主要給出了兩個(gè)由三個(gè)函數(shù)組成的絕對(duì)值不等式的命題.

關(guān)鍵詞：函數(shù);絕對(duì)值;充要條件;應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）10-0006-02

給出三個(gè)函數(shù)f（x），g（x），F(xiàn)（x），其絕對(duì)值之間的大小關(guān)系，有如下：

命題1 f（x）+g（x）≤F（x）的充要條件是f（x）+g（x）≤F（x）且f（x）-g（x）≤F（x）.

證明：充分性

若f（x）g（x）<0，則f（x）+g（x）=f（x）-g（x）≤F（x）;

若f（x）g（x）≥0，則f（x）+g（x）=f（x）+g（x）≤F（x）.充分性得證.

必要性

由f（x）+g（x）≤F（x）得f（x）+g（x）≤f（x）+g（x）≤F（x）;由f（x）-g（x）≤F（x）得

f（x）-g（x）≤f（x）+g（x）≤F（x）.必要性得證.

于是命題1得證.

命題2 f（x）+g（x）≥F（x）的充要條件是f（x）+g（x）≥F（x）或f（x）-g（x）≥F（x）.

證明：充分性

若f（x）+g（x）≥F（x），則f（x）+g（x）≥f（x）+g（x）≥F（x）;

若f（x）-g（x）≥F（x），則f（x）+g（x）≥f（x）-g（x）≥F（x）.充分性得證.

必要性

若f（x）g（x）<0，則f（x）-g（x）=f（x）+g（x）≥F（x）;

若f（x）g（x）≥0，則f（x）+g（x）=f（x）+g（x）≥F（x）.必要性得證.

于是命題2得證.

含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式問題，是高中數(shù)學(xué)選修4-5中的重要內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)內(nèi)容.對(duì)于絕對(duì)值不等式的解法，常用“零點(diǎn)分析法”去掉絕對(duì)值，化歸為若干個(gè)不等式組問題，原不等式的解集是這些不等式組解集的并集.若利用上述兩個(gè)命題解絕對(duì)值不等式，可操作性強(qiáng)，過程簡(jiǎn)潔明快.下面我們通過幾道題目加以說明.

例1 （人教B版選修4-5第14頁(yè)例2）解不等式x+2+x-1<4.

解 由命題1得2x+1<43<4，解得-52<x<32.所以等式的解集為x-52<x<32.

例2 （2015年全國(guó)Ⅰ卷理科第24題）已知函數(shù)f（x） =x+1-2x-a，a>0.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）>1的解集;

（2）若f（x）的圖象與x軸圍成的三角形的面積大于6，求a的取值范圍.

解 （1） 當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）>1等價(jià)于x+1-2x-1>1，即x+1>2x-2+1.

由命題1得2x-1<x+12x-3<x+1，則x 2-2x<03x 2-14x+8<0，解得23<x<2，所以不等式的解集為x23<x<2.

（2）解答略.

例3 已知函數(shù)f（x）=2x-1+2x+a，g（x）=x+3.

（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求不等式f（x）<g（x）的解集;

（2）設(shè)a>-1，且當(dāng)x∈-a2，12時(shí)， f（x）≤g（x）， 求a的取值范圍（2013年全國(guó)Ⅰ卷理科第24題）.

解 （1）當(dāng)a=-2時(shí)，不等式f（x）<g（x）等價(jià)于2x-1+2x-2<x+3.由命題1得

4x-3<x+33<x+3，解得0<x<2，所以不等式的解集為x0<x<2.

（2）解答略.

例4 （人教A版選修4-5第17頁(yè)例5）解不等式x-1+x+2≥5.

解 由命題2得2x+1≥5或3>5，解得x≤-3或x≥2，所以不等式的解集為xx≤-3或x≥2.

例5 （2015年山東卷理科第5題）不等式x-1-x-5<2的解集是（）.

A.-SymboleB@，4 B.-SymboleB@，1 C.1，4 D.1，5

解 x-1-x-5<2化歸為x-1<x-5+2.由命題2得x-3>x-1或x-7>x-1，解得x<2或x<4，所以不等式的解集為-SymboleB@，4.選擇答案A.

例6 （2012年全國(guó)Ⅰ卷理科第24題）已知函數(shù)f（x） =x+a+x-2.

（1）當(dāng)a=-3時(shí)，求不等式f（x）≥3的解集;

（2）若f（x）≤x-4的解集包含1，2，求a的取值范圍

解 （1）當(dāng)a=-3時(shí)，不等式f（x）≥3等價(jià)于x-3+x-2≥3.由命題2得2x-5≥3或1≥3，解得x≤1或x≥4，所以不等式的解集為xx≤1或x≥4.

（2）解答略.

參考文獻(xiàn)：

[1]韓景崗，陳國(guó)林.巧用不等式 妙解兩類最值題[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2018（1）：18-19.

[責(zé)任編輯：李 璟]