郭杭園

摘 要：立體幾何與空間向量，空間向量是數(shù)學必修4“平面向量”在空間的推廣，又是數(shù)學必修2“立體幾何初步”的延續(xù)，努力使學生將運用空間向量解決有關直線、平面位置關系的問題，體會向量方法在研究幾何圖形中的作用，進一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力。立體幾何在高考解答題中位于第二大題的位置，是學生必須掌握與突破的一個數(shù)學問題，但在求第二問的時候，學生總是迷茫，傳統(tǒng)法無法入手，然而空間向量做的話，對于某一個點坐標沒法求，從而得不到本題滿分。從而對于關鍵點的計算，是值得我們研究。

關鍵詞：空間向量與立體幾何;建系;關鍵點P;點坐標

空間向量為處理立體幾何問題提供了新的視角（“立體幾何初步”側重于定性研究，本章則側重于定量研究）?？臻g向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關系與度量問題提供了一個十分有效的工具。

明白其教育價值所在的同時，也很高興能夠有機會參加這次市調研課，使我在其中成長了許多也收獲了許多?，F(xiàn)在還能夠回想起第一次講公開課的場景，還能夠想起與師傅一起探討研究題目的情景，即使都很累了，晚上還要利用她的休息時間幫我去理清課的思路和設計課上的活動，在一遍一遍的試講中，總算是能夠找到公開課的樣子。而當三年后的今天上市調研課的時候，有了一些自己的想法和這幾年的從教經(jīng)驗，但是還是不夠成熟，不是很成體系，與葛老師反反復復一次次的交談之后，終于定下了我的初稿，和同仁們的一起磨課，在大家的幫助下才有這樣一堂在于我看來近乎完美的課。下面我就來談一下我這次課的感受。

本節(jié)市調研課正繼2018市模擬考試結束，根據(jù)兩班（314，326）學生在本場考試各小題得分情況，得出這次立體幾何解答題得分并不理想，總分15分，平均只有9.3分。翻閱各位學生的答題卷，發(fā)現(xiàn)問題幾乎出現(xiàn)在第二小題，原因：1、底面是一個等邊三角形的斜三棱錐，從而不知道如何建系;建立系的同學將PD作為Z軸，并沒有和底面垂直，從而出錯。2、系建立對了之后，關鍵點P坐標不會求。面對6月的高考，這兩個問題必須解決，而且刻不容緩。于是借著諸暨市調研課這個契機，好好研究這個專題，看了百來個立體幾何，尋找適合本班學生的題目，拿出來分析研究，讓學生徹底解決這兩個問題。

本課是高考數(shù)學復習中的一個重要部分，是數(shù)學必修4“平面向量”在空間的推廣，又是數(shù)學必修2“立體幾何初步”的延續(xù)，努力使學生將運用空間向量解決有關直線、平面位置關系的問題，體會向量方法在研究立體幾何圖形中的作用，進一步發(fā)展空間想象力和幾何直觀能力?？臻g向量為處理立體幾何問題提供了新的視角。空間向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關系與度量問題提供了一個十分有效的工具。因此必須為這一章開始一次有效的專題課，讓學生更好的從整體認識到本章的重要性，以及關鍵點P如何求解的方式方法的總結和歸納。

例題如下：

（2016諸暨期末）如圖，在四棱錐的一個側面PAD為等邊三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，∠BCD=∠ADC=Rt∠P-ABCD，AD=2BC=2CD=2，E為PD的中點。

（1）求證：CE//面PAB

（2）求直線CD與平面PAB所成角的正弦值

△PAD本例子中因為有明顯的直角，所以學生很快就可以把系建立起來，又因為后面是一個垂直底面的平面PAD，所以關鍵點P的投影直接落在AD上，點P很快就可以知道坐標。這題還難不到我班在座的各位。于是將平面PAD向前或向后傾斜，使其不垂直于底面。引出BC//AD，CD⊥CD，PC=AD=2DC=2CB

例2（2017浙江高考）如圖，在四棱錐中P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，E為PD的中點。

（1）求證：CE//面PAB

（2）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值

本例中底面直角直接給出，X軸Y軸很容易表示，但是Z軸就不能靠在面PAD這個平面當中，于是就大膽地就將Z軸垂直向上。這樣系是建好看了，但是問題也就出來了，關鍵點P該如何計算呢？對于這個關鍵點P的坐標我們很難找到在底面投影點的位置，有部分同學即使找到了也很難計算出點P的坐標，根本不適合我班的學生。于是我們放棄解決立體幾何問題的傳統(tǒng)方式方法，就純粹地從向量的角度出發(fā)，直接假設點P坐標為（x，y，z），運用方程組的思想，三個未知量三個方程，去尋找有關于點P的三個關系，建立三元一次方程進行計算，從而得到點P。這樣便突破了本題的最大難點，而且學生也容易接受這種解題技巧。這樣的做法，思路上大大的簡單化，尋找關系，這個關系可以是有關于點P的垂直、平行、距離、角度等等，但是對于第一次接觸這種方式的學生，計算則難以接受，則需要課后的練習。我們再次回歸到2018年的紹模試題，讓之前做錯的同學上來板演，即快又正確的得到結果，得到了老師的表揚與同學們的掌聲。這是一個以前在學習數(shù)學方面極其沒有自信的學生，通過這節(jié)課后，那確立了自信，有了學習數(shù)學的信心和決心。

再思考：

如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是等邊三角形，O為AC的中點，PA=PC，二面角P-AC-B的大小為60°

（1）求證：平面PBO⊥平面PAC

（2）求直線AB與平面PAC所成角的正弦值

最后以一題關鍵點P在OP上運動的題目加以鞏固和加深，此點P并非是一個定點，而是帶著參的一個動態(tài)過程，對于學生求面的法向量則是一個困惑。學生往往只會已知面中三點的坐標，得到兩條相交直線的方向向量來求，帶著參則無法求解，其實面的法向量只需垂直于平面，對于方向和長度并沒有任何的限制，因此只需大膽的往下求，參量會刪除的。

在這整個研究過程中，我也看了百余題立體幾何的題目，其實發(fā)現(xiàn)了很多共性。題目本身的出題方式，第一小題大都就是線面、面面的位置關系，證明平行、垂直等等。第二小題便是空間角的問題，以線面角居多;還有圖形上的變化，底面由三角形延伸到四邊形甚至很多的邊形;側面由垂直到傾斜，由三邊到四邊等的變化。它們都幾乎逃不出底面和側面具有公共邊的等腰三角形，也就是說總是可以找到那樣一個與底面的垂直的垂面，點P必將落于垂面與底面的交線上，都可以利用傳統(tǒng)純幾何方式加以求解，當然這樣方式比較難，不適合本班的學生，于是便只選擇了用向量方式去解決問題，我班的學生能夠更好的接受這類問題。

本節(jié)課，我本著以學生為主，教師為輔的這一原則。最終讓學生在知識上有所掌握，在能力和意識上有所收獲。

一、這節(jié)課我最滿意的有以下幾個地方：

（一）學生的參與

這節(jié)課的主體不是我而是學生們，學生們對知識的渴求欲望令我既驚又喜，他們頻頻地舉手發(fā)言使整個課堂的氣氛活躍了起來，整個教室都充滿著愉悅、熱情、活潑的氣息，充滿蓬勃的朝氣，讓我感覺這仿佛不是一堂課，而是我與同學們開放平等地一次交流與合作。學生們表現(xiàn)出來的對數(shù)學無比濃厚的興趣令我收獲了極大的滿足感與獲得感，他們的參與是這節(jié)課必不可少的催化劑。我只是作為了一個引導者，引導他們在核心問題上深入研究。

（二）學生的創(chuàng)新

這節(jié)課有個意外收獲。在求一點坐標時，我用的是投影而該班黃金同學卻利用的是共線，方法簡潔，給人以耳目一新的感覺。另外該班的張玉婷同學在兩道中都提出了不同的做法，有其獨特的見解。學生的思維不僅活躍，而且大膽，創(chuàng)新精神貫徹到了他們思維中的每一處，無論是提出新方法，還是提出新見解，他們的創(chuàng)新都折射出了中學生蓬勃向上的積極進取心與創(chuàng)造力。中學生的思維是相當活躍的，并且受到的束縛也少，相較于我們成年人，他們沒有明顯的思維定式，可見學生真的是思考了，我也從中獲益不少，真的是給學生以展示的舞臺，他回報你以驚喜。

（三）學生的置疑

何楊波同學能直截了當?shù)闹赋龊诎迳系腻e誤而且是一個我沒發(fā)現(xiàn)的計算錯誤，這一點是勇敢且自信的。這不僅說明了學生的注意力高度集中、對待這節(jié)課十分重視，而且也體現(xiàn)了他們善于觀察、注重細節(jié)，不放過黑板上的一絲一縷。學生敢于置疑，提出問題，這是一種實事求是的精神態(tài)度，無論是在當下的課堂中，還是在未來的人生道路上，這種大膽質疑的實事求的精神都是值得表揚。除此之外，大膽的、正確的質疑也糾正了我的錯誤，對我個人也是頗有裨益。

（四）課件的制作

立體幾何著重強調的是空間想象力，利用幾何畫板，從多個角度觀察圖形;所以我在制作課件的時候特別注重了這一點，特地選取了一些典型的、有普遍共性的例題，四題例子的立體圖形變化過程在幾何畫板中展示，讓學生清晰的看到其實很多立體幾何的本質是不變的，是具有一定共性的，這對他們接下來深入研究學習立體幾何有長遠的好處，本質上的理解才能使學生們做題時能透過現(xiàn)象看本質，舉一反三、融會貫通。

二、我不滿意的地方有以下幾點：

（一）例子的選取

最后一個例子的選取，層次過于高了，本班的學生過于難了一些。在模仿學習的前提下，如何處理較難的（不易模仿的）題型，對于教學要有一個基礎定位。

（二）總結時間短

這節(jié)課的主題是兩種方法的比較和不同方法的適用題型的總結歸納時間不夠。沒有時間讓學生自己談談心得體會，自己找找解題規(guī)律，如果給足時間那樣應該會更好。

三、空間向量在立體幾何中應用的教學注意事項：

（一）注重數(shù)學思想。思想上的力量是最關鍵的。讓學生經(jīng)歷向量由平面向空間推廣的過程，使學生體會其中的數(shù)學思想方法：類比與歸納。體驗數(shù)學在結構上的和諧性與在推廣過程中的問題，并學會如何解決問題。因此，宜多引導學生與平面向量及其運算類比，與實數(shù)及其運算類比，從“數(shù)、量與運算”發(fā)展的角度理解向量。

（二）注意數(shù)與形的關聯(lián)。向量的特征之一是其本身具有數(shù)與形兩重含義。本章教學中，除了要關注前面多次提及的知識縱向聯(lián)系之外，還要特別關注知識的橫向聯(lián)系，這二者都很重要，缺一不可。研究問題要全面、普遍，從不同角度研究同一問題，認識與運用向量及其運算中數(shù)與形的關聯(lián)。

（三）根據(jù)特點選擇方法。重視傳統(tǒng)方法、向量方法、坐標方法各自特點的分析與歸納，傳統(tǒng)方法以邏輯推理作為工具解決問題;向量方法利用向量的概念及其運算解決問題;坐標方法利用數(shù)及其運算來解決問題，坐標方法常與向量運算結合起來使用，根據(jù)它們的具體條件和特點選擇合適的方法。

這次難得的機會讓我獲益匪淺，無論是立體幾何的知識點本身，比如對于立體幾何出題人會圍繞著什么方向出題，以及考什么知識點，還是對教學方式方法、解題思路、公開課的教學，我都有更深層次的了解，取得了不小的進步。除此之外，我還認識到了這種大型的公開課能夠鍛煉我的心理素質與隨機應變能力，經(jīng)常的參與并且傾聽別人的課件設計對一個年輕教師的成長是非常重要的！路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索！

參考文獻

[1]《普通高中數(shù)學課程標準》（實驗稿）[M].北京：人民教育出版社，2003

[2]《5年高考3年模擬》[M].北京：首都師范大學出版社，2016

[3]江玉軍.空間向量與立體幾何[J].中學數(shù)學教學參考，2007年

[4]劉瑞美.“空間向量與立體幾何”的教學探討[J].上海中學數(shù)學，2010