李園錦 潘嘹 錢靜 楊碩

摘?要：目的：研究咖啡粉孔隙率對咖啡膠囊內(nèi)沖泡流場及其達到穩(wěn)態(tài)時間的影響，尋找咖啡膠囊內(nèi)最佳咖啡粉充填密度。方法：基于自由流動和多孔介質(zhì)流動理論，應用Comsol Multiphysics軟件耦合Navier-Stokes方程和Brinkman方程，對咖啡膠囊不同孔隙率下膠囊內(nèi)沖泡流場進行有限元模擬，研究流場分布規(guī)律。利用示蹤法計算沖泡流場達到穩(wěn)態(tài)的平衡時間，并構建咖啡粉不同孔隙率對平衡時間的經(jīng)驗公式。采用相同方法模擬手沖咖啡機中的沖泡流場，通過比較意式咖啡機出口流量和模擬出口流量驗證方法準確性。結果：意式咖啡機出口流量和模擬出口流量基本一致，誤差小于6.10%，表明本研究使用的方法能夠用于表征咖啡粉沖泡流場分析。對咖啡膠囊內(nèi)沖泡流場的模擬結果顯示，咖啡膠囊孔隙率越小，咖啡膠囊穩(wěn)態(tài)沖泡流場整體流速越小，且流場達到穩(wěn)態(tài)時間越長。在注水孔、通孔膜小孔和出口附近流速和速度梯度顯著增大，靠近杯壁方向流速減小。構建的咖啡粉孔隙率對平衡時間的經(jīng)驗公式能夠準確預測不同孔隙率下咖啡粉中流場的平衡時間。結論：通過Comsol軟件耦合Navier-Stokes方程與Brinkman方程能夠用于模擬咖啡沖泡過程中的流場分布，通過咖啡孔隙率與平衡時間的經(jīng)驗公式有助于確定咖啡膠囊沖泡風味最佳的孔隙率，為咖啡膠囊風味改進中咖啡粉充填密度的選擇提供科學依據(jù)。

關鍵詞：咖啡膠囊;孔隙率;充填密度;有限元模擬

隨著經(jīng)濟高速增長和生活質(zhì)量提升，咖啡為越來越多消費者所喜愛[1]。在消費升級背景下，普通的速溶咖啡已經(jīng)不能滿足消費者對咖啡品質(zhì)的追求，而味道純正的手沖咖啡需要專業(yè)人員花費大量時間操作才能得到，無法適應快節(jié)奏生活下消費者快速沖泡的需求。咖啡膠囊是一種結合了速溶咖啡與手沖咖啡兩者優(yōu)點的新型咖啡產(chǎn)品，不僅能得到味道純正的咖啡，而且咖啡膠囊機的操作過程方便快捷[2]?？Х饶z囊的沖泡品質(zhì)受到咖啡豆處理工藝、咖啡粉充填密度和沖泡工藝等因素的多重影響，因此需要研究影響咖啡膠囊沖泡品質(zhì)的重要參數(shù)并進行優(yōu)化。

近十幾年來，國內(nèi)外很多學者針對影響手沖咖啡風味的因素開展了大量研究，比如胡榮鎖等[3]、何余勤等[4]通過電子鼻對感官風味定性表達，研究了研磨時間與烘焙程度對咖啡風味物質(zhì)的影響。Natnicha Bhumiratana等[5]通過量化15種香味感官屬性，發(fā)現(xiàn)相較于咖啡豆種類，烘焙程度和研磨工藝對咖啡風味影響更大。虞健等[6]研究表明，不同烘焙程度主要對咖啡酸味、辛辣味和刺激味感官屬性有影響?？傮w上來說，這些研究工作主要集中在咖啡豆處理工藝對咖啡風味的影響上[7-10]。手沖咖啡的風味依賴于咖啡師的經(jīng)驗與操作，而咖啡膠囊只能通過提前設定機器中各種參數(shù)來控制咖啡的品質(zhì)，目前有關咖啡膠囊重要參數(shù)對咖啡品質(zhì)的影響缺乏研究。咖啡粉的充填密度決定了其孔隙率的大小，而孔隙率決定了沖泡介質(zhì)（即熱水）對咖啡風味物質(zhì)的萃取程度，進而影響咖啡的沖泡品質(zhì)。咖啡粉過實孔隙率過小，則熱水通過咖啡粉難度變大，導致萃取時間長而使咖啡味酸苦，咖啡粉過松孔隙率過大，熱水將快速流過咖啡，導致萃取不足而使咖啡味寡淡。

流體在多孔介質(zhì)內(nèi)流動情況十分復雜，難以通過試驗發(fā)現(xiàn)其內(nèi)部規(guī)律，而基于流體力學理論建立合適方程組采用數(shù)值計算方法，可以有效研究多孔介質(zhì)流動規(guī)律。王冬平[11]基于達西定律耦合N-S方程和Brinkman方程，建立非線性滲流耦合模型描述了地下水突水全過程，并分析了突水過程中水壓和流速的分布規(guī)律，找到誘發(fā)突水的關鍵部位與實際情況一致。楊貝貝等[12]通過構建導數(shù)形式的波動方程，求解了飽和多孔介質(zhì)動力問題，并發(fā)現(xiàn)飽和多孔地基中空溝隔振效果隨孔隙率和泊松比增大而變差。本研究針對咖啡膠囊不同孔隙率下沖泡流場進行數(shù)值模擬，通過將咖啡粉均質(zhì)化為多孔介質(zhì)，分析自由流動和多孔介質(zhì)流動理論，應用Comsol軟件耦合Navier-Stokes方程與Brinkman方程模擬出咖啡膠囊穩(wěn)態(tài)沖泡流場，分析穩(wěn)態(tài)時水在咖啡膠囊內(nèi)的速度與分布規(guī)律，在穩(wěn)態(tài)結果基礎上，利用示蹤法對沖泡流場達到穩(wěn)態(tài)的平衡時間進行模擬計算，并擬合孔隙率與平衡時間函數(shù)，為提升咖啡膠囊風味中孔隙率的選擇提供科學依據(jù)。

1?理論依據(jù)

雷諾數(shù)計算公式如式（1）：

式（1）中，ρ表示流體密度、υ表示特征速度、d表示特征長度尺寸、μ表示流體動力黏度。計算本文研究的咖啡膠囊內(nèi)流體流動的雷諾數(shù)為171，所以咖啡膠囊內(nèi)流體流動狀態(tài)為層流。

針對咖啡膠囊內(nèi)沖泡流場的數(shù)值模擬，有如下基本假設：（1）流體為連續(xù)介質(zhì)[13];（2）在咖啡粉中流體滲流為飽和多孔介質(zhì)滲流。咖啡膠囊內(nèi)流體流動包含自由流動和多孔介質(zhì)流動兩種，在咖啡粉中為多孔介質(zhì)流動，其余部分均為自由流動，所以采用耦合Navier-Stokes方程與Brinkman方程的模擬方法[14]。整個沖泡過程流場溫度幾乎不變，模型為等溫流動模型。

咖啡膠囊內(nèi)水的自由流動規(guī)律選用Navier-Stokes方程描述，方程如式（2）、（3）：

式（2）、（3）中，ρ為流體密度、p為壓強、u為速度矢量、μ為動力黏度、F為體積力源項、g為重力加速度、I為單位矩陣。

咖啡膠囊內(nèi)多孔介質(zhì)流動規(guī)律選用Brinkman方程描述，方程如式（4）、（5）：

式（4）、（5）中，p為壓強、u為速度矢量、μ為動力黏度、K為多孔介質(zhì)滲透系數(shù)、F為體積力項。

2?數(shù)值模擬

Comsol Multiphysics軟件（Comsol）具有強大的多物理場仿真計算能力，以其獨特優(yōu)勢被廣泛應用于流體力學的計算當中。Comsol數(shù)值模擬計算的流程為選擇物理場模塊、建立幾何模型、設置邊界條件與參數(shù)、劃分網(wǎng)格、利用求解器求解、結果后處理。本研究采用Comsol進行數(shù)值模擬，采用Solidworks建立三維模型。

2.1?三維模型建立

Comsol內(nèi)置LiveLink接口，可以直接導入Solidworks中建立的三維模型。本研究以鼎加弘思公司咖啡膠囊為研究對象建立三維模型。模擬方法常用模擬實驗來驗證其可行性與準確性，用意式咖啡機進行模擬實驗，以意式咖啡機粉碗為對象建立模擬實驗模型。

2.1.1?咖啡膠囊三維模型?咖啡膠囊由高阻隔杯體、封口膜、通孔膜、咖啡粉、濾紙、泄壓導流結構件組成。圖1咖啡膠囊整體高度為49 mm、封口膜直徑為48 mm、注水孔直徑為3 mm、通孔膜小孔直徑為1 mm、相鄰小孔間距10 mm、泄壓導流結構件出口通孔直徑為1 mm。忽略沖泡過程中咖啡粉底部濾紙對流場的影響。

2.1.2?模擬實驗模型?圖2所示意式咖啡機粉碗整體高度為31 mm、碗口直徑為52 mm，濾網(wǎng)上篩孔直徑為0.5 mm、出口直徑為5 mm。

2.2?邊界條件設置

邊界條件設置的準確性對咖啡膠囊內(nèi)沖泡流場的數(shù)值模擬十分重要。以實際咖啡膠囊機沖泡時注水壓力作為入口邊界條件，將實際情況與三維模型相結合，設置邊界條件見表1。

2.3?參數(shù)設置

選擇9組不同咖啡粉孔隙率進行數(shù)值模擬，分別編號為C1～C9，對應滲透率見表2。咖啡膠囊機沖泡溫度為92 ℃，查表得此溫度下水的密度為963.96 kg/m3，水的動力黏度為0.000 31 Pa·s。

2.4?網(wǎng)格劃分

網(wǎng)格劃分對于模擬計算的收斂性和準確性有較大影響。由于咖啡膠囊通孔膜和泄壓導流件結構復雜，所以采用非結構化網(wǎng)格，并在自由流動和多孔介質(zhì)流動邊界面進行網(wǎng)格加密。整個咖啡膠囊三維模型最終網(wǎng)格數(shù)量為73萬。

3?模擬方法驗證

為了證明本研究所應用的耦合Navier-Stokes方程與Brinkman方程的模擬方法可以用于咖啡膠囊內(nèi)沖泡流場的數(shù)值模擬及其準確性，選用一個工況來進行模擬實驗，在實驗室進行咖啡沖泡實驗，以出口流量為判斷依據(jù)，比較實驗與數(shù)值模擬兩者所得穩(wěn)態(tài)出口流量結果。

3.1?材料與儀器

材料：咖啡粉（埃塞俄比亞風味，鼎加弘思公司，真密度為1.001 kg/m3）、怡寶礦泉水。儀器：意式半自動咖啡機（DL-KF6001，廣東東菱電器有限公司）、電子天平（ML6001E，梅特勒儀器上海有限公司）。

3.2?實驗方案

利用意式半自動咖啡機對咖啡粉進行加壓沖泡，實驗咖啡粉孔隙率為68%，沖泡入口壓力為251 kPa恒壓。實驗步驟如下：

（1）取下咖啡機把手及粉碗。將咖啡機開關調(diào)至萃取檔，預熱咖啡機。（2）稱量14.9 g咖啡粉裝入粉碗，用填壓器壓實咖啡粉餅至指定體積。（3）安好粉碗，鎖上把手。確認工作指示燈亮起，機器已可以使用，按下萃取按鈕，開始沖泡。（4）待咖啡穩(wěn)定流出后，用燒杯接住并計時20 s。（5）選擇合適量筒測量燒杯中咖啡體積。孔隙率計算公式為式（6）：

式（6）中，ρ*為多孔介質(zhì)的表觀密度、ρs為多孔介質(zhì)的真密度。

4?結果與討論

4.1?模擬方法驗證結果

實驗測得當穩(wěn)定流出咖啡時，平均出口流量為3.524 mL/s、數(shù)值模擬計算出口流量為3.309 mL/s、誤差范圍為6.10%。該實驗證明，在Comsol軟件中Navier-Stokes方程與Brinkman方程耦合的模擬方法可以用于咖啡膠囊沖泡流場的數(shù)值模擬，并且在適當參數(shù)值與邊界條件設置下模擬精度較高。在數(shù)值模擬計算中，假設咖啡粉分布是均勻的，而實際中咖啡粉的分布略有差別，所以計算會產(chǎn)生誤差。

4.2?數(shù)值模擬穩(wěn)態(tài)流場結果分析

為了方便觀察數(shù)據(jù)及分析穩(wěn)態(tài)流場速度的分布規(guī)律，選取模型中心截面圖作為研究對象。由圖3可以看出，孔隙率對咖啡膠囊模型中流場的影響十分顯著，入口壓力一定時，隨著孔隙率的減小，流場整體速度隨之減小，但流速分布規(guī)律趨于一致，在多孔介質(zhì)區(qū)域流體速度較低且變化較小，在注水孔、通孔膜小孔和出口附近流速和速度梯度顯著增大，這是由于流體在流經(jīng)通孔膜小孔和流向出口時，流通橫截面積突然減小，所以流速會極速增大[16]。當水經(jīng)過通孔膜后，越靠近杯壁，整體流速越小。

4.3?數(shù)值模擬平衡時間結果分析

選用示蹤法計算咖啡膠囊沖泡流場平衡時間。在初始階段，出口濃度保持為0，此時還沒有水從出口流出，隨后出口濃度開始迅速增加，到了一定時間后出口濃度緩慢增長，此時咖啡膠囊內(nèi)流場近似達到穩(wěn)態(tài)，因此以出口濃度/入口濃度達到99%作為流場達到穩(wěn)態(tài)的判斷標準。圖4展示了不同孔

圖4?不同孔隙率下流場達到穩(wěn)態(tài)的平衡時間隙率下出口濃度與入口濃度之比隨時間變化的曲線，反映了咖啡膠囊內(nèi)流場隨時間逐漸達到穩(wěn)態(tài)的時間長短，可以得到孔隙率φ=70%、68%、65%、62%、59%、55%、50%、43%、38%時，咖啡膠囊內(nèi)流場達到穩(wěn)態(tài)的平衡時間分別為18.8、36、126、164、297、382、892、9 720、98 520 s。當入口壓力一定時，隨著咖啡粉孔隙率的減小，滲透系數(shù)會變小，水滲流通過咖啡粉的難度加大，流場達到穩(wěn)態(tài)所需的平衡時間就越長。

根據(jù)圖4曲線趨勢，構建平衡時間關于孔隙率的經(jīng)驗公式。利用Matlab軟件擬合模型參數(shù)，結果如式（7）所示：

式（7）中，y為咖啡膠囊沖泡流場達到穩(wěn)態(tài)的平衡時間（s）、x為咖啡粉孔隙率（%）。

由圖5可知，當入口壓力一定時，隨著咖啡粉孔隙率的減小，咖啡膠囊內(nèi)沖泡流場達到穩(wěn)態(tài)的平衡時間逐漸增大，而且在孔隙率小于60%時，平衡時間加速增長。平衡時間過長，會造成萃取過度，導致咖啡苦味過重。

5?結論

本研究耦合Navier-Stokes方程與Brinkman方程對咖啡膠囊不同孔隙率下的沖泡流場進行了模擬，理論模型和實驗結果吻合良好。模擬結果表明，孔隙率對咖啡膠囊內(nèi)沖泡流場影響顯著，當入口壓力一定時，隨著孔隙率的減小，流場整體速度隨之減小;在注水孔、通孔膜小孔和出口附近流速和速度梯度顯著增大，靠近杯壁方向流速減小;咖啡粉孔隙率與咖啡膠囊沖泡流場達到穩(wěn)態(tài)的平衡時間兩者之間存在分式型函數(shù)關系，當入口壓力一定時，平衡時間隨孔隙率的減小而增加。本文研究結果為咖啡膠囊機的設計和工藝參數(shù)的選擇提供了科學依據(jù)。

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