李福安

摘 要：構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的性質(zhì)是證明不等式一個(gè)常用的方法，同樣，對(duì)于雙元不等式證明，如果要用函數(shù)性質(zhì)證明，主要著手點(diǎn)有兩個(gè)方向，直接利用函數(shù)的性質(zhì)，比如單調(diào)性的定義證明雙元不等式，或者化雙變量不等式為單變量不等式，再用單變量的函數(shù)最值等性質(zhì)證之。當(dāng)然函數(shù)較復(fù)雜時(shí)，可用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)性質(zhì)。如何化雙元為單元不等式，是這個(gè)問(wèn)題處理的起步，也是一個(gè)很關(guān)鍵的點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：雙元不等式;函數(shù)的性質(zhì);導(dǎo)數(shù)法

導(dǎo)數(shù)法是證明不等式一個(gè)常用的方法，是高考的一個(gè)考查熱點(diǎn)，這幾年高考題導(dǎo)數(shù)壓軸題經(jīng)常出現(xiàn)證明不等式。先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，找出函數(shù)的性質(zhì)，再用該函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性，圖象，極值，最值等等，即可證明不等式。但雙元不等式式子中有雙變量，下面是轉(zhuǎn)化雙變量一些比較常見(jiàn)的方法：

一、利用雙元關(guān)系式，化雙元為單元

由題設(shè)先得到雙元的關(guān)系式，把目標(biāo)不等式的雙元消掉一個(gè)變量，留單變量即可

剖析：利用已知條件得到雙元的關(guān)系方程（組）化掉x1，x2中一個(gè)，留另一個(gè)，就可看成函數(shù)問(wèn)題，用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)對(duì)應(yīng)的性質(zhì)就可證明目標(biāo)不等式。

二、利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明雙元不等式

函數(shù)單調(diào)性定義：當(dāng)，，恒有，則f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增，反之為遞減。把目標(biāo)不等式構(gòu)造出模型，將雙元處理到不等式左右兩邊，并使兩邊的結(jié)構(gòu)相同，再用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證之。

三、整體換元構(gòu)造函數(shù)證明不等式

找出雙元關(guān)系式方程（組），目標(biāo)不等式的雙元構(gòu)造出x1±x2、x1x2、等再換成新變量即可將目標(biāo)雙元不等式變成單變量函數(shù)目標(biāo)，利用函數(shù)性質(zhì)即可證之。

整體換元要認(rèn)真觀察目標(biāo)不等式的結(jié)構(gòu)特征，尤其是對(duì)數(shù)或指數(shù)式子，想辦法把雙元構(gòu)造成同式子，再整體換元成變量代替，就可變成單變量的函數(shù)型研究性質(zhì)證明達(dá)到目標(biāo)。

四、極值點(diǎn)偏移證雙元不等式

極值點(diǎn)可能左偏或右偏，極值點(diǎn)偏移還是化雙元為函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)證之，要巧用消元消參構(gòu)造函數(shù)。極值點(diǎn)有四個(gè)要點(diǎn)步驟：

結(jié)語(yǔ)

雙元不等式的證明因?yàn)殡p變量都在變化，求最值難度較大，此類問(wèn)題如果要用函數(shù)方法證明，我們可以往函數(shù)的單調(diào)性和消雙變量為單變量再利用函數(shù)最值等方向來(lái)證之，但用函數(shù)性質(zhì)，如何消雙元量為單變量，這是問(wèn)題的關(guān)鍵，再研究單變量函數(shù)的對(duì)應(yīng)性質(zhì)證明不等式即可。