李新洲 奚萍

凡夫俗子常常發(fā)問，數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家誰更偉大？答案是眾說紛紜，不一而足。人們通常用是否獲得諾貝爾獎(jiǎng)來衡量一位科學(xué)家的成就，遺憾的是，諾貝爾獎(jiǎng)并沒有設(shè)立數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。不過，倘若你的數(shù)學(xué)與彭羅斯一樣好的話，就可以拿兩次諾貝爾獎(jiǎng)，一次幫別人拿，另一次自己拿。

貼 磚 玩 家

非周期貼磚是指沒有平移對(duì)稱性的貼磚。彭羅斯很早就發(fā)現(xiàn)，用五邊形、五角星形、菱形和船形4種形狀的地磚組合，就可以實(shí)現(xiàn)非周期性平鋪。1974年，彭羅斯發(fā)現(xiàn)用兩種菱形地磚就可以等價(jià)地實(shí)現(xiàn)這種非周期性的平鋪，現(xiàn)在這種地磚被命名為彭羅斯地磚。2013年，牛津大學(xué)數(shù)學(xué)系大樓門口，已用彭羅斯地磚鋪設(shè)，作為一種對(duì)彭羅斯數(shù)學(xué)造詣的崇高敬意。

1982年，謝赫特曼（Daniel Schechtman）發(fā)現(xiàn)鈥鎂鋅合金中存在五邊形結(jié)構(gòu)，它和彭羅斯地磚一樣，沒有平移不變性，卻有旋轉(zhuǎn)2π/5不變性。當(dāng)時(shí)在學(xué)術(shù)界發(fā)生了重大爭(zhēng)議，這是一種特殊的晶體結(jié)構(gòu)，還是發(fā)生了實(shí)驗(yàn)錯(cuò)誤呢？后來發(fā)現(xiàn)，如果原子按照彭羅斯地磚那樣排列，理論計(jì)算出來的X射線衍射圖樣就與實(shí)驗(yàn)完全一致。于是，準(zhǔn)晶體被發(fā)現(xiàn)了，謝赫特曼獲得了2011年度的諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)。

彭羅斯還有很多諸如貼磚這樣看似游戲的工作。譬如想象物理上不可能實(shí)現(xiàn)的事物的能力，是人類意識(shí)的一個(gè)奇妙特性。利用這種想象，人們可以產(chǎn)生意識(shí)上的共鳴、觀念上的激發(fā)。1961年，彭羅斯和他的父親（Lionel Penrose）一起構(gòu)思了一種永無止境的樓梯，這就是著名的彭羅斯三角形。多才多藝的彭羅斯是我們時(shí)代的達(dá)·芬奇，彭羅斯的貢獻(xiàn)實(shí)在太多了。以彭羅斯命名的創(chuàng)新實(shí)在太多了，彭羅斯定理、彭羅斯猜想、彭羅斯廣義逆矩陣、彭羅斯圖、彭羅斯方程、彭羅斯旗、彭羅斯扭量……不勝枚舉。下面先從奇點(diǎn)定理說起吧！

奇 點(diǎn) 定 理

彭羅斯是一位數(shù)學(xué)家，原先的專長是代數(shù)幾何學(xué)。在1950年代，他受到了劍橋大學(xué)的邦迪（Hermann Bondi）和夏馬（Dennis Sciama）的影響，激起了他對(duì)廣義相對(duì)論的興趣。正是他的純數(shù)學(xué)背景，他研究的方法與他人迥然不同。

直到1960年代，廣義相對(duì)論的研究方法只是局域技術(shù)：愛因斯坦場(chǎng)方程描繪了某個(gè)事件處，物質(zhì)的能動(dòng)張量如何確定幾何，而幾何又告知物質(zhì)如何運(yùn)動(dòng)。換句話說，這是一種局域的物理學(xué)，通過時(shí)間上的局域積分得到愛因斯坦場(chǎng)方程的解。非引力的物理定律，可以在時(shí)空的各個(gè)事件處的局域洛倫茲參考系中，利用等效原理得出。然而，從1963年以來，彭羅斯及其合作者對(duì)黑洞和奇性的研究，揭示出的整體性質(zhì)和整體定律，簡潔而優(yōu)美，能與愛因斯坦的等效原理媲美?；艚鹬赋?，“彭羅斯首先發(fā)現(xiàn)不必去解方程，就能發(fā)現(xiàn)普遍規(guī)律”。

在漸近平坦時(shí)空中進(jìn)行計(jì)算時(shí)，需要考慮在無窮遠(yuǎn)處物理場(chǎng)的漸近形式。倘若要知道超新星爆發(fā)時(shí)，引力波和電磁波會(huì)帶走多少能量的問題，僅僅考慮空間無窮遠(yuǎn)的漸近形式是不夠的，還必須考慮“未來無窮遠(yuǎn)”處度規(guī)的漸近形式。1964年，彭羅斯利用“共形變換”技術(shù)，將“無窮遠(yuǎn)”變到了有限半徑處，漸近計(jì)算變成了有限處的計(jì)算。彭羅斯將漸近平坦時(shí)空中的“無窮遠(yuǎn)”分成了5類：

引力坍縮的終點(diǎn)是什么？球?qū)ΨQ坍縮的終點(diǎn)是奇點(diǎn)，那么不對(duì)稱坍縮是否可以避免奇點(diǎn)呢？愛因斯坦認(rèn)為不對(duì)稱性可以避免奇點(diǎn)，從而他不相信存在黑洞。但是，彭羅斯、霍金和杰羅奇（R. P. Geroch）證明了奇點(diǎn)定理。不論對(duì)稱與否，奇點(diǎn)是一種非常普遍的現(xiàn)象，宇宙中必定存在著黑洞。1965年，彭羅斯給出了捕獲面的概念，捕獲面不再限定于2維球面，而是具有捕獲光線的任意閉曲面。1968年，杰羅奇將奇點(diǎn)定義精確化，時(shí)空流形不能擴(kuò)展到奇點(diǎn)之外。1969年，霍金和彭羅斯發(fā)表了他們的奇點(diǎn)定理：在廣義相對(duì)論的框架內(nèi)，如果時(shí)空還滿足4個(gè)自然的物理?xiàng)l件，那么時(shí)空必定含有奇點(diǎn)。

戰(zhàn) 旗 獵 獵

霍金說，彭羅斯在廣義相對(duì)論中引入了旋量和整體技術(shù)的現(xiàn)代概念。旋量在相對(duì)論中的應(yīng)用，首先產(chǎn)生于對(duì)空間轉(zhuǎn)動(dòng)的分析，接著是對(duì)時(shí)空轉(zhuǎn)動(dòng)的分析?？紤]一個(gè)立方體，將它繞一個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)π/2，再繞另一個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)π/2。于是，立方體就從“初”指向轉(zhuǎn)到了“終”指向。轉(zhuǎn)動(dòng)組合的規(guī)律是什么呢？倘若用矢量描述旋量，顯然是錯(cuò)誤的。因?yàn)槭褂檬噶亢铣煞▌t，得到的結(jié)果是：合成的矢量在兩個(gè)矢量組成的平面上；合成矢量的大小為π/。然而，將立方體從初指向轉(zhuǎn)到終指向的單一轉(zhuǎn)動(dòng)是：轉(zhuǎn)軸從立方體中心指向一個(gè)頂角；轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為2π/3。

這就是今天稱為自旋矩陣的數(shù)學(xué)客體，用來描述旋量的變化。

作為一種幾何客體，矢量可以形象地畫成一個(gè)箭頭。旋量也是一種幾何客體，如何才能形象化地表示旋量呢？ 這似乎太難了，超越了常人的想象力，但是彭羅斯做到了這一點(diǎn)。如果在地球上某處O，向月球的阿里斯塔克斯環(huán)形山的中心P發(fā)射光脈沖，并設(shè)計(jì)激光產(chǎn)生的不是一個(gè)光斑，而是一個(gè)箭頭。彭羅斯將零矢量O P稱為旗桿，亮箭頭稱為旗。于是，旋量就由下述幾何量的三位一體構(gòu)成：零旗桿、旗、旗與周圍事物之間的指向—纏繞關(guān)系。通過重復(fù)發(fā)射激光脈沖，并在兩次發(fā)射之間“旋轉(zhuǎn)”旗，當(dāng)旗旋轉(zhuǎn)2π回到原來方向時(shí)，旋量反號(hào)。旗繞旗桿4nπ時(shí)，旋量恢復(fù)到原來的值。

當(dāng)人們研究引力對(duì)費(fèi)米子的影響時(shí)，彎曲時(shí)空中的旋量分析是須臾不可離開的數(shù)學(xué)工具。引力場(chǎng)中費(fèi)米子束縛態(tài)的分析，需要求解史瓦西時(shí)空的狄拉克方程，也就必須用到處理彎曲時(shí)空旋量的紐曼—彭羅斯方程。三位一體的旋量旗在形象地描繪更復(fù)雜的幾何客體扭量時(shí)，起到了重要的作用。

扭 量 之 父

量子論的基本方程是復(fù)形式的微分方程，彭羅斯認(rèn)為時(shí)空結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)也應(yīng)當(dāng)是復(fù)的。學(xué)過復(fù)分析的人，一定知道包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的整個(gè)復(fù)平面，可以用黎曼球面表述。為了建立復(fù)的時(shí)空結(jié)構(gòu)，彭羅斯將旋量發(fā)展成扭量概念，他創(chuàng)建了扭量理論。

位于時(shí)空某處的一位觀測(cè)者，觀測(cè)一顆恒星，他在天球上畫出了恒星的方位角。倘若第二位觀測(cè)者在相同時(shí)刻穿過同一點(diǎn)，如果兩人之間有一個(gè)相對(duì)速度，那么由于光行差，第二位觀測(cè)者會(huì)將這顆星畫在不同的方位上。黎曼球面上的不同點(diǎn)，可以用麥比烏斯變換聯(lián)系起來。通過時(shí)空點(diǎn)的光線空間，自然構(gòu)成了一個(gè)黎曼球面。聯(lián)系不同速度觀測(cè)者物理的正洛倫茲群，可以用黎曼球面的自同構(gòu)群實(shí)現(xiàn)。

彭羅斯將光線看成比時(shí)空點(diǎn)更為基本的客體，并將這種概念推廣到整個(gè)時(shí)空。于是，扭量空間（光線空間）是比時(shí)空更為基本的空間，時(shí)空成了一個(gè)從屬的概念。時(shí)空中的光線是扭量空間的一個(gè)點(diǎn)，而時(shí)空點(diǎn)則用光線的集合來表示?；蛘哒f，時(shí)空點(diǎn)在扭量空間中變成了一個(gè)黎曼球面。

這樣的扭量空間是實(shí)5維的，而復(fù)空間必須是實(shí)偶數(shù)維的。彭羅斯認(rèn)為還必須考慮到光子的能量和螺旋度，于是采用了3維復(fù)投影空間CP3，這就是投影扭量空間（PT）。它的5維子空間是PN，而PN將PT分成了左手螺旋度和右手螺旋度的兩個(gè)部分PT-和PT+。

時(shí)空點(diǎn)用4個(gè)實(shí)數(shù)描述，而投影扭量空間的點(diǎn)，是用4個(gè)復(fù)數(shù)比Zα給出的。利用兩個(gè)復(fù)旋量ω和π，彭羅斯表述了扭量。利用彭羅斯旗，可以形象地畫出扭量的幾何圖形。如果將定義在PN上的扭量函數(shù)延拓到PT+，它就具有正頻；延拓到PT-，便具有負(fù)頻。這正是推廣量子化場(chǎng)所需要的概念，正頻部分沿時(shí)間前進(jìn)方向傳播，負(fù)頻部分沿時(shí)間后退方向傳播。正頻部分也就是正能量部分構(gòu)成的傳播子，這樣就允許人們?cè)谂ち靠臻g中開展量子物理研究。沿著這條道路，物理學(xué)家們進(jìn)一步發(fā)展出扭量圖，這是類似于時(shí)空費(fèi)曼圖的描寫相互作用的方案。

扭量理論是共形不變的，所以對(duì)于共形平坦的彎曲時(shí)空，同樣可以建立扭量空間。彭羅斯不僅研究了彎曲時(shí)空的扭量理論，還進(jìn)一步研究了扭量宇宙學(xué)。扭量空間是復(fù)4維的，彭羅斯對(duì)存在額外維數(shù)的10維超弦理論極不滿意，彭羅斯是一位超弦理論的主要批評(píng)者。2003年，在一次與威滕（Edward Witten）的邂逅中，彭羅斯曾擔(dān)心兩人會(huì)發(fā)生激烈爭(zhēng)論，想不到的是，這位弦論大師告訴他，正在研究扭量與弦論如何相結(jié)合的理論。

量 子 測(cè) 量

玻爾、海森伯和泡利在哥本哈根1927年的會(huì)議上，提出了量子力學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)詮釋。它包括不確定原理、波粒二象性、概率解釋、本征值認(rèn)同測(cè)量值。1932年，馮·諾依曼為哥本哈根詮釋添加了最后要素：波函數(shù)坍縮。但是，愛因斯坦、薛定諤和德布羅意等物理學(xué)家并未接受這種詮釋，波函數(shù)從疊加態(tài)坍縮到本征態(tài)是瞬時(shí)完成的，并沒有任何物理機(jī)制。

維格納（Eugene Wigner）是哥本哈根詮釋的支持者。他設(shè)計(jì)了一個(gè)被人稱作維格納之友的理想實(shí)驗(yàn)。他請(qǐng)一位朋友去核實(shí)一個(gè)粒子物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果，它在前一天已被記錄。這位朋友及時(shí)將結(jié)果報(bào)告給了維格納。于是產(chǎn)生了這樣的問題，這個(gè)粒子事件是用波函數(shù)描述的，那么波函數(shù)是在何時(shí)坍縮的呢？倘若維格納認(rèn)為坍縮發(fā)生在向他報(bào)告時(shí)刻，那么他成了一個(gè)十足的唯我論者。他當(dāng)然不會(huì)這樣可笑。難道是他朋友的意識(shí)使得波函數(shù)坍縮？人類有什么異稟之處，讓我們有別于物理世界的其余部分，服從不同的定律？在人類出現(xiàn)之前，世界一直處在不確定的疊加態(tài)中嗎？坍縮是一種離散過程，意識(shí)是一種連續(xù)過程，波函數(shù)坍縮真能與連續(xù)的意識(shí)相關(guān)？

哥本哈根的波函數(shù)坍縮是一種瞬時(shí)效應(yīng)，不存在任何動(dòng)力學(xué)機(jī)制，引起了愛因斯坦為代表的眾多物理學(xué)家的不滿。彭羅斯的解決方案是力學(xué)的，他將坍縮與一個(gè)適當(dāng)程度的復(fù)雜性聯(lián)系起來，復(fù)雜度可用粒子數(shù)或者總質(zhì)量描述。他的方案要求在薛定諤方程中，增加一個(gè)新的項(xiàng)，僅當(dāng)達(dá)到一定條件時(shí)，附加項(xiàng)才起作用。彭羅斯建議，一旦卷入波函數(shù)的粒子總質(zhì)量接近普朗克質(zhì)量時(shí)，波函數(shù)就會(huì)自發(fā)坍縮。普朗克質(zhì)量大約是10-5克，對(duì)于原子尺度，這很大；對(duì)于人的尺度，卻又很小。

共 形 循 環(huán)

彭羅斯是一位共形大師，彭羅斯圖、扭量都是基于共形變換的。更重要的是，他提出了共形循環(huán)宇宙學(xué)（CCC），從大爆炸開始的宇宙終于一個(gè)加速膨脹的時(shí)空，形成一個(gè)世代；每個(gè)世代的終結(jié)又是下一個(gè)世代的大爆炸開始。CCC描繪了一個(gè)無限的宇宙循環(huán)。我們宇宙的大爆炸是前一個(gè)世紀(jì)的遙遠(yuǎn)未來的延續(xù)。CCC認(rèn)為我們的宇宙不會(huì)永遠(yuǎn)膨脹，更不會(huì)發(fā)生大撕裂，它會(huì)在未來某一天停止膨脹，重新回到坍縮。

作為初始奇點(diǎn)的大爆炸，與終端奇點(diǎn)的黑洞，兩者都可以用共形不變的外爾曲率張量來描述，從而外爾張量成為描述引力熵的幾何量。大爆炸的共形擴(kuò)張將無限大的密度和溫度降到有限值，而共形收縮又會(huì)將無限低的密度和溫度提高到有限值。于是，兩者在光滑邊界上過渡，宇宙就從前一個(gè)世代進(jìn)入到現(xiàn)今的世代。

宇宙在循環(huán)，彭羅斯的證據(jù)是宇宙微波背景輻射中存在霍金點(diǎn)。彭羅斯和他的合作者利用普朗克衛(wèi)星的觀測(cè)結(jié)果，找到了大約30個(gè)霍金點(diǎn)。彭羅斯等人指出，根據(jù)CCC，這些點(diǎn)攜帶了上一個(gè)世代宇宙坍縮時(shí)，黑洞蒸發(fā)后留下的遺跡。由此證明我們所在的世代之前，已經(jīng)存在過另一個(gè)世代。

戰(zhàn) 斗 友 情

彭羅斯比霍金年長11歲，曾擔(dān)任霍金博士答辯的評(píng)委。霍金從彭羅斯那里學(xué)到了整體技術(shù)，用它證明了黑洞力學(xué)的第二定律，在黑洞過程中，涉及的所有黑洞表面積不會(huì)減小。他們倆還一起證明了奇點(diǎn)定理?；艚鹪f過：“正是彭羅斯的第一條奇性定理，引導(dǎo)我去研究因果性結(jié)構(gòu)，激發(fā)出我對(duì)奇點(diǎn)和黑洞經(jīng)典研究的靈感?！?/p>

不過，霍金和彭羅斯的物理學(xué)觀點(diǎn)，并非完全一致。1994年，兩人在牛頓數(shù)學(xué)研究所進(jìn)行了一場(chǎng)大辯論。在某種意義上說，這是當(dāng)年玻爾和愛因斯坦辯論的繼續(xù)。盡管辯論內(nèi)容變得更深入復(fù)雜，但是論證無法與哲學(xué)觀點(diǎn)分開?；艚鹫f，彭羅斯是柏拉圖主義者，他自己是實(shí)證主義者。霍金所關(guān)心的僅僅是理論預(yù)言能否與測(cè)量結(jié)果一致，而彭羅斯擔(dān)憂的是既死又活的薛定諤貓的合理性。彭羅斯說，不論“實(shí)在”是什么，人們必須解釋自己是如何感知世界的，人們必須解決為何感覺到的貓非死即活，不會(huì)是既死又活的疊加態(tài)貓。彭羅斯還對(duì)霍金在廣義相對(duì)論中使用“維克轉(zhuǎn)動(dòng)”不滿，認(rèn)為這與量子場(chǎng)論中時(shí)間軸從實(shí)軸轉(zhuǎn)動(dòng)到虛軸是兩回事?？茖W(xué)史上的合作與爭(zhēng)論原本是司空見慣尋常事。但是，像根澤爾和蓋茨這樣的歡喜冤家并不多見，他們激烈爭(zhēng)論，卻以同一個(gè)課題獲得諾貝爾獎(jiǎng)確實(shí)罕見。1952年出生的根澤爾，長期以來利用歐洲南方天文臺(tái)的望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)銀河系中心附近的恒星軌道運(yùn)動(dòng)。根澤爾團(tuán)隊(duì)首先發(fā)現(xiàn)牛頓力學(xué)無法解釋這些軌道，必須要使用廣義相對(duì)論才行。也就是說，軌道發(fā)生了史瓦西進(jìn)動(dòng)，從而推出了黑洞的存在性。

與根澤爾相比，蓋茨是一位年青一代的女天文學(xué)家，從1995年開始，蓋茨開始投入到黑洞研究，運(yùn)用新技術(shù)手段是她成功的關(guān)鍵。蓋茨團(tuán)隊(duì)開發(fā)了凱克天文臺(tái)望遠(yuǎn)鏡的自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)（AO系統(tǒng)），在2005年首先拍攝到第一張激光引導(dǎo)AO銀河系中心照片，使得清晰度極大提高。兩個(gè)團(tuán)隊(duì)對(duì)所觀測(cè)到的現(xiàn)象，常常會(huì)發(fā)生針鋒相對(duì)的爭(zhēng)論。用蓋茨的話來說，“沒有什么比競(jìng)賽更能讓人進(jìn)步了！” 根澤爾和蓋茨終于一起分享了2020年度物理學(xué)獎(jiǎng)的另一半。

相對(duì)論和量子論是純科學(xué)成功的范例，將20世紀(jì)塑造成了一個(gè)象征著科學(xué)的世紀(jì)，極大地推動(dòng)了相關(guān)的技術(shù)革命，至今還影響著我們的生活，21世紀(jì)的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)大多與這兩種理論相關(guān)。多才多藝如達(dá)·芬奇的彭羅斯，他的研究為好奇心所驅(qū)動(dòng)，并不講究實(shí)際應(yīng)用。彭羅斯的研究希望理解人類在宇宙中的位置，理解諸如黑洞那樣的奧秘。在眾多物理學(xué)家、天文學(xué)家的合作下，人類終于揭開了黑洞的神秘面紗。彭羅斯的獨(dú)創(chuàng)性太強(qiáng)了，從而有人懷疑他是個(gè)離經(jīng)叛道的人，對(duì)此他回答說：“對(duì)于基礎(chǔ)物理學(xué)，我在大多數(shù)方面是相當(dāng)保守的，與我所認(rèn)識(shí)的大多數(shù)想在科學(xué)前沿獲得進(jìn)步的人相比，我更愿意接受傳統(tǒng)智慧?！闭沁@種接受傳統(tǒng)智慧并對(duì)宇宙充滿好奇的品質(zhì)，使得彭羅斯、根澤爾和蓋茨終于取得了成功，不是嗎？

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關(guān)鍵詞：彭羅斯 彭羅斯階梯 奇點(diǎn)理論 ■