摘 要：為了奠定新四翼超混沌系統(tǒng)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。首先，比較新四翼超混沌系統(tǒng)與一些經(jīng)典混沌或超混沌系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)，結(jié)果新四翼超混沌系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)值最大，說明新四翼超混沌系統(tǒng)具有更強(qiáng)的混沌特性;其次，對(duì)新四翼超混沌變量y和u進(jìn)行線性反饋控制，應(yīng)用Lyapunov函數(shù)方法，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量能夠指數(shù)穩(wěn)定到原點(diǎn)，并系統(tǒng)具有很大的控制域;最后，數(shù)值仿真表明在控制域內(nèi)任取一點(diǎn)，設(shè)計(jì)的線性反饋控制器是有效的。

關(guān)鍵詞：新四翼超混沌系統(tǒng);Lyapunov函數(shù);線性反饋控制;指數(shù)穩(wěn)定

中圖分類號(hào)：O415.5

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

自從美國(guó)氣象學(xué)家LORENZ提出了LORENZ混沌系統(tǒng)[1]以來，混沌系統(tǒng)的構(gòu)造和控制得到了廣大學(xué)者的普遍關(guān)注。陳關(guān)榮和呂金虎利用混沌反控制方法，分別發(fā)現(xiàn)了著名的CHEN系統(tǒng)[2]和L系統(tǒng)[3]。隨后LIU構(gòu)造了一個(gè)四翼混沌系統(tǒng)[4]，盡管后來被證明該四翼混沌系統(tǒng)是假的， 卻引起了學(xué)術(shù)界對(duì)四翼和多翼混沌系統(tǒng)研究的興趣。文獻(xiàn)[5]提出一個(gè)具有雙曲正弦非線性項(xiàng)的四翼三維混沌系統(tǒng)。文獻(xiàn)[6]構(gòu)造了一個(gè)具有四翼吸引子的超混沌系統(tǒng)，計(jì)算出其最大Lyapunov指數(shù)值為5.879 4，并分析了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。文獻(xiàn)[7]構(gòu)造了一個(gè)四翼超混沌系統(tǒng)，利用數(shù)值仿真的方法，繪制了系統(tǒng)的分岔圖及Lyapunov指數(shù)譜，分析了隨參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的演化，但其最大Lyapunov指數(shù)值小于1，系統(tǒng)的混沌特性不強(qiáng)。文獻(xiàn)[8]基于三八超混沌系統(tǒng)[9]，通過增加一個(gè)外激勵(lì)信號(hào)的方法，得到了一個(gè)新四翼超混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有兩個(gè)正的Lyapunov指數(shù)值，且最大Lyapunov指數(shù)值為6.146 2，具有較強(qiáng)的混沌特性，在工程技術(shù)領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。

混沌系統(tǒng)是非線性隨機(jī)系統(tǒng)，對(duì)初值具有極端敏感性，因此對(duì)混沌的控制和應(yīng)用是科學(xué)界長(zhǎng)期以來普遍關(guān)注的焦點(diǎn)課題，并取得了豐碩的研究成果[10]。混沌控制的著名的方法有：參數(shù)微擾法[10]、時(shí)滯反饋控制法[11]、自適應(yīng)控制法[12]、滑?？刂品╗13]、線性反饋控制法等。其中，參數(shù)微擾法是1990年美國(guó)Maryland大學(xué)的三位科學(xué)家OTT，GRELOGI和YORKE提出的一種混沌控制方法，后來為了紀(jì)念這三位科學(xué)家，將這種方法稱為OGY方法。在混沌系統(tǒng)參數(shù)已知的條件下，線性反饋控制法具有控制系數(shù)易于計(jì)算、控制器結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)單，電路實(shí)現(xiàn)容易等優(yōu)點(diǎn)。

基于以上討論，本文通過Lyapunov指數(shù)方法，分析新四翼超混沌系統(tǒng)的混沌特性，并構(gòu)造線性反饋控制器，對(duì)其進(jìn)行線性反饋控制，為新四翼超混沌系統(tǒng)在工程技術(shù)中的應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ)。

1 新四翼超混沌系統(tǒng)

從表1可以看出，與其它經(jīng)典混沌系統(tǒng)或超混沌系統(tǒng)相比較，新四翼超混沌系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)值最大，新四翼超混沌系統(tǒng)的混沌特性更強(qiáng)。因此，該系統(tǒng)在保密通信、圖像加密、生物醫(yī)學(xué)工程等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。

混沌控制是混沌應(yīng)用的前提，也是混沌研究的最重要領(lǐng)域。同時(shí)，利用結(jié)構(gòu)形式最簡(jiǎn)單、電路容易實(shí)現(xiàn)的控制器實(shí)現(xiàn)混沌控制，是混沌控制研究的不懈追求。本文對(duì)新四翼超混沌系統(tǒng)利用狀態(tài)反饋控制器進(jìn)行控制，將系統(tǒng)的混沌狀態(tài)控制到預(yù)期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

2 線性反饋控制

設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，使系統(tǒng)達(dá)到預(yù)期的穩(wěn)定狀態(tài)，最常見的反饋控制就是對(duì)系統(tǒng)的所有狀態(tài)進(jìn)行線性反饋控制。若能夠?qū)ο到y(tǒng)（1）盡可能少的狀態(tài)變量進(jìn)行線性反饋控制，則控制的結(jié)構(gòu)形式就更加簡(jiǎn)單，電路實(shí)現(xiàn)更加容易。但經(jīng)過推算，僅對(duì)系統(tǒng)（1）的某一個(gè)狀態(tài)變量實(shí)施線性反饋控制，不能夠消除其混沌行為而趨于穩(wěn)定狀態(tài)。若對(duì)系統(tǒng)（1）的任意兩個(gè)及以上狀態(tài)變量實(shí)施線性反饋控制，就能夠使系統(tǒng)穩(wěn)定到預(yù)期的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

從圖2可以看出，新四翼超混沌系統(tǒng)具有很大的控制域。為了驗(yàn)證控制器對(duì)新四翼超混沌系統(tǒng)（1）的控制效果，分別任意選取控制域（I）中的A點(diǎn)和非控制域中的B點(diǎn)設(shè)置控制器，選取系統(tǒng)（1）初始值為（x（0），y（0），z（0），u（0））=（6，2，2，3），觀察受控系統(tǒng)（2）狀態(tài)變量的變化情況。

圖3所示為控制域（I）中A點(diǎn)線性反饋控制器對(duì)新四翼超混沌系統(tǒng)的控制效果。當(dāng)t∈[0，20]時(shí)，系統(tǒng)（1）處于超混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在t=20 s時(shí)，對(duì)系統(tǒng)（1）施加線性反饋控制器v2=my，v4=nu，其中m=40和n=30。當(dāng)t∈[20，40]時(shí)，受控系統(tǒng)（2）的各狀態(tài)變量迅速趨于零，說明在控制域（I）中任意選取一點(diǎn)，設(shè)計(jì)線性反饋控制器，能夠?qū)⑿滤囊沓煦缦到y(tǒng)（1）的各狀態(tài)變量控制到原點(diǎn)。

圖4所示為非控制域（II）中B點(diǎn)線性反饋控制器對(duì)新四翼超混沌系統(tǒng)的控制效果。當(dāng)t∈[0，20]時(shí)，系統(tǒng)（1）處于超混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在t=20 s時(shí)，對(duì)系統(tǒng)（1）施加線性反饋控制器v2=my，v4=nu，其中m=20和n=20。當(dāng)t∈[20，40]時(shí)，受控系統(tǒng)（2）的狀態(tài)變量z不能趨向于零，說明在控制域外的區(qū)域任意選取一點(diǎn)，設(shè)計(jì)線性反饋控制器，不能夠?qū)⑿滤囊沓煦缦到y(tǒng)（1）的狀態(tài)變量控制到原點(diǎn)。

4 結(jié)論

對(duì)新四翼超混沌系統(tǒng)的Lyapunov研究發(fā)現(xiàn)，其最大Lyapunov指數(shù)值大于一些經(jīng)典混沌系統(tǒng)或超混沌系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)值。進(jìn)一步說明新四翼超混沌系統(tǒng)的具有更強(qiáng)的混沌特性，在實(shí)際工程技術(shù)領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。

通過推算發(fā)現(xiàn)僅對(duì)新四翼超混沌系統(tǒng)中某一個(gè)狀態(tài)變量實(shí)施線性反饋控制，不能夠徹底消除其混沌行為，如果對(duì)其任意兩個(gè)及以上狀態(tài)變量實(shí)施線性反饋控制，就能夠使系統(tǒng)穩(wěn)定到原點(diǎn)。通過對(duì)其狀態(tài)變量y和u進(jìn)行線性反饋控制，發(fā)現(xiàn)新四翼超混沌系統(tǒng)具有很大的控制域。

在控制域內(nèi)任取一點(diǎn)，設(shè)計(jì)線性反饋控制器，能夠?qū)⑿滤囊沓煦缦到y(tǒng)的狀態(tài)變量指數(shù)穩(wěn)定到原點(diǎn)，在控制域以外的非控制域所取的點(diǎn)，設(shè)計(jì)的線性反饋控制器不能使其狀態(tài)變量穩(wěn)定到原點(diǎn)。

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（責(zé)任編輯：于慧梅）

Abstract：

In order to lay theoretical foundation for the application of new four-wing hyperchaotic systems. Firstly，the largest Lyapunov exponents of the new four-wing hyperchaotic systems are compared with the largest Lyapunov exponents of some classical chaotic or hyperchaotic systems， it is found that the largest Lyapunov exponent of the new four-wing hyperchaotic system is the largest， which shows that the new four-wing hyperchaotic system has stronger chaotic characteristics. Secondly， when state variables y and u of the new four-wing hyperchaotic system are linear feedback controlled， by using the Lyapunov function method， it is found that all the state variables of the system can be exponentially stable to the origin and the system has a large control domain. Finally， the numerical simulation shows that choosing any point in the control domain to design the linear feedback controller is effective.

Key words：

new four-wing hyperchaotic system; Lyapunov function; linear feedback control; exponential stability