文/韓曉曉

函數是初中學習的重要內容，在學習函數時，你是不是常常不知道該往哪個方向用力，感覺學得糊里糊涂，心中難免會產生疑惑，如“學這一部分知識有什么用”“學習這些知識最終的目標在哪里”，本文將引導你擁有初中學習函數的強力武器！擁有它們就可以打掉函數這個大“boss”啦！

“單元學習”意識

“單元學習”中的“單元”是指在一個特定主題下相關的學習目標、內容、過程與方法、評價與反思的集合，是有意識對教材中具有“某種內在關聯(lián)性”的內容進行分析、重組、整合并形成相對完整的單元，實現(xiàn)自我培養(yǎng)和發(fā)展數學核心素養(yǎng)為目標的一種學習形式。

初中函數學習的大框架如下（圖1）：

圖1 初中函數學習框架

最短的路徑就是從目標往回倒推，向目標前進的第一步就是理解函數概念，經歷探究函數性質的思維過程，感受數形結合解題的美妙。本文重點講解怎么走好第一步。

函數概念

變量和常量：在一個變化過程中，數值發(fā)生變化的量為變量，數值始終不變的量為常量。說明：變量和常量的識別在于數值是否發(fā)生變化。

函數概念：在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與之對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數。

理解：函數的本質是兩個變量x，y和兩個變量之間的對應關系，函數是刻畫變量之間對應關系的數學模型，概念的核心就是對應關系，對應關系應抓住“單值對應”，即判斷y是否為x的函數，只要看x取確定值時，y是否有唯一確定的值與之對應。如①y=±x，②y2=x，③|y|=x+1，④y=|x|，只有④表示y是x的函數，其它都不是?？膳e反例否定：如給定x確定值是1，①中y有1和-1 與之對應，②中y有1 和-1 與之對應，③中y有2 和-2 與之對應，都不唯一，而④中y只有1 與之對應，所以是函數關系。理解④中盡管給定x的值是1 或-1 時，y都是1 與之對應，但不影響是函數關系，只要對應值唯一即可。再如下圖（圖2）：A、B、C 都表示y是x的函數，其中A、C 都是一對一，B 是多對一，而D 不是。

圖2 識別對應關系是否是函數關系

判斷圖象是不是函數關系的方法是：作垂直x軸的直線，從左向右移動看與圖象的交點，如果交點為一個則是函數關系，否則不是。如左圖（圖3）中（1）（2）（3）y是x的函數，（4）不是。

圖3 識別圖象是否是函數關系

方法總結：“一對一、多對一”都是單值對應，進而兩個變量之間是函數關系，不能“一對多”。

函數圖象與性質

函數有3 種表示方法：解析式法、列表法、圖象法。在初中，直線說的就是一次函數的圖象，拋物線說的就是二次函數的圖象，雙曲線說的就是反比例函數的圖象。

函數性質的學習，應著重培養(yǎng)自我觀察能力，訓練用文字語言、圖形語言和符號語言表征數學對象的能力，以及幾種語言相互轉換、相互補充的能力，體會數形結合是解決函數問題的基本思路。

學習過程：首先確定函數自變量的取值范圍，方法如下圖（圖4），再結合函數解析式和圖象研究函數性質，經歷由解析式列表到描點連線得函數圖象的過程，思維要有序：由式想形到描點畫圖，注重由數到形的思維過程，反過來也能夠由形到數，數入微，形直觀，數形結合。

圖4 確定函數自變量的取值范圍

例如：探究函數y=|x-1|的圖象與性質，探究過程如下：

1.判斷這個函數的自變量x的取值范圍是全體實數；

2.根據解析式列表，補全下表（表1）。

表1 解析式列表

思維指導：x，y滿足y=|x-1|，已知其中一個變量的值就可以求另一個變量。

方法：求值就代入——把已知代入未知或把未知代入已知。這在某種程度上也是代數最基本的思維方式是“把未知數設為x，然后尋找未知數與已知數之間的關系和規(guī)則”，不要把焦點放在“未知數”上，而應該放在“找關系”上。

3.①對函數y=|x-1|，當x≤1 時，y=-x+1；當x＞1 時，y=_____。

思維指導：通過去絕對值得到的解析式，可以明確該函數實質是分段函數

②在平面直角坐標系xOy中畫出函數y=|x-1|的圖象（圖5）：

圖5 函數y=|x-1|的圖象

有序思維：由解析式得有序數對（x，y），確定平面直角坐標系中的點，描點連線畫圖，反過來，圖象上點的橫縱坐標也應該滿足解析式。

4.判斷點M（-4，6）在函數y=|x-1|圖象上嗎？

代數角度：點M（-4，6）的橫縱坐標是否適合y=|x-1|？不適合所以不在。

幾何角度：把點M（-4，6）描出來看在圖象上嗎？觀察發(fā)現(xiàn)不在。

5.當y=3 時，x=_____。

代數角度：當y=3 時，即|x-1|=3，方向1 是x-1=3 或x-1=-3，所以x=4 或x=-2；方向2 是絕對值刻畫距離，在數軸上到1 的距離是3 的點表示的數是4 或2。

幾何角度：如圖（圖6），畫出直線y=3，與函數y=|x-1|圖象交點的橫坐標就是|x-1|=3 的解。

圖6 利用函數思想解方程|x-1|=3

通過函數觀點看方程，能知道|x-1|=3有兩個解，進一步|x-1|=0 就只有一個解，|x-1|=-2 就沒有解了。

方法遷移：或許你有時不太能理解為什么一元二次方程解可能有兩個解、有一個解或沒有解，用二次函數的圖象解釋其中的理由，是不是就相對容易理解一些？這也是借助函數觀點看方程的好處，是復習一元二次方程的好方法。如下圖（圖7），x2-2x-3=-4 的解，用函數觀點看解只有一個，x2-2x-3=1 的解有兩個，x2-2x-3=-6.5 無解。

圖7 利用函數思想理解二次函數解的個數

6.若點A（-1，y1）和B（x2，y2）都在函數y=|x-1|的圖象 上，且y2＞y1，結合函數圖象，直接寫出x2的取值范圍。

代數角度：點A（-1，y1）在y=|x-1|圖象上，則求出y1=2，所以|x2-1|＞2，再類似上題去解。

幾何角度：求出A（-1，2），把符號語言y2＞y1轉化成圖形語言如下（圖8）：x2＜-1 或x2＞3。

圖8 利用函數思想解不等式|x-1|＞2

方法總結：數形結合，求范圍找臨界。應用如下：

在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象由函數y=x的圖象平移得到，且經過點（1，2）。

（1）求這個一次函數的解析式。

（2）當x＞1 時，對于x的每一個值，函數y=mx（m≠0）的值大于一次函數y=kx+b的值，直接寫出m的取值范圍。

分析：解題時先想清楚問什么和怎么用條件？

（1）問的是求解析式，求的是y=kx+b（k≠0）中k，b的值，求值要代入；條件是一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象由函數y=x的圖象平移得到，且經過點（1，2），平移要想到斜率k保持不變，故先求出k=1，y=x+b，又由圖象經過點（1，2）則點的橫縱坐標適合y=x+b得b=1，所以解析式是y=x+1。

（2）問直接寫出m的取值范圍，幾何方法是“求范圍找臨界”；代數方法為找關系列式子。條件是當x＞1 時，對于x的每一個值，函數y=mx（m≠0）的值大于一次函數y=kx+b的值，這一段文字語言翻譯成符號語言就是當x＞1 時，總有mx＞x+1，則（m-1）x＞1 在x＞1 時恒成立，接下來分類討論m-1 ＜0，m-1=0，m-1 ＞0，后邊計算省略。

從幾何方法來看，即把上述文字語言翻譯成圖形語言，就是當x＞1 時，函數y=mx（m≠0）的圖象總在函數y=kx+b圖象的上方，而對于y=mx（m≠0）有一個不變量是定過原點（0，0），再次體會“求范圍找臨界”，所以直接得出m≥2，注意能不能取臨界值，因為是x＞1，所以能取到（圖9）。

圖9 數形結合解決含參數函數中參數的取值范圍（1）

方法應用：在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象由函數的圖象向下平移1 個單位長度得到。

（1）求這個一次函數的解析式。

（2）當x＞-2 時，對于x的每一個值，函數y=mx（m≠0）的值大于一次函數y=kx+b的值，直接寫出m的取值范圍。

分析：（1）易得到解析式是。

（2）代數方法省略，幾何方法畫圖如下（圖10）。

圖10 數形結合解決含參數函數中參數的取值范圍（2）

初中數學數與代數主要內容是“式子、方程、函數”，式子特征是字母、方程特征是未知數、函數特征是自變量，無論是字母、未知數還是自變量，它們的共同點是“用字母表示數”的數學抽象在不同模型（列算式、列方程、列函數關系式）的應用，體現(xiàn)數式通性，培養(yǎng)函數思維。同學們，用函數思維解決方程不等式會別有一番天地呦！