尹修草

(邵陽學院 理學院，湖南 邵陽，422000)

分數(shù)階微分方程為描述不同物質的記憶和繼承性質提供了強有力的工具。因此，近10年來，分數(shù)階微分方程在各類學科中得到了廣泛的應用[1-5]。

由于在多數(shù)情況下，分數(shù)階微分方程的解析解不容易得到，所以,數(shù)值方法成為求解分數(shù)階微分方程的主流方法[6-11]。帶Dirichelet邊界條件的Riesz分數(shù)階方程的數(shù)值解已有很多學者進行了研究[12-16]。劉桃花等[17]研究了帶有分數(shù)階邊界條件的一維Riesz分數(shù)階方程的有限差分方法。本文考慮帶Robin邊界條件一維Riesz分數(shù)階方程的有限差分方法，利用中心差分算子對式中Riesz分數(shù)階導數(shù)進行離散,在此基礎上給出了一種差分方法，分析了該方法的解的存在性、穩(wěn)定性以及收斂性。

1 基本方程及其差分格式

本文考慮下列含有Riesz分數(shù)階導數(shù)的擴散方程：

(1)

Robin邊界條件為

(2)

u(x,0)=d(x)，0≤x≤R

(3)

(4)

定義分數(shù)階中心差分算子[12]：

其中:

用中心差分算子對式(1)中Riesz空間分數(shù)階導數(shù)進行近似

利用一階向后差分算子對式(2)中邊界條件中導數(shù)進行近似，由式(1)～(3)可以得到如下隱性差分格式：

(5)

(6)

(7)

當1≤i≤N-1時，局部截斷誤差為

(8)

當i=N時，邊界上的局部截斷誤差為

(9)

由此可知，差分格式(5)～(7)與方程組(1)～(3)是相容的。

2 結果及其證明

(10)

(11)

(12)

將分數(shù)階方程(10)～(12)改寫成矩陣的形式：

(13)

(14)

定理1 近似Riesz分數(shù)階擴散方程的差分格式(5)～(7)的解存在且唯一。

證明根據(jù)引理1，有

由式(14)可知

當1≤i≤N-1時，有

(15)

當i=N時，有

(16)

當1≤i≤N-1時，得

(17)

當i=N時，有

(18)

定理2 差分格式(5)～(7)是無條件穩(wěn)定的。

證明由式(16)可得

(19)

(20)

應用式(20)共m-1次，可得

綜上所得，近似Riesz分數(shù)階擴散方程的差分格式(5)～(7)是無條件穩(wěn)定的。

由式(18)可知

則存在常數(shù)C1，使得

(21)

‖ei0‖∞+ΔtC2(Δt+h2)

(22)

運用式(22)共m-1次，則有

‖em‖∞≤(m-1)ΔtC2(Δt+h2)

又因為(m-1)Δt≤T，令C3=C2T，則有

‖em‖∞≤C3(Δt+h)

(23)

綜上，近似Riesz分數(shù)階擴散方程的差分格式是收斂的。

3 結論

本文考慮一類帶Robin邊界條件Riesz分數(shù)階擴散方程有限差分方法，并給出了該數(shù)值方法的理論分析。分數(shù)階擴散方程模型能更準確地模擬具有記憶遺傳和路徑依賴等反常擴散的性態(tài)，要模擬這些反常擴散現(xiàn)象，需進行數(shù)值方法的研究。