韓金舸 歐陽鵬輝 李恩平 王軼文 韋聯(lián)福3)?

1) (西南交通大學信息科學與技術學院, 信息量子技術實驗室, 成都 610031)

2) (西南交通大學物理科學與技術學院, 量子光電實驗室, 成都 610031)

3) (東華大學理學院, 光子學實驗室, 上海 201620)

超導約瑟夫森結是實現(xiàn)超導量子計算和微波單光子探測的核心器件, 其物理參數(shù)很難直接測定.與之前常用的測量結微波激勵效應估計方法不同, 本文通過實驗測量低頻電流驅動下的約瑟夫森結I-V曲線及其跳變電流統(tǒng)計分布, 并與基于標準電阻電容分路結模型數(shù)值模擬進行比對, 推算出了約瑟夫森結的臨界電流 Ic 、電容C、電阻R及阻尼參數(shù) βc 等物理參數(shù).結果表明, 所推算的參數(shù)值與基于微觀理論推導所得到的Ambgaokar-Baratoff公式基本符合, 可供約瑟夫森結的器件參數(shù)按需設計和制備工藝的參數(shù)設置等參考.

1 引 言

目前經(jīng)典計算機的計算能力漸趨極限, 量子計算機的超強計算能力得到了廣泛關注[1,2].如谷歌構建的53位的超導量子“霸權”機和中國科技大學實現(xiàn)的76個光子的“九章”量子計算原型機都展示了經(jīng)典電子計算機所不可比擬的計算功能[3,4].作為一種廣受關注的量子計算實現(xiàn)模式, 超導量子計算機因其特有的易于集成、芯片設計和加工技術相對成熟等方面的優(yōu)勢, 成為量子計算領域的研究熱點.超導量子計算的基本物理單元比特是超導量子比特, 它的三種基本的構型——電荷量子比特、磁通量子比特和相位量子比特等的實現(xiàn), 取決于核心器件——約瑟夫森結的物理參數(shù).這些參數(shù)決定了結的電容充電能 Ec和約瑟夫森隧穿效應能量 EJ之間的比值, 進而決定了超導量子比特的構型.此外, 約瑟夫森結也是實現(xiàn)微波單光子探測的核心器件[5,6].

Ec的大小與約瑟夫森結的電容有關, 而 EJ的取值則由約瑟夫森結的臨界電流決定[7?9].這些參數(shù)是量子比特設計與制備的重要依據(jù), 但實際上它們很難在實驗上直接測量得到, 通常需要根據(jù)其他的某些相關參量的測量來推算得到.之前采用的方法有測量微波驅動下的約瑟夫森結跳變電流統(tǒng)計分布, 通過與理論模型擬合來推算約瑟夫森結各物理參數(shù).顯然, 這一方法有兩點不足: 第一, 通過微波激勵來進行的參數(shù)標定, 實際上是一種動態(tài)標定, 有一定的不確定性; 其二, 微波激勵本身需要考慮阻抗匹配實現(xiàn)問題.此外, 還可采用回滯電流與臨界電流的比值來標定阻尼參數(shù), 此方法也存在一定的局限性.當外界干擾造成約瑟夫森結I-V特性曲線零點上下漲落時, 回滯電流與臨界電流比值對原點上下漲落比較敏感, 會給標定結果帶來較大誤差[10,11].為盡可能精確地測定結的各種靜態(tài)物理參數(shù), 本文提出一種基于標準RCSJ (resistively capacitance shunted junction)模型擬合、僅需要低頻電流偏置下的結跳變電流統(tǒng)計分布測量和結I-V特征曲線測量的更為簡便的方法, 實現(xiàn)約瑟夫森結各靜態(tài)物理參數(shù)的推算.當然, 實際應用時可能還需要通過其他方法來標定這些參數(shù), 但本推算方法在器件按需設計和制備工藝相關參數(shù)設置中仍具有一定的參考意義.

2 約瑟夫森結物理參數(shù)的推算方法

2.1 結電容和結臨界電流的推算方法

電流偏置下的約瑟夫森結可以看作是一個質(zhì)量為 m =C[Φ0/(2π)]2的“粒子”在搓衣板勢U(φ)=?EJ[(Ib/Ic)φ+cos(φ)]中運動的動力學模型[12], 如圖1所示.其中, Ib是外加偏置電流, C為結電容,Φ0=h/(2e) 為磁通量子, φ 為約瑟夫森結兩端的位相差, 結的約瑟夫森能為 EJ=IcΦ0/(2π) , Ic為約瑟夫森結的臨界電流.

圖1 電流偏置下的約瑟夫森結勢能曲線Fig.1.Potential of a current-biased Josephson junction.

勢阱中“粒子”的運動由方程

描述, 其中R為結電阻.勢阱的高度(即“粒子”跑出勢阱的束縛需要克服的勢壘高度)由下式給出[13]:

顯然, 當外加偏置電流遠小于約瑟夫森結臨界電流時, “粒子”被很好地囚禁在勢阱中.這時, 結處于超導狀態(tài)因而結兩端的電壓為零.當偏置電流緩慢增加到接近結的臨界電流 Ic時, “粒子”可以通過熱激發(fā)或者量子隧穿效應逃逸出勢阱, 在宏觀上就表現(xiàn)為約瑟夫森結兩端可測量的電壓信號, 這時所偏置的電流就稱為跳變電流.當然, 由于熱激發(fā)效應和量子隧穿效應都是隨機事件, 因此測量中記錄下來的與電壓信號對應的跳變電流也就是一種隨機分布.

對應于“粒子”逃逸出或囚禁于勢阱的兩種不同狀態(tài).假設“粒子”逃逸出勢阱的分布函數(shù)由P來描述, N(t)為粒子在勢阱中的數(shù)目.則:

因此, 在 ? t 時間內(nèi)“粒子”從勢阱中逃逸的數(shù)目為

其中, Γ (t) 為“粒子”的逃逸概率, I為實驗上可測量的跳變電流大小.在N(0)=1的初始條件下, (4)式積分得:可得跳變電流的分布函數(shù)為[14]

當溫度高于某個臨界溫度 T?時, 熱激發(fā)占主導地位, “粒子”逃逸的速度由Kramers公式[15]給出:

其中,at是阻尼系數(shù),其取值范圍為0

它幾乎與溫度無關.其中 aq≈[120π(7.2?U/?ωp)]1/2.以上的理論結果被廣泛應用于早期的約瑟夫森電子學特性研究, 下面將其應用于推算結的物理參數(shù), 即實驗測量跳變電流的統(tǒng)計分布, 并通過與理論模型的擬合, 來推算約瑟夫森結的臨界電流 Ic和電容參數(shù)C.

2.2 結阻尼參數(shù)的推算方法

直流偏置下的約瑟夫森結RCSJ模型由如下方程描述[17]:

其中Ib為結的直流偏置,為結兩端的電壓.令 τ =ωct, 其中則方程(8)可化為如下形式:

這里, βc=2eIcCR2/? 為阻尼參數(shù), ib=Ib/Ic.因此, 對 ib>1 的非超導態(tài), ib應該是 d φ/dτ 的一個線性函數(shù).不失一般性, 假設:

這里, ib0為常數(shù), 斜率K可由實驗測得的結I-V曲線提取.由此, 通過與(9)式數(shù)值解的比較即可建立阻尼參數(shù) βc與斜率K的聯(lián)系, 就可實現(xiàn)阻尼參數(shù) βc的推算, 進而計算出低溫條件下的結電阻R.

3 約瑟夫森結的制備及其物理參數(shù)推算

3.1 約瑟夫森結的制備

采用懸空掩膜斜角度蒸發(fā)鍍膜的工藝來制備SIS (superconductor-insulator-superconductor)約瑟夫森結[18].所采用的超導材料為Al, 對Al氧化生成的氧化鋁做勢壘層, 制備的主要步驟分為勻膠、光刻、顯影、斜角度蒸發(fā)鍍膜和去膠等.在清洗好的硅片上先后勻上LOR10B負膠和S1805正膠,勻膠后分別進行烘膠, 溶解掉其中的有機溶劑, 使其與硅片貼牢固.用深紫外曝光機和設計好的掩模版對其進行曝光; 曝光后的硅片使用顯影液進行顯影, 便可得到所需要的懸空掩膜結構.進而, 將其放入電子束蒸發(fā)鍍膜儀完成斜角度鍍膜、氧化、和再一次斜角度鍍膜三個步驟, 制備出約瑟夫森結樣品.整個結樣品的制備流程如圖2所示.

圖2 約瑟夫森結制備流程圖Fig.2.Preparation process of a Josephson junction.

最后將剩余的正、負光刻膠分別使用丙酮和N-甲基吡咯烷酮進行去除, 就可完成圖3所示的約瑟夫森結樣品的制備.

圖3 約瑟夫森結樣品Fig.3.Josephson junction sample.

3.2 約瑟夫森結I-V曲線和跳變電流的測量

約瑟夫森結I-V曲線一般采用四端子法進行測量, 一條線路通過一個1000倍的放大器測量結兩端的電壓信號, 另一條線路測流過結的電流信號.任意波形發(fā)生器將電壓信號通過可調(diào)電阻加到結的兩端, 實現(xiàn)結的電流偏置.這里, 可調(diào)電阻阻值遠大于約瑟夫森結電阻, 以逐漸增大結的低頻偏置電流.流過結的電流和結兩端可能產(chǎn)生的電壓信號由數(shù)據(jù)采集卡采集.將數(shù)據(jù)采集卡采集的數(shù)據(jù)在PC端進行處理, 便可得到圖4所示的過阻尼約瑟夫森結標準I-V特性曲線.

圖4 約瑟夫森結I-V特性曲線Fig.4.Measured I-V characteristic curve of the fabricated Josephson junction.

下面介紹在50 mK的極低環(huán)境溫度下對約瑟夫森結跳變電流的實驗測量.為此, 需要給約瑟夫森結施加一個大小可調(diào)的直流偏置(直流值以dI/dt 的速率逐漸增大).在0時刻觸發(fā)同步信號,開始計時; 隨后調(diào)節(jié)偏置電流使之逐漸增大, 同時監(jiān)測結兩端的電壓; 當結電壓從零跳變到一閾值時, 計時結束, 記錄此時的偏置電流大小作為跳變電流.測量信號的時序設置如圖5所示[19].

圖5 約瑟夫森結跳變電流實驗測量的時序圖Fig.5.Time sequence diagram for the junction jump current measurements.

重復以上測量過程 1 04次, 并對采集的測量數(shù)據(jù)在PC端進行數(shù)據(jù)處理, 得到如圖6所示的跳變電流大小測量值的統(tǒng)計分布圖, M為測得對應跳變電流值的次數(shù).從圖6中的數(shù)據(jù)可以看出, 在偏置電流小于 4.0×10?7A時, 沒有測到任何跳變事件(即沒有非零的電壓信號); 在偏置電流大于4.8×10?7A時, 結兩端的電壓幾乎不再發(fā)生跳變,而是逐漸增大.因此, 可以預計所測量結的臨界電流應該大于 4.8×10?7A.

圖6 約瑟夫森結跳變電流及其次數(shù)統(tǒng)計Fig.6.Josephson junction jump currents and their statistical distributions.

3.3 約瑟夫森結物理參數(shù)的推算

首先, 根據(jù)測量得到的跳變電流統(tǒng)計分布特性, 來推算結的臨界電流 Ic和結電容C.對實驗測得的結跳變電流的分布做歸一化處理, 得到圖7中的點狀線跳變電流的統(tǒng)計分布.利用跳變電流的統(tǒng)計分布公式(5)式, 通過調(diào)整約瑟夫森結臨界電流 Ic和電容C的預定值, 得到如圖7所示的實驗測量數(shù)據(jù)擬合.在擬合實驗數(shù)據(jù)時, 理論模型的參數(shù)設定為 Ic=5.56×10?7A, C =23.3 fF.由于跳變電流統(tǒng)計分布理論模型中對結電阻的取值很不敏感, 因此在理論擬合中暫時取為其室溫測量值R=598?.

圖7 結跳變電流的歸一化統(tǒng)計分布: 理論擬合(紅實線)與實驗數(shù)據(jù)(點狀線)Fig.7.Statistical distributions of the junction jump currents: theoretical simulations (red soild line), and measurement data (dot line).

為證實理論擬合中預定的參數(shù)是最優(yōu)的, 具體分析了臨近參數(shù)值對實驗數(shù)據(jù)擬合的偏差程度, 如表1所列.綜合表1的數(shù)據(jù)可見, 圖7中實驗數(shù)據(jù)的理論擬合是最優(yōu)的, 因此所測量約瑟夫森結的臨界電流可推算為 Ic=5.56×10?7A, 結電容可估計為 C =23.3 fF.

表1 不同參數(shù)取值對實驗數(shù)據(jù)擬合的偏差度分析Table 1.Deviations from the data simulated by using the different theoretical parameters.

下面推算結的阻尼參數(shù)值和電阻值.由于約瑟夫森結的跳變電流分布的理論模型對電阻的變化很不敏感, 所以以上擬合時所取的室溫結電阻測量值與極低溫工作環(huán)境下的結電阻的實際數(shù)值有所偏離.為此, 采用與歸一化RCSJ方程(9)的數(shù)值解進行擬合的方法, 數(shù)值解求解采用四階龍格庫塔算法.先實現(xiàn)約瑟夫森結阻尼參數(shù) βc的推算, 進而計算出極低溫工作時結電阻R的取值.為此, 將實驗測得的結I-V曲線(圖4)中的I變量值除以 Ic、電壓變量除以 ? ωc/(2e) 得到圖8中黑色點狀線所示的等效I-V曲線; 進而, 對非超導態(tài)工作區(qū)的結I-V特征曲線進行線性擬合, 其均方根誤差RMSE(root mean squared error)為0.197.得到如圖8中紅實線所示的擬合直線.由此, 可提取方程(10)中的斜率參數(shù)為 K =0.295.

圖8 約瑟夫森結的等效I-V曲線Fig.8.Effective I-V curve of the measured Josephson junction.

接下來, 在非超導態(tài)區(qū)域(即取 ib>1 )對方程(9)采用四階龍格庫塔算法進行數(shù)值求解, 得出阻尼參數(shù) βc和斜率參數(shù)K的數(shù)值解, 并進行擬合.圖9中, 點狀線表示由方程(9)數(shù)值解所得的阻尼參數(shù) βc和斜率參數(shù)K的對應關系, 紅實線是利用以下公式對點狀線變化規(guī)律的擬合:

圖9 斜率K隨阻尼參數(shù)變化 βc 關系Fig.9.Relationship between the parameters βc and K.

均方根RMSE為0.006.因此, 根據(jù)以上對所測試約瑟夫森結的K參數(shù)推算值 K =0.295 , 再根據(jù)(11)式便可推算出該約瑟夫森結的阻尼系數(shù)為βc=12.3, 由此說明所制備的約瑟夫森結是一個過阻尼結, 進而可推算極低溫工作環(huán)境下結的正常態(tài)電阻值為 R =558.99 ?.

至此完成了對所制備的約瑟夫森結樣品的物理參數(shù)推算.為了檢驗根據(jù)低頻電流偏置下進行實驗測量所推算的約瑟夫森結物理參數(shù)的準確度, 將根據(jù)實驗推算所得到的參數(shù)代入計算得到IcR=5.56×10?7×558.99=3.108×10?4A·?, 與由著名的Ambgaokar-Baratoff公式[20]

在 T =50 mK工作溫度下代入Al的超導能隙值?=2.906×10?23J 計算所得到的值10?4A·? 進行比較, 兩者相差 9.10%.需要說明的是, 由于實驗測量是在遠離超導轉變溫區(qū)進行的, 所以這里超導Al膜超導能隙 ? 可看成是不隨溫度變化的常數(shù).其中存在誤差的主要原因是約瑟夫森結跳變電流的測量誤差, 在與理論模型擬合時對臨界電流和電容的推算誤差導致了后續(xù)推算結果與超導能隙理論存在一定誤差.因此, 通過跳變電流分布實驗測量所推算得到的 Ic,R 基本符合Ambgaokar-Baratoff公式, 這說明通過測量低頻電流偏置下跳變電流的統(tǒng)計分布響應, 來實現(xiàn)約瑟夫森結物理參數(shù)推算的方法是可行的.

4 結 論

約瑟夫森結作為超導量子計算芯片和微波單光子探測芯片的核心器件, 其物理參數(shù)很難直接測定但對器件的按需設計和制備卻極其重要.不同于通常的高頻微波激勵響應測量, 本文提出了一種基于低頻電流偏置下跳變電流分布測量和I-V特性曲線的測量, 結合結RCSJ模型和跳變電流統(tǒng)計分布的理論模型, 實現(xiàn)了約瑟夫森結物理參數(shù)——結的臨界電流 Ic、結電容C、結電阻R 以及結阻尼參數(shù) βc的推算方法.這些根據(jù)實驗數(shù)據(jù)推算出來的參數(shù), 基本符合著名的Ambgaokar-Baratoff公式, 所以該實驗推算方法是可行的.本文所提出的方法,與測量微波驅動下約瑟夫森結跳變電流統(tǒng)計分布的方案相比, 在實驗上更加簡便; 與采用回滯電流與臨界電流比值相比, 不受I-V特性曲線原點上下漲落的影響, 具有獨有的優(yōu)勢.

當然, 本文所實現(xiàn)的基于跳變電流分布實驗測量的約瑟夫森結物理參數(shù)推算, 其精度有待于進一步提高.首先, 跳變電流測量的樣本數(shù)可以更多,從而減少統(tǒng)計誤差; 其次, 根據(jù)電壓信號的跳變記錄到的跳變電流, 通過精密地控制信號同步使其測量精度還有很大的提升空間, 等等.不過, 受限于數(shù)值擬合的理論公式大多數(shù)也只是某種近似處理下的結果, 通過基于近似理論模型來擬合實驗測量數(shù)據(jù)從中提取結的物理參數(shù)值, 本身也是影響參數(shù)推算的準確度.所以, 約瑟夫森結的物理參數(shù)值還需要在器件后續(xù)應用(比如超導量子計算和微波單光子探測等)的研究中, 應用其他方法(如器件的能譜測量等)來進行進一步的測定.本文的工作只是提供了可應用于約瑟夫森結器件設計和制備中,如何實現(xiàn)物理參數(shù)實驗推算的簡單而有效方法, 為按需設計約瑟夫森結器件參數(shù)和設置器件制備工藝參數(shù)提供參考.