景芳

摘? 要：結合2021年高考數學試卷，對集合、常用邏輯用語、復數的試題進行求解與分析，把握考點、題量、題型及難易程度，優(yōu)化解題策略，提供解題指導和備考建議.

關鍵詞：集合;常用邏輯用語;復數;解題分析;復習建議

集合、常用邏輯用語、復數在高考中的考查重點是基本概念、基礎知識和基本運算，絕大部分屬于基礎題，是高考中的重要得分點. 集合和簡易邏輯是初、高中數學思維和方法銜接的重要載體，貫穿高中數學始終，是學生掌握較熟練的一部分內容. 但很多試題以集合和邏輯作為輔助性語言表達，考查數學理解，綜合性較強. 復數是高中數系擴充的新內容，內容基礎、相對獨立，試題較穩(wěn)定.

本文對2021年高考數學試卷中相關的內容進行分析，從中歸納出該專題內容的試題特征、解題策略和思想方法，以提高高考復習的有效性.

一、試題分析

2021年高考對集合、常用邏輯用語、復數的考查，注重基礎考查、突出能力立意、著眼核心素養(yǎng).

1. 基礎知識集中考查

集合運算、復數運算每卷必考，試題的位置主要在選擇題、填空題前三題，延續(xù)了一貫的特點，緊扣基礎、直接明了、簡單易解. 因此，在復習中應注重集合與復數的基礎運算和基本概念;淡化復雜的技巧運算，強調數的運算，重視常規(guī)運算和通性、通法，借助Venn圖、數軸等工具熟練解決數集的交、并、補運算;熟練掌握復數的加、減、乘、除、共軛、模的運算及復數的幾何意義. 常用邏輯用語的基礎知識主要包含四種命題的關系及其真假的判斷，充分條件和必要條件的判斷，含有簡單的邏輯聯結詞的命題的真假判斷. 強調對邏輯用語的理解、領悟，掌握轉化和化歸的思想方法.

2. 突出能力立意，著眼核心素養(yǎng)

常用邏輯用語和集合是數學語言的組成部分，是數學抽象的載體，試題中作為輔助語言時，除了考查對集合、邏輯用語的理解、領悟外，還需要以其他知識為載體，重點考查學生的數學推理能力、轉化與化歸能力和綜合應用能力，具有一定的難度. 對這方面的考查各份試卷在內容、難度、題量上都有較大差異. 例如，全國新高考Ⅰ卷、全國甲卷（文科）沒有考查常用邏輯用語.

二、解法分析

1. 集合

（1）集合的基本運算.

在2021年高考數學試卷中，集合的基本運算集中考查的是數集的基本運算，集合的表示形式有列舉法和描述法，相對簡單. 運算為求集合交集、并集的獨立運算，以及求集合的交集、并集、補集的混合運算.

例1 （全國新高考Ⅰ卷·1）設集合[A=x-2<x<4，][B=2，3，4，5]，則[A?B]等于（? ? ）.

（A）[2] （B）[2，3]

（C）[3，4] （D）[2，3，4]

分析：先在數軸上表示出集合[A]，再根據集合[B]，尋找公共部分，從而得到集合的交集. 也可以利用交集的要求，先列舉集合[A]中的正整數，再利用Venn圖求出[A，B]的公共元素. 還可以利用元素與集合的關系，根據選項排除得到答案.

解法1：利用數軸，根據交集的定義，得[A?B=][2，3].

解法2：集合[A]的元素中，正整數為1，2，3，利用Venn圖得[A?B=2，3].

解法3：根據交集的定義，[A?B]中的元素即屬于[A]，也屬于[B]，所以判斷4不屬于[A]，排除選項C，D;再根據3既屬于[A]又屬于[B]，確定答案選B.

【評析】該題主要考查集合的運算：若集合中的元素是離散的，常用Venn圖來求解;若集合中的元素是連續(xù)的實數，則用數軸表示. 需要特別注意區(qū)間端點是否可以取到. 離散與連續(xù)的相互運算，要關注運算特征：如果求集合的交集，則結果一定是離散的，可以用列舉法，也可以根據元素與集合的關系用特殊值排除法;如果求集合的并集與補集，用數軸求解.

數集的運算是2021年高考集合試題的重點，以下為相關試題.

（全國甲卷·理1）設集合[M=x0<x<4，][N=x13≤x≤5]，則[M?N]等于（? ? ）.

（A）[x0<x≤13] （B）[x13≤x<4]

（C）[x4≤x<5] （D）[x0<x≤5]

（全國甲卷·文1）設集合[M=1，3，5，7，9，][N=x2x>7]，則[M?N]等于（? ? ）.

（A）[7，9] （B）[5，7，9]

（C）[3，5，7，9] （D）[1，3，5，7，9]

（浙江卷·1）設集合[A=xx≥1，B=x-1<x<2，] 則[A?B]等于（? ? ）.

（A）[xx>-1] （B）[xx≥1]

（C）[x-1<x<1] （D）[x1≤x<2]

（上海卷·2）已知[A=x2x≤1，B=-1，0，1，] 則[A?B]等于? ? ? .

（北京卷·1）已知集合[A=x-1<x<1，B=][x0≤x≤2]，則[A?B]等于（? ? ）.

（A）[x-1<x<2] （B）[x-1<x≤2]

（C）[x0≤x<1] （D）[x0≤x≤2]

例2 （天津卷·1）設集合[A=-1，0，1，B=][1，3，5，C=0，2，4]，則[A?B?C]等于（? ? ）.

（A）[0] （B）[0，1，3，5]

（C）[0，1，2，4] （D）[0，2，3，4]

分析：利用Venn圖，根據集合混合運算的順序求解.

解法1：根據Venn圖，解得[A?B=1]，再求得[A?B?C=0，1，2，4].

解法2：根據混合運算律[A?B?C=A?C?][B?C]. 先求[A?C=-1，0，1，2，4]，再求[B?C=][0，1，2，3，4，5]，解得[A?B?C=A?C?B?C=][0，1，2，4].

解法3：利用元素與集合的關系，先排除選項A，B，再根據元素3排除選項D.

【評析】2021年高考共有3份試卷考查了集合的混合運算，均是表示形式為列舉法的數集的混合運算，結構和類型簡潔，運算方便. 正確利用運算律、Venn圖及元素與集合的關系即可解題.

集合混合運算的相關試題還有以下幾道.

（全國新高考Ⅱ卷·2）若全集[U=][1，2，3，4，5，6，A=1，3，6，B=2，3，4]，則[A??UB]等于（? ? ）.

（A）[3] （B）[1，6]

（C）[5，6] （D）[1，3]

（全國乙卷·文1）已知全集[U=1，2，3，4，5，] 集合[M=1，2，N=3，4，] 則[?UM?N]等于（? ? ）.

（A）[5] （B）[1，2]

（C）[3，4] （D）[1，2，3，4]

（2）集合的概念與表示、集合間的基本關系.

集合的概念與表示、元素與集合的關系、集合間的基本關系與其他知識融合在一起考查，體現的是集合的語言功能，重點考查學生對集合的理解，以及學生的綜合應用能力.

例3 （全國乙卷·理3）已知集合[S=ss=2n+1，n∈Z，][T=tt=4n+1，n∈Z]，則[S?T]為（? ? ）.

（A）[?] （B）[S] （C）[T] （D）[Z]

分析：分析集合[S，T]中的元素，根據元素得到[T?S]且[T≠S]，由此可以得出結論.

解法1：分析描述的關系式，利用同構法把集合[T]中的關系式改寫成[t=4n+1=2?2n+1]，其中[n∈Z]，因為[2n]是偶數，偶數集是整數集的真子集，所以[T?S]且[T≠S].

解法2：利用數軸，有規(guī)律地找出集合中的元素，得到[T?S]且[T≠S].

解法3：根據元素與集合的關系，利用3，0兩個集合元素排除選項B，D，利用集合元素5進行特殊值檢驗，確定選項C.

【評析】該題重點考查元素與集合的關系、集合間的關系及基本運算，難點是要理解集合的元素. 無窮離散數集要嘗試尋找規(guī)律，化繁為簡.

常見典型錯誤：對集合元素本質理解不到位;忽視了集合中不等式端點取舍等限制條件;畫圖不準確;混合運算順序打亂.

2. 復數

復數每卷必考，重點考查復數的基本概念和基本運算，少部分試題涉及復數的相等、幾何意義，位于選擇題和填空題的前兩道題，難度低. 學生需要了解復數、共軛復數的概念，理解復數相等的條件、復數的加、減、乘、除運算.

例4 （全國甲卷·文 / 理3）已知[1-i2z=3+2i，]則[z]等于（? ? ）.

（A）[-1-32i] （B）[-1+32i]

（C）[-32+i] （D）[-32-i]

分析：先利用復數的乘法和除法運算求出[z]，再化簡整理成復數的代數形式.

解法1：設[z=a+bi].

因為[1-i2=-2i]，

所以[1-i2z=-2ia+bi=2b-2ai=3+2i].

根據復數相等的條件，實部和實部相等、虛部和虛部相等，解得[b=32，a=-1].

所以[z=-1+32i].

解法2：[1-i2z=-2iz=3+2i]，

[z=3+2i-2i=3+2ii-2ii=-2+3i2=-1+32i].

【評析】該題考查的是復數的代數形式運算. 重點是要理解[i2=-1]，了解復數的運算法則——乘法遵循多項式的乘法運算法則;加、減法遵循實部、虛部合并同類項法則;除法遵循分母實數化法則. 也可以把除法運算轉化為乘法運算的逆運算，減法運算轉化為加法的逆運算.

以下為2021年高考數學復數的運算的相關試題.

（全國乙卷·理1）設[2z+z+3z-z=4+6i]，則[z]等于（? ? ）.

（A）[1-2i] （B）[1+2i]

（C）[1+i] （D）[1-i]

（全國乙卷·文2）設[iz=4+3i]，則[z]等于（? ? ）.

（A）[-3-4i] （B）[-3+4i]

（C）[3-4i] （D）[3+4i]

（全國新高考Ⅰ卷·2）已知[z=2-i]，則[zz+i]等于（? ? ）.

（A）[6-2i] （B）[4-2i]

（C）[6+2i] （D）[4+2i]

（浙江卷·2）已知[a∈R， 1+aii=3+i]（[i]為虛數單位），則[a]等于（? ? ）.

（A）-1 （B）1 （C）-3 （D）3

（北京卷·2）若復數[z]滿足[1-iz=2]，則[z]等于（? ? ）.

（A）[-1-i] （B）[-1+i]

（C）[1-i] （D）[1+i]

（上海卷·1）已知[z1=1+i，z2=2+3i]，則[z1+z2]等于? ? ? .

（天津卷·10）[i]是虛數單位，復數[9+2i2+i]等于? ? ? ? ?.

（全國新高考Ⅱ卷·1）復數[2-i1-3i]在復平面內對應的點所在的象限為（? ? ）.

（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第三象限 （D）第四象限

常見典型錯誤：對虛數單位的理解不到位;對復數的乘除運算、加減運算的轉化與化歸不熟練;對共軛復數理解不透徹.

3. 常用邏輯用語

2021年的高考數學中的常用邏輯用語試題在各份試卷中的難易程度、題量、位置有較大差異，試題考查的內容主要有充分條件、必要條件和充要條件的判斷，充分性、必要性的證明;命題真假的判斷及“或”“且”“非”聯結的兩個簡單命題構成的復合命題的真假的判斷;存在量詞、全稱量詞表述的數學問題推理和求解. 這部分內容常涉及與其他章節(jié)知識的綜合，學生需要理解邏輯用語的意義，并把握各知識之間的內在聯系，融會貫通，靈活運用轉化與化歸的思想方法處理問題.

（1）命題.

例5 （全國乙卷·文 / 理3）已知命題[p：?x∈R，][sinx<1];命題[q：?x∈R，ex≥1]，則下列命題中為真命題的是（? ? ）.

（A）[p∧q] （B）[?p∧q]

（C）[p∧?q] （D）[?p∨q]

分析：先判斷命題[p，q]的真假，再根據簡單邏輯聯結詞“或”“且”“非”的意義判斷復合命題的真假.

解：命題[p：?x∈R，sinx<1]，只要舉出例子使這個三角不等式成立即可，如[sin0=0<1]，所以命題[p]是真命題.

命題[q：?x∈R，][ex≥1]，需要從任意的[x∈R]開始進行推理，由于[y=ex]在[R]上為增函數，[x≥0]，所以[ex≥e0=1]. 所以命題[q]為真命題.

所以[p∧q]為真命題，[?p∧q、p∧?q、?p∨q]為假命題.

（2）充分條件和必要條件.

充分性和必要性的理解、充分條件和必要條件的判斷是高考考查的熱點之一. 判斷充分條件、必要條件常用的方法有三種. 一是從定義入手，從命題的角度看：“若[p]，則[q]”是真命題， 則[p]是[q]的充分條件，[q]是[p]的必要條件;“若[p]，則[q]”是真命題，且“若[q]，則[p]”是假命題，則[p]是[q]的充分不必要條件，[q]是[p]的必要不充分條件;“若[p]，則[q]”“若[q]，則[p]”都是真命題，則[p]是[q]的充要條件;“若[p]，則[q]”“若[q]，則[p]”都是假命題，則[p]是[q]的既不充分也不必要條件. 二是利用命題間的推導推出關系. 三是若命題可以轉化為集合，利用對應的集合之間的關系進行判斷. [p]對應的集合為[A，q]對應的集合為[B]，若[A]是[B]的真子集，則[p]是[q]的充分不必要條件;若[A=B]，則[p]是[q]的充要條件.

例6 （浙江卷·3）已知非零向量[a，b，c]，則[“a?c=b?c”]是[“a=b”]的（? ? ）.

（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件

（C）充分必要條件

（D）既不充分也不必要條件

分析：根據兩者之間的推導關系可得兩者之間的條件關系.

解：若[a ? c=b ? c，] 利用向量數量積運算得[a-b ? c=0]，可舉反例，若[c=0]時推不出[a=b];反之若[a=b]，則[a ? c=b ? c]必成立. 故[“a ? c=b ? c”]是[“a=b”]的必要不充分條件.

【評析】該題以向量的數量積運算為背景，考查學生對數量積運算的掌握情況，以及對必要條件、充分條件意義的理解.

例7 （天津卷·2）已知[a∈R]，則“[a>6]”是“[a2>36]”的（? ? ）.

（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件

（C）充要條件

（D）既不充分也不必要條件

分析：可以利用命題間的推導，也可以利用對應集合的關系進行判斷.

解法1：若[a>6]，利用平方運算的性質，得[a2>36]成立;反之，當[a=-10]時，[a2>36]但[a>6]并不成立. 所以[a>6]是[a2>36]的充分不必要條件.

解法2：因為[a>6]對應的集合[aa>6]是[a2>36]對應的集合[aa<-6或a>6]的真子集，所以[a>6]是[a2>36]的充分不必要條件.

【評析】該題轉化為數集，利用集合之間的關系判斷較為直觀.

例8 （上海卷·21）若對任意[x1，x2∈R，] 當[x1-x2∈S]時，都有[fx1-fx2∈S，] 則稱[fx]是[S]關聯的.

（1）判斷并證明[fx=2x-1]是否是[0，+∞]關聯的，是否是[0，1]關聯的;

（2）[fx]是[3]關聯的，當[x∈0，3]時[fx=x2-][2x]，解不等式[2≤fx≤3];

（3）證明“[fx]是[1]關聯的，且是[0，+∞]關聯的”當且僅當“[fx]是[1，2]關聯的”.

分析：第（3）小題需要從充分性和必要性兩方面來論證，“當且僅當”也就是等價關系也就是充分必要.

（1）略;

（2）略;

（3）證明：充分性：因為[fx]是[1]關聯的，

所以對任意的[x∈R]，[fx-fx-1=1].

設[x1-x2∈1，2]，即[1≤x1-x2≤2].

則[fx1-fx2=fx1-1+1-fx2=fx1-1-fx2+1.]

因為[fx]是[0，+∞]關聯的，

所以[fx1-1-][fx2≥0].

所以[fx1-fx2≥1].

同理，[fx1-fx2=fx1-2+2-fx2=fx1-2-]

[fx2+2≤2].

必要性 ：因為[fx]是[1，2]關聯的，

所以[1≤fx+1-fx≤2，1≤fx+2-fx+1≤2，1≤fx+2-fx≤2.]

由此可得[fx+1-fx=1].

所以[fx]是[1]關聯的.

若[x1-x2≥0]，則總存在[k∈N]，使得[k≤x1-x2≤k+1].

[fx1-fx2=fx1-1+1-fx2=fx1-1+1-fx2=]

[fx1-2+1+1-fx2=fx1-2+2-fx2=…=fx1-k+1+]

[k-1-fx2]，

因為[1≤x1-k+1-x2≤2]，

所以[1≤fx1-k+1-fx2≤2].

所以[k≤fx1-fx2≤k+1].

所以[fx1-fx2≥0].

所以[fx]是[0，+∞]關聯的.

所以[“fx]是[1]關聯的，且是[0，+∞]關聯的”當且僅當[“fx]是[1，2]關聯的”.

【評析】該題是以集合為背景的新定義問題，合理利用新定義問題的有關性質是破解新定義型問題的關鍵. 該題的關鍵是當自變量的差是集合元素時，對應因變量的差也是集合元素. 利用這一定義的路徑，去嘗試判斷和證明問題. 該題以邏輯用語“當且僅當”作為輔助語言，需要從充分性、必要性兩方面進行數學推理論證.考查學生數學表達的能力、數學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)，有一定的難度. 學生平時需要注重數學表達的嚴謹性和規(guī)范性. 該題也可以利用圖象，通過數形結合進行論證. 上海卷第12題、第20題中的邏輯用語“有且只有”都需要從必要性和充分性兩個方面思考、論證、推理.

三、試題解法欣賞

例9 （全國甲卷·理7）等比數列[an]的公比為[q]，前[n]項和為[Sn]，設甲：[q>0]，乙：[Sn]是遞增數列，則（? ? ）.

（A）甲是乙的充分條件但不是必要條件

（B）甲是乙的必要條件但不是充分條件

（C）甲是乙的充要條件

（D）甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

解法1：當數列[an=-2n]時，滿足[q>0]，但是[Sn]不是遞增數列，所以甲不是乙的充分條件.

若[Sn]是遞增數列，則必有[an>0]成立，若[q<0，]則會出現一正一負的情況，是矛盾的，則[q>0]成立，所以甲是乙的必要條件.所以甲是乙的必要不充分條件.

解法2：因為[Sn+1-Sn=an+1=a1qn>0]的等價條件是[a1，qa1>0，q>0]. 因為[a1，qa1>0，q>0]是[a1，qq>0]的真子集，所以甲是乙的必要不充分條件.

【評析】數列是特殊的函數，利用函數的方法判斷數列的單調性有助于對問題的全面理解和把握，函數思想是解決數列問題（尤其是與性質有關的問題）的有效策略.

例10 （全國新高考Ⅱ卷·11）已知直線[l：ax+][by-r2=0 r>0]與圓[x2+y2=r2]，點[Aa，b]，則下列說法正確的是（? ? ）.

（A）若點[A]在圓[C]上，則直線[l]與圓[C]相切

（B）若點[A]在圓[C]內，則直線[l]與圓[C]相離

（C）若點[A]在圓[C]外，則直線[l]與圓[C]相離

（D）若點[A]在直線[l]上，則直線[l]與圓[C]相切

解法1：利用點到直線的距離公式，判斷直線與圓的位置關系，圓心到直線[l]的距離[d=r2a2+b2].

若點[A]在圓上，則[a2+b2=r.] 則[d=r.] 所以直線[l]與圓相切;

若點[A]在圓內，則[a2+b2<r.] 則[d>r.] 所以直線[l]與圓相離;

若點[A]在圓外，則[a2+b2>r.] 則[d<r.] 所以直線[l]與圓相交;

若點[A]在直線上，則[a2+b2=r2.] 則[d=r.] 所以直線[l]與圓相切.

故答案選ABD.

解法2：我們知道[l：ax+][by-r2=0]是點[Aa，b]關于圓[x2+y2=r2]對應的極線，當[Aa，b]在圓[x2+][y2=r2]上時，直線[l]是圓的切線;當[Aa，b]在圓外時，直線[l]是點[A]關于圓的切點弦;當[Aa，b]在圓內時，直線[l]是點[A]關于圓的切線交點的軌跡. 這個幾何意義可以推廣到橢圓、雙曲線、拋物線.

【評析】該題是判斷命題真假的不定項選擇題，需要學生從問題的本質入手，進行推理和分析，既可以利用通性、通法求解，也可以利用高觀點的極點極線的幾何性質求解，結論可類比到高中學習的橢圓、雙曲線、拋物線，復習過程中要善于歸納、類比和總結.

集合、常用邏輯用語和復數是高中數學中重要的基本概念和基本內容，是研究數學問題的基礎和工具. 通過對2021年高考集合、常用邏輯用語、復數試題的求解和分析，明確復習應注重主干知識與通性、通法，提高學生的運算能力、邏輯思維能力、表達能力、推理能力. 對簡單的集合、復數運算要做到懂、會、熟;重視對定義概念的本質、內涵、外延的理解和研究路徑的掌握. 理解知識塊、掌握方法線，激活學生探索解決問題的能力和數學素養(yǎng).

參考文獻：

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[3]肖偉華. 2020年高考“集合、常用邏輯用語、復數”專題解題分析[J]. 中國數學教育（高中版），2020（9）：21-27.