王 爽，張瑋瑋，張紅梅，張 海

（安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽安慶246133）

分?jǐn)?shù)微積分在物理、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、信號處理、生物工程和電磁學(xué)等領(lǐng)域具有潛在應(yīng)用，引起了越來越多研究人員的關(guān)注。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的重要特點是非局部性，并具有弱奇異核，與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)相比，它最主要的優(yōu)點是為描述各種材料和過程的記憶與遺傳特性提供了極好的工具。研究表明，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)描述的動力學(xué)系統(tǒng)在交叉學(xué)科領(lǐng)域的推廣與應(yīng)用比整數(shù)階導(dǎo)數(shù)更加精確。近幾年，為了更好地描述神經(jīng)動力學(xué)行為，一些學(xué)者將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)形成分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有無限記憶性和更多的自由度，在圖像處理、信號處理、組合優(yōu)化、聯(lián)想記憶、模式識別等方面應(yīng)用廣泛，這些應(yīng)用在很大程度上依賴于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為。文獻(xiàn)[1]利用Lyapunov方法建立了基于憶阻器分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局Mittag-Leffler穩(wěn)定性和同步條件，并采用右不連續(xù)分?jǐn)?shù)階微分方程理論的結(jié)果進(jìn)行分析；文獻(xiàn)[2]報道了一種新的分?jǐn)?shù)階微分不等式，通過開環(huán)控制與自適應(yīng)控制相結(jié)合的方法，導(dǎo)出了分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)投影同步的一些準(zhǔn)則。

同步是混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的一個重要動力學(xué)特征，它在安全通信、信息科學(xué)、圖像處理等多個領(lǐng)域有著成功的應(yīng)用。迄今為止，混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步主要有完全同步、全局Mittag-Leffler同步、投影同步等類型。這些類型的同步表明，響應(yīng)系統(tǒng)的軌跡可以達(dá)到無窮遠(yuǎn)處導(dǎo)出系統(tǒng)的軌跡。同步應(yīng)該在有限時間內(nèi)實現(xiàn)，許多學(xué)者對混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步問題進(jìn)行了研究，例如文獻(xiàn)[3]利用拉普拉斯變換、廣義格羅瓦爾不等式、Mittag-Leffler函數(shù)以及線性反饋控制技巧導(dǎo)出帶時滯的分?jǐn)?shù)階基于憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步的充分條件。

關(guān)于分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有著豐富的研究結(jié)果[2-4]，對其有限時間同步的結(jié)果也有大量報道[5-7]。但是，這些文獻(xiàn)討論的階數(shù)都是0<α<1情形，在1<α<2情形下，關(guān)于分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的成果很少，例如文獻(xiàn)[4]研究的是分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限穩(wěn)定性問題，而對1<α<2情形，分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限同步問題還沒開展討論，這就是本文研究的動機(jī)。本文首先在上升函數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展一個不等式，然后利用H?lder不等式、Jensen不等式、廣義Gronwall不等式以及線性反饋控制技巧，推導(dǎo)出一個保證1<α<2的分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時間同步的充分條件。

1 預(yù)備知識

1.1 分?jǐn)?shù)微積分定義和引理

定義1[8]函數(shù)f(t)∈C([0,+∞),?)的α階Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)定義為

其中，Dα表示α（1<α<2）階Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)，n是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元的數(shù)量，x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t),…,xn(t))T，xi(t)代表驅(qū)動系統(tǒng)第i個神經(jīng)元狀態(tài)變量，C=(c1,c2,c3,…,cn)T，ci>0表示第i個神經(jīng)元的自調(diào)節(jié)參數(shù)，A=(aij)n×n和B=(bij)n×n分別表示無時滯和有時滯的鏈接權(quán)重矩陣，f(x(t))=(f1(x1(t)),f2(x2(t)),…,fn(xn(t)))T和f(x(t-τ))=(f1(x1(t-τ)),f2(x2(t-τ)),…,fn(xn(t-τ)))T分別表示無時滯和有時滯的神經(jīng)元激活函數(shù)，I=(I1,I2,I3,…,In)T表示第i個神經(jīng)元的外部輸入,τ表示時滯且>0。

其中，y(t)=(y1(t),y2(t),y3(t),…,yn(t))T，U(t)=(u1(t),u2(t),u3(t),…,un(t))T，yi(t)代表響應(yīng)系統(tǒng)中第i個神經(jīng)元狀態(tài)變量，ui(t)是合適的控制器。其初始條件形式：yi(t)=?i(t),t∈[-τ,0]，i=1,2,3,…,n。我們選擇線性反饋控制器：

其中，γi是控制增益。

假設(shè)1神經(jīng)元激活函數(shù)fj在?上滿足Lipschitz條件，即對?x,y∈?，存在Lipschitz常數(shù)kj>0，使得|fj(y)-fj(x)|≤kj|y-x|，j=1,2,3,…,n。

假設(shè)2max{ ‖φ‖,‖ D e(0) ‖}≤δ。

備注設(shè)x∈?n×n，定義矩陣范數(shù)：

定義ei(t)=yi(t)-xi(t)為驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)之間的誤差系統(tǒng)，則

2 主要結(jié)果

定理在假設(shè)1和假設(shè)2的基礎(chǔ)上，若

則對于t0=0、δ、ε，J=[0,T]，驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（3）在線性控制器（5）下是有限時間同步的。

證明從定義3、方程（8）可以得到

根據(jù)超幾何函數(shù)，有

因此，根據(jù)定義可知，驅(qū)動系統(tǒng)（1）與響應(yīng)系統(tǒng)（3）實現(xiàn)了有限時間同步。

3 數(shù)值算例

考慮一類分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為驅(qū)動系統(tǒng)

取初始條件x1(0)=0.4，y1(0)=0.3，x2(0)=0.2，y2(0)=0.1。圖1和圖2分別是驅(qū)動系統(tǒng)（19）和響應(yīng)系統(tǒng)（20）之間的同步軌跡，圖3和圖4分別表示驅(qū)動系統(tǒng)（19）和響應(yīng)系統(tǒng)（20）之間的誤差狀態(tài)軌跡。

圖1 x1和y1的同步軌跡

圖2 x2和y2的同步軌跡

圖3 誤差e1的狀態(tài)軌跡

圖4 誤差e2的狀態(tài)軌跡

4 結(jié)論

本文研究了在1<α<2的情況下，分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時間同步問題，利用不等式技巧和線性反饋控制器，推導(dǎo)出保證這類分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)有限時間同步的一個充分條件。通過仿真證明了所得結(jié)論的有效性和可行性。本文的主要貢獻(xiàn)可以概括為：（1）討論的階數(shù)是1<α<2，根據(jù)狀態(tài)反饋控制技術(shù)，設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器來保證此類分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步；（2）基于H?lder不等式、Jensen不等式、廣義Gronwall不等式等，得到驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的有限時間同步準(zhǔn)則；（3）與早期文獻(xiàn)中的結(jié)果相比，所得結(jié)果更一般、更不保守。值得注意的是，近年來許多微積分系統(tǒng)都得到了廣泛的研究，也可以利用本文中的一些技巧來處理其他復(fù)雜的模型，這些都是今后要繼續(xù)研究的課題。