陳浩然，鐘金標(biāo)

（安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽安慶246133）

在討論沒有載荷且在邊緣上固定的薄鈑振動問題時，若有外力作用在這個鈑上，且該外力按密度f(x,y)分布，則這固定邊緣的鈑的靜力撓曲將由方程給出。類似地，一些流體力學(xué)和固體力學(xué)等物理問題可通過建立雙調(diào)和方程邊值問題來研究，例如文獻[1]利用不動點定理、確界原理討論了一類雙調(diào)和方程邊值問題的正徑向解，文獻[2]研究了一類帶有雙臨界指數(shù)的雙調(diào)和方程邊值問題的非平凡解，文獻[3]討論了一類雙調(diào)和方程邊值問題的可解性，文獻[4]研究了一類半線性橢圓方程組正解的存在唯一性。這類問題中非線性項不同，相應(yīng)定理的證明所采用的方法也不同。

本文擬考察帶小參數(shù)λ的雙調(diào)和方程邊值問題：

這里Ω??n是一個有界洞型光滑區(qū)域，Γ1為外邊界，Γ2為內(nèi)邊界，?Ω=Γ1?Γ2，b為正常數(shù)，λ為正參數(shù)。在式（1）中令-Δu=v，則式（1）轉(zhuǎn)換為

1 解的存在性

定理1在（H1）成立的條件下，且問題（2）有解，則必是非負(fù)解。

證明由（H1）知λf(x,u,v)≥0，推出-Δv≥0,x∈Ω，由調(diào)和函數(shù)極值原理[5]知v≥0,x∈Ω，-Δu=v≥0，進而u≥0,x∈Ω，所以若（2）有解，則解非負(fù)。

定理2若（H1）、（H2）成立，且λ充分小，則問題（1）必存在正解。

證明因為f(x,s,t)=1+s2+t2關(guān)于s、t連續(xù)單增，從而滿足條件（H1）和（H2），由定理2知問題（9）存在正解。

2 解的唯一性

定理3在（H3）成立的條件下，問題（2）至多只有一個解。

證明在（2）中取兩組解(u1,v1),(u2,v2)，則有

綜合式（16）和式（17）可得u1=u2,v1=v2，所以問題（2）至多只有一個解。

3 結(jié)束語

綜上所述，上、下解方法在幫助我們確定非線性橢圓型方程組解的時候起到了重要的作用，我們在給定的上、下解范圍之間通過不動點定理找出了邊值問題的精確解，從而證明了解的存在性，實例證明了定理的有效性。在討論邊值問題可解性時，Green恒等式和Poincare不等式是有力的工具。