江蘇省昆山市玉峰實驗學校 顧英杰

“模型思想”是《義務教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》提出的十大核心概念之一，也是新增加的一個核心概念，它指出“模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑”。深度學習更多注重學習者積極主動，深層次理解、構建和遷移知識的學習狀態(tài)和過程，更注重學習者自身對學習意義的探索，進而促成學習者學會自主學習。本文以圖形與幾何的教學為例，談一些實踐和思考。

一、深度學習下的感知與體驗

數(shù)學模型都是具有生活背景的，特別是圖形與幾何的教學，教師可以從生活中找到數(shù)學實例充分利用，將情境與生活結合起來設計有效的教學活動，在感知與體驗中自然建構模型。如在“用數(shù)對確定位置”一課的教學中，可設計如下教學活動：

環(huán)節(jié)一：在直線上確定位置（一維）

師：這是一堵白色的墻壁，墻上爬來了一只蜘蛛。如果要表示出蜘蛛現(xiàn)在的位置，可以怎么表示呢？（蜘蛛爬到底邊離左邊較近處，這時學生有不同的描述）

師：老師給你們一把尺，現(xiàn)在誰能說清楚蜘蛛的位置？

生：在1 厘米處。

師：我們就用1 來表示，下面請同學們快速地說出蜘蛛的位置。

生：5，3，0，2.5。

小結：看來，只要蜘蛛在這條線段上移動，我們就可以用一個數(shù)來表示它的位置。

環(huán)節(jié)二：在平面上確定位置（二維）

師：現(xiàn)在又來了一只藍蜘蛛和一只黃蜘蛛，它們也爬到這堵墻上，不過，現(xiàn)在墻壁上沒有尺了，你能在這堵墻上做些什么準備工作，使得它們一爬過去，就能快速地說出對應的位置呢？

學生自主探究，教師巡視了解，然后組織展示。

生1：我在墻壁的左邊標上了數(shù)字，這樣豎著看、橫著看，就能看出蜘蛛的位置了。

生2：我還畫出了橫著的線和豎著的線，有了交叉點，看起來就更方便了。

師：在數(shù)學上，豎著的這些線叫做列，橫著的這些線叫做行?，F(xiàn)在請同學們看著墻，你能用列和行說說紅蜘蛛、藍蜘蛛和黃蜘蛛的位置嗎？

學生交流，指名回答。

師：老師想特別介紹一下這只黃蜘蛛，它有一個超能力，能夠瞬間移動，接下來，老師想請同學們想辦法盡可能多的記錄下它每次移動后的位置，總共會移動六次。

交流記錄方法，引出數(shù)對。

通過設計蜘蛛上墻這一富有趣味性的生活情境，讓學生真正經(jīng)歷了從“一維”描述到“二維”描述的過程。這樣的學習過程，才是培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，提升學生的創(chuàng)造力，引導學生進行深度學習的有效學習過程。

二、課本素材下的建模及創(chuàng)新

在小學階段，不是所有的內容都適合培養(yǎng)學生的模型思想，需要對六個年段的教學內容進行整理和歸納，這也是我們課題研究中的一個子課題。在適合建模教學的內容中，尤其是圖形與幾何的教學，我們要充分利用好課本提供的素材，創(chuàng)造性地引導學生進行多層次的模型建構。如在“釘子板上的多邊形”教學中，可以設計這樣的教學活動：

師：四人小組，在釘子板上任意圍出了不同的多邊形，再計算出面積。下面，我們來展示不同小組的作品。比一比，看看誰計算面積的速度快。

分別展示作品，并比賽計算面積。

生：這里面肯定隱藏了可以快速計算面積的方法。

師：你們覺得釘子板上多邊形的面積會與什么有關呢？

生1：圖形邊上的釘子數(shù)量。

生2：圖形內部的釘子數(shù)量。

師：那釘子板上多邊形的面積與它邊上的釘子數(shù)和內部的釘子數(shù)到底有什么關系呢？請這一列的三組同學先分別在釘子板上圍一個內部沒有釘子的圖形，交流討論后填寫活動單，其他幾列的同學分別研究內部有一個、兩個和三個釘子的圖形，交流討論后填寫活動單。

各指定一組同學上臺交流，并說說各組的猜想。s 表示多邊形的面積，n 表示多邊形邊上的釘子數(shù)，a 表示內部的釘子數(shù)。

猜想一：a=0，s=n÷2-1猜想二：a=1，s=n÷2+0猜想三：a=2，s=n÷2+1猜想四：a=3，s=n÷2+2

師：現(xiàn)在，有了這些結論，請同學們作進一步的猜想，如果內部釘子數(shù)就是a，多邊形的面積s 可以怎么表示呢？

生：s=n÷2+a-1。

師：你是怎么思考的？

生：我發(fā)現(xiàn)后面的數(shù)都比內部的釘子數(shù)少1。

師：你們同意這個想法嗎？下面我們來進行驗證，請每個小組任意選一個內部釘子數(shù)是3 以上的來進行驗證。

各組分別交流各自驗證的結果，最后得出結論：s=n÷2+a-1。

這樣的教學，不僅使學生構建起了內容層面的模型，即“釘子板上多邊形的面積=多邊形邊上的釘子數(shù)÷2+多邊形內部的釘子數(shù)-1”，而且從方法層面構建了一個“觀察猜想—操作驗證—構建模型”形式化進行探究活動的方法模型。從思想層面來說，學生學會探究釘子板上的多邊形這一問題并不是我們教學的最終目標，我們的目標是要讓學生把探究的方法和思路進行擴展運用，從而解決一類問題。由此，引導學生進行多層次的模型構建才能真正提升學生的建模意識，從而有效地培養(yǎng)學生的模型思想。

三、模型思想下的探究和發(fā)現(xiàn)

數(shù)學建模思想下的探究和發(fā)現(xiàn)可以融合分類與比較的思想，借助這兩者的相互結合，設計相應的教學活動，能幫助學生積累更多數(shù)學思想方法。分類與比較是確定事物異同，辨別事物相同點與不同點的基本思維過程和方法，是分析觀察等活動交織在一起的復雜性智力活動。圖形與幾何的教學中，通過比較與分類相結合能凸顯數(shù)學概念的共性與特性，幫助學生獲得新的感受與體驗，以及新的思維視角，從而拓展和提高對已有知識的認知度。如在“三角形的內角和”教學中，可設計這樣的教學活動：

師：請第一組同學任意畫一個銳角三角形，第二組同學任意畫一個鈍角三角形，第三組同學任意畫一個直角三角形，第四組同學任意畫一個三角形，用量角器量一下所畫三角形的三個角的度數(shù)，并進行記錄，具體內容如下：

角1 角2 角3 三個內角和A 同學 51。 80。 50。 181。B 同學 58。 104。 22。 184。C 同學 90。 45。 45。 180。D 同學 39。 79。 61。 179。

師：你們發(fā)現(xiàn)任意三角形三個內角和有什么特點？

生：都接近180 度。

師：你們有什么好辦法驗證，四人小組里交流。

生1：可以通過拼接的方法驗證三角形的內角和。

師：以上的驗證存在誤差，并不嚴格，誰有更好的驗證方法？

生2：可以將任意三角形分割成兩個直角三角形，這時我們可以發(fā)現(xiàn)三角形三個內角的和就是：90°+90°=180°。

師：真聰明！我們用幾何畫板更直觀地來演示，任意拖動這個三角形的三個頂點你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：通過幾何畫板能清楚地發(fā)現(xiàn)三角形內角和是180°。

這樣的學習活動，將單個三角形實驗研究拓展到所有三角形的研究中，能將一般與特殊相互結合起來設計教學活動，讓學生對三角形以及其他圖形規(guī)律有新的概括和認識。歸納出三角形內角和是180 度這一模型后，教師可以引導學生用同樣的思想方法繼續(xù)探索研究四邊形的內角和、五邊形的內角和，從而促使學生積累更多學習方法，并且適時地遷移運用拓展。

總之，教師要將模型思想有效滲透于圖形與幾何內容的教學中，基于深度學習，將情境與生活結合起來設計有效的教學活動，從教材提供的素材出發(fā)，引導學生從內容、方法和思想等多個層面進行思考，并結合分類與比較等多種數(shù)學思想方法進行探究和發(fā)現(xiàn)，才能幫助學生建立有效的數(shù)學模型，讓學生逐漸形成運用模型來解決問題的習慣和技能，為終身學習和可持續(xù)發(fā)展奠定基礎。