李鵬飛，向勝濤，孔德睿，楊子泉

1信陽學(xué)院 土木工程學(xué)院,河南 信陽 464031 2長沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院, 長沙 410114

0 引言

我國國土面積廣闊,約占全球陸地總面積7 %的國土上發(fā)生了占全球35 %的7級以上大地震[1],且近年來我國各地災(zāi)害頻發(fā),汶川、玉樹、綿竹、宜賓、鹽津等地均發(fā)生了數(shù)起不同震級的大小地震,對具有交通樞紐作用的各類橋梁在防震減災(zāi)問題提出了嚴(yán)峻的考驗(yàn)[2-5].鉛芯橡膠支座作為目前橋梁隔震設(shè)計(jì)中應(yīng)用最為廣泛的減隔震裝置,其通過在普通板式橡膠支座的中心或中心周圍區(qū)域增加一個(gè)或多個(gè)豎直鉛芯制成,具有加工制造難度低、經(jīng)濟(jì)成本低廉、性能可靠、承載力大以及便于安裝等優(yōu)點(diǎn)[6-7].然而,鉛芯橡膠支座由橡膠、鉛、鋼材等多種材料組成,存在著幾何尺寸(鉛芯直徑、支座有效面積、單層鋼板厚度、單層橡膠層厚度、鋼板層數(shù)、橡膠層數(shù)、第一形狀系數(shù)、第二形狀系數(shù))與材料力學(xué)本構(gòu)等多項(xiàng)參數(shù),為得到與設(shè)計(jì)預(yù)期性能一致的鉛芯橡膠支座，往往需反復(fù)進(jìn)行設(shè)計(jì)-試驗(yàn)-修正的工作,時(shí)間經(jīng)濟(jì)成本較高；鉛芯橡膠支座各參數(shù)與支座力學(xué)性能存在著典型的非線性關(guān)系,部分參數(shù)之間還存在著相互影響,目前主要針對單一參數(shù)對支座力學(xué)性能的影響進(jìn)行研究,少有對多個(gè)參數(shù)共同作用的影響研究,無法滿足實(shí)際支座設(shè)計(jì)制作中需考慮多參數(shù)的情況,當(dāng)多個(gè)參數(shù)變化時(shí),需重新進(jìn)行試驗(yàn)或建立有限元(FEM)分析,費(fèi)時(shí)費(fèi)力,且難以實(shí)現(xiàn)對某組給定參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化.這也對各個(gè)參數(shù)作用的明確增加了難度,對傳統(tǒng)鉛芯橡膠支座的設(shè)計(jì)制造、性能評估造成了不利影響.

為明確鉛芯橡膠支座各參數(shù)與其力學(xué)性能相關(guān)性,國內(nèi)外進(jìn)行了大量實(shí)驗(yàn)、理論研究.Kalpakidis對鉛芯橡膠隔震支座在大位移多次往復(fù)荷載下的水平剪切性能進(jìn)行了試驗(yàn)研究,結(jié)果表明，鉛芯耗散能量以及鉛芯溫度升高導(dǎo)致了鉛芯橡膠隔震支座強(qiáng)度退化[8-10]；Warn等[11]人通過試驗(yàn)研究了側(cè)移對于支座壓縮剛度的影響,并對比分析了重疊面積法、拉伸屈曲公式、雙彈簧模型及分段線性法的準(zhǔn)確性；Vemuru等[12]人針對動(dòng)力荷載作用下隔震支座水平與豎向間耦合效應(yīng)提出了相應(yīng)的支座模型,但僅依靠靜力試驗(yàn)并不能確定該模型中的參數(shù); 周福霖[13]和周錫元[14]等人系統(tǒng)研究了鉛芯橡膠支座的力學(xué)能,根據(jù)相關(guān)試驗(yàn)結(jié)果擬合了支座屈前剛度、屈后剛度和屈服剪力的計(jì)算公式,并對隔震支座的穩(wěn)定性與強(qiáng)度進(jìn)行了相關(guān)研究；李枝軍[6]等人通過試驗(yàn)研究了豎向荷載與加載速率對摩擦系數(shù)的影響,并通過建立精細(xì)化FEM模型模擬了支座上下表面的摩擦作用以及由于墩柱大變形產(chǎn)生的支座不均勻受壓甚至卡壓現(xiàn)象；江宜城等[15]人對方形鉛芯橡膠支座進(jìn)行了力學(xué)性能試驗(yàn),驗(yàn)證了相應(yīng)力學(xué)參數(shù)理論公式,為方形鉛芯橡膠支座的設(shè)計(jì)提供了參考；吳彬[7]等人通過水平動(dòng)態(tài)力學(xué)試驗(yàn),對不同構(gòu)造鉛芯橡膠支座力學(xué)性能與其結(jié)構(gòu)構(gòu)造及外加動(dòng)載之間的關(guān)系進(jìn)行了研究,提出了支座動(dòng)態(tài)力學(xué)性能與幾何構(gòu)造、組成材料的數(shù)學(xué)關(guān)系；劉彥輝[16]等人采用足尺模型,通過試驗(yàn)對鉛芯橡膠支座大變形往復(fù)荷載下力學(xué)性能退化問題進(jìn)行了研究,計(jì)算了往復(fù)變形圈數(shù)對屈服力的影響.

為克服傳統(tǒng)試驗(yàn)或有限元方法的不足,本文提出了基于ANN(人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))的鉛芯橡膠支座力學(xué)性能的快速評估方法與參數(shù)尋優(yōu)方法.首先,依托試驗(yàn)與有限元仿真結(jié)果,計(jì)算鉛芯、鋼材、橡膠組成的復(fù)合材料體系下支座力學(xué)性能指標(biāo)，并驗(yàn)證有限元方法的正確性與精度,編制程序批量計(jì)算不同參數(shù)下的有限元模型,提取相關(guān)參數(shù)與計(jì)算結(jié)果構(gòu)建數(shù)據(jù)集；其次,建立ANN相關(guān)性模型,利用試驗(yàn)與有限元仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練,并對網(wǎng)絡(luò)輸出進(jìn)行驗(yàn)證、測試,確保網(wǎng)絡(luò)輸出精度與泛化能力；然后,利用已訓(xùn)練完畢的ANN在給定特征參數(shù)下輸出支座力學(xué)特性指標(biāo)預(yù)測值,進(jìn)行支座力學(xué)特性的快速評估；最后,引入粒子群算法(PSO),結(jié)合ANN實(shí)現(xiàn)支座參數(shù)尋優(yōu).本文方法具有實(shí)時(shí)、快速的特點(diǎn),能在短時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)支座力學(xué)特性評估與支座參數(shù)尋優(yōu),可為相關(guān)設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)評估工作提供參考.

1 鉛芯橡膠支座力學(xué)性能分析

對于鉛芯橡膠支座,相關(guān)學(xué)者依據(jù)我國規(guī)范[17]采用軸心抗壓、剪切和容許轉(zhuǎn)角試驗(yàn)來測試其力學(xué)性能,進(jìn)行了大量試驗(yàn).考慮到本文需獲取多組不同特征參數(shù)下鉛芯橡膠支座力學(xué)特性,通過實(shí)際試驗(yàn)一一獲取則時(shí)間經(jīng)濟(jì)成本較高,而現(xiàn)有有限元方法在包含橡膠這一超彈性材料的大變形仿真中具有較高的精度,且在文獻(xiàn)[18-20]中均已得到驗(yàn)證,故通過有限元建立精細(xì)化模型對支座力學(xué)性能進(jìn)行計(jì)算,并通過試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證本模型精度,為后續(xù)工作生成不同特征參數(shù)組合.

1.1 精細(xì)化有限元模型建立

GZY 300×300鉛芯橡膠支座參數(shù)見圖1(a)與表1,根據(jù)相應(yīng)參數(shù),采用Abaqus建立精細(xì)化有限元模型(圖1(b)),共18 240個(gè)節(jié)點(diǎn),16 353個(gè)單元,其中,橡膠材料采用三維實(shí)體雜交單元C3D8H,以Mooney-Rivlin模型賦予材料屬性,鋼板及鉛芯采用三維實(shí)體單元C3D8,具體參數(shù)見表1.

(a) 幾何尺寸 (b) 有限元模型圖1 鉛芯橡膠支座Fig.1 Lead-core rubber bearing

表1 鉛芯橡膠支座幾何與材料參數(shù)Table 1 Geometry and material parameters of lead-core rubber bearing

為模擬實(shí)際試驗(yàn)中支座邊界,將下封鋼板底面節(jié)點(diǎn)所有平動(dòng)自由度與轉(zhuǎn)動(dòng)自由度進(jìn)行約束以實(shí)現(xiàn)下封板底面固結(jié),上封鋼板頂面采用MPC綁定約束耦合于一參考點(diǎn),通過對參考點(diǎn)施加荷載實(shí)現(xiàn)對鉛芯橡膠支座的加載.

1.2 仿真試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證

鉛芯橡膠支座主要力學(xué)特性指標(biāo)包括豎向、水平加載時(shí)的剛度及滯回曲線,現(xiàn)分別對上述已建立的模型參考點(diǎn)施加豎向、水平荷載以模擬實(shí)際加載過程.為便于比對模型精度,采用與文獻(xiàn)[15]相同加載方式,其中,對于豎向荷載,取軸壓應(yīng)力σd=12 MPa,采用(1±30 %)σd對應(yīng)的豎向荷載往復(fù)加載,取第3次往復(fù)加載結(jié)果,按下式計(jì)算豎向剛度kV：

kV=(p1-p2)/(δ1-δ2)

(1)

式中,p1,p2為軸壓應(yīng)力為1.3σ1與0.7σ2時(shí)對應(yīng)豎向荷載,N;δ1,δ2為軸壓應(yīng)力為1.3σ1與0.7σ2時(shí)對應(yīng)豎向位移,mm.

對于水平剛度,取軸壓應(yīng)力σd=12 MPa,分別進(jìn)行剪應(yīng)變?chǔ)?=50%,f=0.3 Hz；γ2=100%,f=0.2 Hz；γ3=200%,f=0.1Hz的正弦波水平動(dòng)力加載試驗(yàn).通過滯回曲線計(jì)算支座水平等效剛度kh、屈服后剛kd度屈服力Qd：

kh=(Q+-Q-)/(U+-U-)

(2)

(3)

(4)

式中,Q+,Q-為最大水平正負(fù)位移對應(yīng)的水平剪力,N;U+,U-為最大水平正負(fù)位移,mm;Qd1,Qd2為滯回曲線與剪力軸正方向與負(fù)方向的交點(diǎn).

由式(1)對比文獻(xiàn)[15]試驗(yàn)值及依據(jù)文獻(xiàn)[21]計(jì)算值見表2.

表2 鉛芯橡膠支座豎向剛度對比

在往復(fù)豎向荷載作用下計(jì)算所得支座豎向剛度與試驗(yàn)值、理論值較為接近,最大誤差僅為7 %,說明FEM模型豎向剛度較為符合實(shí)際,具有較高精度,可適用于后續(xù)計(jì)算.

由式(2)～(4),對比文獻(xiàn)[15]試驗(yàn)值及理論計(jì)算值見表3,不同剪應(yīng)變及頻率下支座滯回曲線如圖2所示.

圖2 3種剪應(yīng)變下支座滯回曲線Fig.2 Bearing hysteresis curve under three shear strains

表3 鉛芯橡膠支座水平剛度對比Table 3 Comparison of horizontal stiffness of lead-core rubber bearing

在保持豎向壓應(yīng)力下進(jìn)行動(dòng)力加載所得的支座水平等效剛度、屈后剛度與試驗(yàn)值、理論值較為接近,最大誤差僅9 %,說明FEM水平剛度較為符合實(shí)際,因此通過已驗(yàn)證正確性與精度的FEM模型,通過批量化修改參數(shù)分析,即可快速獲取不同特征參數(shù)組合下鉛芯橡膠支座的力學(xué)性能,從而生成ANN訓(xùn)練所需數(shù)據(jù)集.

2 支座力學(xué)特性數(shù)據(jù)集

基于已驗(yàn)證的FEM模型,通過有限元計(jì)算易知,針對每一組特定的自變量,均有一組特定的因變量與之對應(yīng),二者為一一映射關(guān)系,即存在：

(5)

以支座邊長、高度、橡膠層數(shù)、鋼板層數(shù)、單層橡膠厚度、單層鋼板厚度、上封鋼板厚度、下封鋼板厚度作為自變量,以kV,kh,kd,Qd為因變量,其中各自變量取值范圍見表4.

表4 自變量取值范圍與因變量Table 4 Value range of independent variable and dependent variable

采用Python編制Abaqus腳本實(shí)現(xiàn)批量參數(shù)化建模與批量分析,即可獲取不同特征組合下的鉛芯橡膠支座力學(xué)指標(biāo).采用數(shù)組容器形式將所有自變量、因變量按組儲(chǔ)存,以實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)集構(gòu)建,為接下來的ANN模型輸入數(shù)據(jù)提取做好準(zhǔn)備.

3 ANN非線性相關(guān)性模型

上述已建立的數(shù)據(jù)集中,自變量與因變量之間存在復(fù)雜非線性關(guān)系,難以通過簡單初等函數(shù)加以描述.考慮到ANN在非線性擬合方面巨大的優(yōu)勢,現(xiàn)通過建立ANN非線性相關(guān)性模型來對自變量與因變量之間的映射關(guān)系進(jìn)行描述.ANN一般由輸入層、隱含層、輸出層組成,每層之間通過賦有權(quán)重的神經(jīng)元進(jìn)行連接,其能夠以任意精度擬合任意復(fù)雜函數(shù).圖3(a)為典型ANN的結(jié)構(gòu),其中x表示網(wǎng)絡(luò)輸入數(shù)據(jù),y為網(wǎng)絡(luò)輸出數(shù)據(jù),其針對網(wǎng)絡(luò)讀入數(shù)據(jù)進(jìn)行線性變換后輸入非線性激活函數(shù),并計(jì)算輸出的誤差來調(diào)整各層權(quán)重與偏置,最終滿足誤差要求后即認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練完畢.基本ANN算法步驟如圖3(b),主要計(jì)算方法如下：

(6)

(a) ANN結(jié)構(gòu) (b) 算法流程圖3 ANN基本結(jié)構(gòu)與算法Fig.3 ANN basic structure and algorithm

式中,h為隱含層輸出;l為隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù);f為激活函數(shù);ω為權(quán)重;b為偏置;x為輸入;O為輸出;e為誤差.

具體計(jì)算方法與權(quán)值更新算法見文獻(xiàn)[22].

3.1 模型基本參數(shù)

3.2 相關(guān)性建模方法

3.2.1 Mini-Btach

損失函數(shù)計(jì)算所得為訓(xùn)練數(shù)據(jù)的平均損失函數(shù)值,通過對單個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)損失函數(shù)值的平均化獲得與訓(xùn)練樣本容量大小無關(guān)的統(tǒng)一指標(biāo),對于容量較大的訓(xùn)練數(shù)據(jù),如果網(wǎng)絡(luò)一次讀入所有數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練,則其損失函數(shù)計(jì)算量將異常龐大,Mini-Batch方法在每個(gè)迭代期不重復(fù)隨機(jī)抽樣訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的一部分輸入網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行計(jì)算,降低了ANN對計(jì)算機(jī)硬件資源的消耗.

3.2.2 Dropout

對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)模型,常使用Dropout方法抑制過擬合,其通過訓(xùn)練過程中隨機(jī)刪除隱含層神經(jīng)元控制神經(jīng)元信號的傳遞,由于每一個(gè)迭代期刪除的神經(jīng)元并不相同,使得Dropout方法以較低的計(jì)算成本將集成學(xué)習(xí)通過單一網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn),具有較好的訓(xùn)練效果.

3.2.3 Batch Normalization

Batch Normalization算法[22]于2015年提出,其以學(xué)習(xí)時(shí)的Mini-Batch為單位進(jìn)行Z-score標(biāo)準(zhǔn)化,再對已標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)進(jìn)行縮放和平移變換,并通過學(xué)習(xí)調(diào)整縮放系數(shù)與平移系數(shù).Batch Normalization通過強(qiáng)制性調(diào)整激活函數(shù)值分布使得各層激活值擁有適當(dāng)廣度,具有提高學(xué)習(xí)效率,增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)魯棒性,抑制過擬合的優(yōu)點(diǎn).對ANN網(wǎng)絡(luò)引入Batch Normalization算法,建立BN層并將其置于線性層與激活層之間,且對Mini-Batch數(shù)據(jù)進(jìn)行Z-score標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)對標(biāo)準(zhǔn)差增加一微小值(1e-9),以避免數(shù)據(jù)中方差為0的情況發(fā)生導(dǎo)致異常.

3.2.4 Early-Stopping

訓(xùn)練ANN最終目的在于獲取泛化能力較好的網(wǎng)絡(luò)參數(shù),而一味使網(wǎng)絡(luò)在訓(xùn)練數(shù)據(jù)上表現(xiàn)最優(yōu)則有可能出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象,因此對輸入數(shù)據(jù)劃分了驗(yàn)證數(shù)據(jù),每完成一個(gè)迭代期后計(jì)算驗(yàn)證數(shù)據(jù)在當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)中的損失函數(shù),當(dāng)其不斷增大或變化緩慢時(shí)停止訓(xùn)練,保存所有迭代期中表現(xiàn)最佳的網(wǎng)絡(luò),提高訓(xùn)練效率抑制過擬合.

3.2.5 數(shù)據(jù)預(yù)處理

采用Z-score標(biāo)準(zhǔn)化對網(wǎng)絡(luò)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理,對標(biāo)準(zhǔn)差增加一微小值(1e-9),以避免數(shù)據(jù)中方差為0的情況發(fā)生導(dǎo)致異常.再對輸入數(shù)據(jù)按70 %︰15 %︰15 %的比例劃分為訓(xùn)練數(shù)據(jù)、驗(yàn)證數(shù)據(jù)、測試數(shù)據(jù).

3.3 模型訓(xùn)練結(jié)果

以數(shù)據(jù)集中自變量為輸入數(shù)據(jù),因變量為目標(biāo)數(shù)據(jù),經(jīng)過多次反復(fù)訓(xùn)練,保存表現(xiàn)最佳的網(wǎng)絡(luò),其通過輸入數(shù)據(jù)計(jì)算得到的kV,kh,kd,Qd預(yù)測值與目標(biāo)值對比如圖4所示,采用決定系數(shù)R2作為評價(jià)指標(biāo),R2越趨近于1則預(yù)測值與目標(biāo)值誤差越小；采用線性回歸方法表征預(yù)測值y與目標(biāo)值T之間的相關(guān)性,即T=ay+b,a,b為回歸系數(shù),其中a越趨近于1，b越趨近于0，則相關(guān)性越強(qiáng).

(a) 預(yù)測值與目標(biāo)值

(b) 預(yù)測值與目標(biāo)值

(c) 預(yù)測值與目標(biāo)值

(d) 預(yù)測值與目標(biāo)值

由圖4可知,kV,kh,kd預(yù)測結(jié)果準(zhǔn)確,決定系數(shù)均超過0.969 3,而Qd目標(biāo)值處于[27,28]區(qū)間、預(yù)測值處于[25.5,30]區(qū)間波動(dòng)；由表5可知,kV,kh,kd回歸系數(shù)a均趨近于1且b均趨近于0,而Qd回歸系數(shù)則較差.

表5 預(yù)測值與目標(biāo)值線性回歸系數(shù)、決定系數(shù)Table 5 Linear regression coefficient and determination coefficient of predicted value and target value

通過回歸系數(shù)與決定系數(shù)可知,kV,kh,kd預(yù)測值與目標(biāo)值較為接近,二者誤差較小,而Qd預(yù)測值與目標(biāo)值在極小范圍內(nèi)波動(dòng)基本不隨輸入?yún)?shù)變化而變化,故對于本文中不改變鉛芯直徑參數(shù)的情況,可認(rèn)為Qd不變,這與相關(guān)研究中屈服力主要與鉛芯直徑相關(guān)的結(jié)論保持一致[19].

綜上所述,本文所構(gòu)建的ANN非線性相關(guān)性模型訓(xùn)練結(jié)果較好,泛化能力較強(qiáng),可利用該模型進(jìn)行后續(xù)工作.

4 支座力學(xué)性能快速評估方法

利用已建立的ANN非線性相關(guān)性模型,即可實(shí)現(xiàn)支座力學(xué)性能快速評估.提取支座邊長、高度、橡膠層數(shù)、鋼板層數(shù)、單層橡膠厚度、單層鋼板厚度、上封鋼板厚度、下封鋼板厚度等參數(shù)輸入已建立的網(wǎng)絡(luò)模型,即可快速輸出kV,kh,kd預(yù)測結(jié)果.現(xiàn)對不同邊長支座隨機(jī)生成合理范圍內(nèi)的各參數(shù)輸入ANN模型,其輸出值與同參數(shù)下有限元分析得到的實(shí)際值對比見表6.

表6 支座力學(xué)特性快速評估結(jié)果與實(shí)測值對比Table 6 The results of rapid evaluation of bearing mechanical properties were compared with the measured values

由表6可知,采用ANN模型對支座力學(xué)特性的預(yù)測結(jié)果較為精確,與有限元計(jì)算結(jié)果偏差甚微,具有較好的泛化能力,且對于已訓(xùn)練完畢的ANN模型其預(yù)測速度快,輸入?yún)?shù)——輸出預(yù)測結(jié)果全過程僅需數(shù)秒,相較于有限元分析所需大量的建立模型與計(jì)算分析時(shí)間,其在快速評估支座力學(xué)特性方面具有強(qiáng)大優(yōu)勢,在支座設(shè)計(jì)選型、特性評估方面具有良好應(yīng)用前景.

上述基于ANN的支座力學(xué)特性快速評估方法中,本文僅以等邊長、同材料支座為例說明本文提出的快速評估方法的正確性與適用性,實(shí)際工作中可事先進(jìn)行不同形狀、不同材料支座的相關(guān)試驗(yàn),豐富數(shù)據(jù)庫后建立ANN模型加以訓(xùn)練與使用,即可對包含更廣參數(shù)維度的支座力學(xué)性能進(jìn)行快速評估.

5 支座參數(shù)尋優(yōu)方法

在支座力學(xué)特性快速評估方法中,采用ANN模型實(shí)現(xiàn)了多對多預(yù)測,即根據(jù)9個(gè)維度的輸入數(shù)據(jù)得到了4個(gè)維度的預(yù)測數(shù)據(jù),而實(shí)際生產(chǎn)中,往往是根據(jù)結(jié)構(gòu)恒載、活載確定支座性能指標(biāo),再調(diào)整幾何參數(shù)以確保支座承載力與剛度,即先明確力學(xué)特性,再尋找最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù).對于上述支座,其輸入數(shù)據(jù)維度較小,可以通過編制程序遍歷所有不同的輸入數(shù)據(jù)組合,從而得到滿足需求的支座參數(shù)組合,但實(shí)際中往往需考慮材料、形狀、溫度乃至濕度等多個(gè)因素,輸入數(shù)據(jù)維度大幅提升,若仍遍歷所有組合則對計(jì)算機(jī)硬件資源要求較高,計(jì)算代價(jià)過大.為此,根據(jù)上述問題的特點(diǎn),考慮引入目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域常用的粒子群算法(PSO),通過PSO-ANN方法實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化下的參數(shù)尋優(yōu).

5.1 標(biāo)準(zhǔn)PSO算法與自適應(yīng)變異

標(biāo)準(zhǔn)PSO算法源于鳥群捕食行為的社會(huì)模型簡化,在解空間中追隨最優(yōu)粒子進(jìn)行搜索,通過位置、速度、適應(yīng)度值表征粒子特征,粒子每更新一次位置則計(jì)算一次個(gè)體極值與群體極值并更新位置,同時(shí),為避免粒子盲目搜索以及實(shí)際應(yīng)用中粒子所代表的參數(shù)往往存在一定范圍,一般對粒子位置與速度均設(shè)置約束區(qū)間.設(shè)粒子群規(guī)模為N,第j次迭代時(shí)第i個(gè)粒子位置為xij,個(gè)體極值為pij,其速度為Vij,群體極值為pgj,在標(biāo)準(zhǔn)PSO算法主要流程見圖5,按以下規(guī)則更新粒子速度與位置[24]：

圖5 PSO算法流程Fig.5 PSO algorithm flow

(7)

式中,c1,c2分別為個(gè)體學(xué)習(xí)因子與群體學(xué)習(xí)因子;r1,r2為區(qū)間[0,1]上的隨機(jī)數(shù)；w為慣性權(quán)重.

標(biāo)準(zhǔn)PSO算法收斂速度快,適用性強(qiáng),算法相對簡單,需人工調(diào)整的超參數(shù)較少,適用于實(shí)值型數(shù)據(jù)的處理.但其仍存在收斂精度低、早熟收斂、后期迭代效率低等問題.為提高支座參數(shù)尋優(yōu)效率,借鑒遺傳算法中的變異思想,在標(biāo)準(zhǔn)PSO算法中引入變異操作,在粒子更新后以一定概率重新初始化粒子,對其在賦值空間內(nèi)隨機(jī)賦值.

5.2 適應(yīng)度函數(shù)

對于粒子的每一次迭代,其當(dāng)前值的“好壞”通過適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行評價(jià),標(biāo)準(zhǔn)PSO算法主要針對單目標(biāo)優(yōu)化問題,其適應(yīng)度函數(shù)值為一標(biāo)量,粒子全局極值更新時(shí)只需取適應(yīng)度函數(shù)最值即可.考慮到本文需進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化,則需引入能評價(jià)兩個(gè)多維向量相近程度的函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù).借鑒傳統(tǒng)ANN模型中隨機(jī)梯度下降方法思維,采用MSE函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù),則當(dāng)目標(biāo)值T=[t1,t2,……tn],粒子群X=[x1,x2,……xm]時(shí),其適應(yīng)度函數(shù)f(X)為：

(8)

式中,Y=ANN(X)表示將X輸入ANN計(jì)算得到預(yù)測值Y.

利用上述已建立的ANN相關(guān)性模型,將粒子向量作為輸入數(shù)據(jù),即可得到當(dāng)前粒子下的ANN預(yù)測結(jié)果.

5.3 參數(shù)尋優(yōu)

現(xiàn)假定需制造一批鉛芯橡膠支座共10種型號,其性能與幾何需滿足表7所示條件,在PSO中依據(jù)表7指定橡膠層厚度與鋼板層厚度等幾何參數(shù)約束條件,以力學(xué)性能指標(biāo)kV,kh,kd,Qd為適應(yīng)度函數(shù)中的目標(biāo)值T,設(shè)置種群粒子數(shù)為40,迭代次數(shù)為500,各個(gè)粒子維度數(shù)為9,速度更新參數(shù)c1，c2均為1.494 45,速度區(qū)間為[-1,1],個(gè)體區(qū)間根據(jù)粒子各個(gè)維度尺度不同分別設(shè)置.

表7 性能指標(biāo)與幾何約束條件Table 7 Performance indicators and geometric constraints

經(jīng)迭代后PSO-ANN生成的鉛芯橡膠支座最優(yōu)參數(shù)與力學(xué)特性指標(biāo)尋優(yōu)值見表8,其與力學(xué)特性指標(biāo)目標(biāo)值誤差百分比見圖6.

結(jié)合表8、圖6可知,通過PSO-ANN計(jì)算所得最優(yōu)參數(shù)滿足表7中對邊長、橡膠層厚度、鋼板厚度的約束條件,其余未進(jìn)行約束的參數(shù)如支座高度、橡膠層數(shù)、鋼板層數(shù)等均在合理范圍內(nèi)；尋優(yōu)所得最優(yōu)參數(shù)通過ANN計(jì)算所得的4項(xiàng)力學(xué)特性指標(biāo)與目標(biāo)值較為接近,最大正誤差為10#支座,約13.8 %,最大負(fù)誤差為5#支座,約9.1 %,其余性能指標(biāo)均誤差較小；四項(xiàng)力學(xué)特性指標(biāo)kV,kh,kd,Qd中誤差較小的為Qd,誤差最大的為kd,kV除8#,10#支座誤差略微偏大以外,其余誤差均較為理想,kh誤差則隨支座類型不同均有一定波動(dòng).綜上,采用PSO-ANN方法實(shí)現(xiàn)支座參數(shù)尋優(yōu)是可行的.

表8 最優(yōu)參數(shù)與最優(yōu)參數(shù)下性能指標(biāo)Table 8 Optimal parameters and performance indicators under optimal parameters

圖6 性能指標(biāo)尋優(yōu)值與目標(biāo)值誤差Fig.6 Error between optimal value and target value of performance index

6 結(jié)論

本文針對當(dāng)前鉛芯橡膠支座評估、設(shè)計(jì)需求,考慮了多維度參數(shù)共同作用,提出了基于ANN的快速評估方法與參數(shù)尋優(yōu)方法,主要研究結(jié)論如下：

(1) 針對鉛芯橡膠支座主要力學(xué)特性指標(biāo)kv,kh,kd,Qd,有限元方法模擬結(jié)果與試驗(yàn)基本一致,且有限元法中輸入的支座特征參數(shù)與輸出結(jié)果之間存在非線性關(guān)系,故可采用有限元方法快速生成不同參數(shù)組合下的數(shù)據(jù)集,以便于ANN非線性相關(guān)性模型進(jìn)行訓(xùn)練.

(2) ANN模型能較好的擬合支座特征參數(shù)與支座力學(xué)特性之間的非線性關(guān)系,對于力學(xué)特性指標(biāo)kv,kh,kd的目標(biāo)值與預(yù)測值,其決定系數(shù)分別為0.998 4,0.978 2,0.969 3,而Qd由于其自身基本不隨前述9類參數(shù)影響,故ANN擬合結(jié)果較差,但其不影響ANN模型用于支座力學(xué)特性快速評估與參數(shù)尋優(yōu)的效果.

(3) 采用ANN模型能較好實(shí)現(xiàn)支座力學(xué)特性快速評估,預(yù)測值與目標(biāo)值基本一致,具有計(jì)算精度高與耗時(shí)少的特點(diǎn),同時(shí)如若能豐富數(shù)據(jù)集,采集更多維度的樣本,則ANN模型的泛化能力與預(yù)測精度將進(jìn)一步提高,在支座設(shè)計(jì)、力學(xué)性能評估領(lǐng)域發(fā)展前景廣闊.

(4) 基于PSO-ANN的參數(shù)尋優(yōu)方法可以根據(jù)力學(xué)特性指標(biāo)與支座特征參數(shù)約束快速生成最優(yōu)參數(shù)組合,極大程度降低了試驗(yàn)試錯(cuò)成本與事先計(jì)算成本,可為相關(guān)設(shè)計(jì)工作提供參考.