曹 靜
(江蘇省南通市第二中學高中校區(qū) 226000)
在求解立體幾何題目時常構(gòu)造法向量,可以將虛擬的空間距離通過坐標系進行具體化處理,實現(xiàn)解題過程由抽象向具體轉(zhuǎn)化,實現(xiàn)解題過程的簡單化,從而提升學生解立體幾何題目的效率,保證解題結(jié)果的準確性.
例1如圖1所示,a,b為異面曲線,E,F(xiàn)為異面曲線上的任意兩點,n為a,b公垂線的方向向量,已知四邊形ABCD是正方形,PD與面ABCD垂直,PD=AB=1,E,F(xiàn)分別是PB,PD中點,求直線AE與CF之間的距離.
可見利用法向量求解距離問題時,可以簡化解題過程,從而使得距離求解的結(jié)果更加準確,因此,教師們需要落實法向量在立體幾何方面的教學.
在求解某些異面直線的距離問題時,我們可以利用體積的不變性,從不同角度先將體積用不同的方式進行表達,從而建立方程進行求解.建立VA-A′C′D和VC-AA′D的體積的等量關(guān)系,再對等式進行化簡,解出對應的異面直線的距離.
例2 如圖3所示,若正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1,求直線DA′與AC的距離.
解析因為直線AC∥平面A′C′D,且DA′?平面A′CD,所以直線AC與平面A′C′D之間的距離即為DA′與AC的距離.
設(shè)點A′到平面A′C′D的距離為d,連接A′C,DC,
由VA-A′C′D=VC-AA′D,
函數(shù)思想在立體幾何中的應用即利用函數(shù)構(gòu)建模式可以將立體幾何問題進行簡化處理.通過對題目的簡化,能夠使得同學們更容易且更好地理解題目的意思,從而幫助同學們更好地解題,把握題目考查的真實意思,從而節(jié)省思考的時間,提升同學們在該方面的解題質(zhì)量.
例3如圖4所示,AB為圓O直徑,PA垂直于圓所在的平面,C為圓周上任意一點,設(shè)∠BAC=θ,PA=AB=2r,求PB與AC之間的距離.
分析通過讀題可知,例3是求空間中的異面距離,也就是空間立體幾何的問題,無法通過構(gòu)建空間直角坐標系的方式進行解題,從而沒有辦法采用法向量進行求解.因此,與例3相似的這一類題型就需要通過函數(shù)思想的應用進行有效解題.由圖可以發(fā)現(xiàn)PB與AC之間的距離可以看作是直線PB上的點與直線AC之間的距離,因此可以通過構(gòu)建函數(shù)的形式進行求解.
解析在PB上任取一點M,使得MD⊥AC,并相交于點D,得出MH⊥AB于點H,進而垂直于面ABC.
因此,可以得出函數(shù)關(guān)系式:
MD2=x2+[(2r-x)sinθ]2.
對函數(shù)進行化簡,可得出最終結(jié)果.
通過例3的求解,可見異面求距離的問題可以看作是函數(shù)中求最大值和最小值的問題,所以,對于這一類題目可以將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)進行解答,從而幫助同學們在解題的過程中簡化整體的解題步驟.
綜上所述,在高中數(shù)學有關(guān)立體幾何問題的解答中,往往有兩種較為常見的解析方式,即利用法向量與構(gòu)建函數(shù).一般來說,法向量較為常見,但是在一些題目中,法向量的應用會使得解題過程變得更為復雜,所以,函數(shù)的應用就能夠解決法向量的問題.所以,教師在教學時應向同學們落實兩種解題方法的應用,促使同學們能夠在考試時選擇最為合適的解題方法.