符浩 曹凱源 鐘鳴 童培慶2)?

1)(南京師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,南京 210023)

2)(南京師范大學(xué),江蘇省大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)數(shù)值模擬重點實驗室,南京 210023)

研究了兩次淬火下橫場中XY 鏈的動力學(xué)量子相變.兩次淬火是指系統(tǒng)的Hamilton 量先由H0 淬火到H1,演化一段時間T 后再由H1 淬火到H2.由于橫場中XY 鏈存在兩種不同的量子相變(Ising 相變和各向異性相變),因此主要討論淬火路徑對橫場中XY 鏈的動力學(xué)量子相變的影響,發(fā)現(xiàn)第2 次淬火后系統(tǒng)發(fā)生動力學(xué)量子相變的臨界時間存在三種典型的情形.情形I 對應(yīng)于臨界時間在一定的T 范圍內(nèi)出現(xiàn),它與由H0 淬火到H1的臨界時間相聯(lián)系.情形II 對應(yīng)于臨界時間在任意T 時總是出現(xiàn),它與由H0 直接淬火到H2的臨界時間相聯(lián)系.情形III 對應(yīng)于臨界時間也在任意T 時總是出現(xiàn),它同時與由H0 淬火到H1 以及由H0 直接淬火到H2的臨界時間相聯(lián)系.還發(fā)現(xiàn)兩次淬火都經(jīng)過同一類相變點時,第2 次淬火后只會出現(xiàn)情形I 對應(yīng)的臨界時間.而兩次淬火經(jīng)過不同類相變點時,第2 次淬火后的臨界時間會出現(xiàn)上述三種情形中的任意兩種,它與淬火路徑有關(guān).

1 引 言

近年來,隨著理論方法和計算機技術(shù)的提高以及實驗技術(shù)的發(fā)展,孤立量子系統(tǒng)的動力學(xué)行為得到了廣泛研究,取得了迅速的進展[1–7].在眾多的動力學(xué)行為中,動力學(xué)量子相變是最近非?；钴S的研究課題之一[8–55].動力學(xué)量子相變最早是Heyl等[8]在研究淬火下量子Ising 鏈的動力學(xué)行為時發(fā)現(xiàn)的.它描述了Loschmidt 振幅隨時間演化的奇異性,借助于Loschmidt 振幅與統(tǒng)計物理中的配分函數(shù)的相似性,研究發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)奇異性的時間對應(yīng)于復(fù)時間平面中的Fisher 零點與虛軸的交點[8–11].隨后,人們在許多不同的量子系統(tǒng)中都發(fā)現(xiàn)了動力學(xué)量子相變,這些系統(tǒng)包括XY鏈[9,16]、Kitaev 蜂窩模型[17]、XXZ鏈[18]、ANNNI 鏈[19,20]、非均勻電子系統(tǒng)[21,22]、非均勻自旋系統(tǒng)[11]、長程相互作用系統(tǒng)[23]、量子Potts 鏈[24]、非厄米格點系統(tǒng)[25,26]、Bose-Einstein 凝聚體[27]、cross-stitch 平帶網(wǎng)絡(luò)[28]和有限溫系統(tǒng)[29]等.除了在研究淬火下的動力學(xué)行為以外,人們也研究了線性退火[10]與周期Floquet[32]系統(tǒng)的動力學(xué)行為.此外,在實驗方面,例如捕獲離子模擬[33]、動力學(xué)渦旋觀測[34]、量子模擬器觀測[35,36]、核磁共振模擬[37]、單光子量子行走[38]和自旋量子凝聚[39]等,也觀察到了動力學(xué)量子相變.

最近,Kennes 等[40]研究了兩次淬火下橫場中量子Ising 鏈和ANNNI 鏈的動力學(xué)量子相變.他們發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在兩次淬火均經(jīng)過Ising 相變點(即從順磁相淬火到鐵磁相,然后再淬火到順磁相)的情形時,系統(tǒng)第2 次淬火后的動力學(xué)量子相變現(xiàn)象的出現(xiàn)與否取決于兩次淬火之間的時間間隔,從而可以通過調(diào)節(jié)兩次淬火之間的時間間隔來調(diào)控動力學(xué)量子相變.這提供了一種調(diào)控系統(tǒng)的動力學(xué)行為的新思路.由于橫場中量子Ising 鏈的特殊性,他們只討論了兩次淬火均經(jīng)過Ising 相變點的淬火路徑.眾所周知,橫場中的量子Ising 鏈是橫場中XY鏈的一種特殊情形,而XY鏈的相圖要比量子Ising 鏈的相圖豐富得多,不僅存在從鐵磁相到順磁相的Ising 相變,還存在從x方向的鐵磁相到y(tǒng)方向的鐵磁相的各向異性相變.另一方面,一次淬火下橫場中XY鏈的動力學(xué)量子相變與淬火的路徑有關(guān),如當(dāng)淬火經(jīng)過各向異性相變時,它會出現(xiàn)兩個特征臨界時間.因此,本文主要研究兩次淬火的路徑以及淬火間時間間隔對橫場中XY鏈的動力學(xué)量子相變的影響.

本文第2 節(jié)給出了橫場中XY鏈經(jīng)過兩次淬火的計算方法.第3 節(jié)中就不同的淬火路徑分別進行了討論,給出了不同淬火路徑和時間間隔對XY鏈在兩次淬火下的動力學(xué)量子相變的影響.最后總結(jié)了第2 次淬火后的臨界時間與淬火路徑的依賴關(guān)系.

2 模型和計算方法

本文研究的淬火過程如下:假設(shè)系統(tǒng)在t<0時處在H0的基態(tài)|ψ0〉上.在t=0時,系統(tǒng)經(jīng)過第1次淬火后,Hamilton量由H0變到H1,然后在H1下演化一段時間T.在t=T時,系統(tǒng)經(jīng)過第2次淬火,Hamilton量由H1變到H2后,隨時間的演化.這里的T為兩次淬火之間的時間間隔.系統(tǒng)含時Hamilton 量為

本文研究的系統(tǒng)是一般的橫場中XY鏈,其Hamilton 量可寫成

其中,l=0,1,2 分別對應(yīng)于(1)式中的3個Hamilton量,它們的形式是一樣的,差別是具有不同的各向異性參數(shù)γl(l=0,1,2)和外場hl(l=0,1,2) .這里是第n個格點上的Pauli 矩陣.特別地,當(dāng)γl=±1 時,系統(tǒng)對應(yīng)于橫場中Ising 鏈.通過Jordan-Wigner 變換、Fourier 變換和Bogoliubov 變換[56],可以解析地得到

上面的結(jié)果同樣可以從對Fisher 零點的討論中得到.借助于Loschmidt 振幅與統(tǒng)計物理中的配分函數(shù)之間的相似性,令(4)式中 it=z,然后研究Loschmidt 振幅G(z) 在復(fù)z平面上的零點(也被稱為Fisher 零點).在熱力學(xué)極限下,如果Fisher零點與虛軸 R e(z)=0 相交,則其交點對應(yīng)于發(fā)生動力學(xué)量子相變的時間.Fisher 零點對應(yīng)Loschmidt振幅為0的點,即gk(z)=0,由(6)式和文獻[8]可知Fisher 零點如下:

這里(9a)式對應(yīng)于第1 次淬火(H0→H1)時的Fisher 零點,而(9b)式對應(yīng)于第2 次淬火后的Fisher 零點.公式中的n是整數(shù),每個n給出了一支Fisher 零點.給定n之后,對于每1 個k有1 個zk與之對應(yīng),所以這里給出了一系列Fisher 零點.當(dāng)存在某個k=k?(k?為臨界動量)使得|Bk?/Ak?|=1,則zk?就在虛軸上,它對應(yīng)于兩次淬火后的臨界時間如下:

其中t?=π/(2ε2,k?) 被稱為特征臨界時間.如果系統(tǒng)中存在兩個以上k?滿足|Bk?/Ak?|=1,那么會出現(xiàn)多個特征臨界時間.這些臨界時間隨t周期性出現(xiàn),并且系統(tǒng)中存在幾個特征臨界時間就有幾個不同的周期重合在一起.從(10)式可以看出它與一次淬火時不一樣[8,9],會多出1 個因子.

另一個描述動力學(xué)量子相變的物理量是率函數(shù)λ(t) .它的定義為

在臨界時間,率函數(shù)是奇異的.

3 結(jié)果和討論

圖1 給出了橫場中XY鏈在h≥0時的相圖.圖中的實線h=1,?1≤γ≤1上的點是Ising相變點,而0≤h≤1,γ=0 上的點是各向異性相變點.這兩條臨界線把參數(shù)空間分成3 個區(qū)域,其中PM 表示順磁相,FMx表示x方向的鐵磁相,FMy表示y方向的鐵磁相.我們所討論的系統(tǒng)的淬火主要是通過改變外場和各向異性參數(shù)來實現(xiàn).

圖1 橫場中XY 鏈的相圖,其中的點 A ,B,···,F 表示典型的參數(shù)值所對應(yīng)的位置Fig.1.Phase diagram of the X Y chain in a transverse field.The points A ,B,···,F in the phase diagram correspond to the typical parameter values.

為了方便起見,我們用A,B,···,F標記相圖中典型的參數(shù)值(γ,h) 所對應(yīng)的位置.用符號A →B →C表示系統(tǒng)從A淬火到B后,再淬火到C的過程,即點A,B和C的參數(shù)值分別對應(yīng)于(1)式中的H0,H1和H2中的外場和各向異性參數(shù),其他的情形是類似的.在下面的討論中,將研究兩類典型的情形.一類是經(jīng)過同一類量子相變點的兩次淬火,其中包括經(jīng)過Ising 相變點(如A →B →C)和經(jīng)過各向異性相變點(如C→D →E)的情形.另一類是經(jīng)過不同類量子相變點的兩次淬火,其中包括先經(jīng)過Ising 相變點再經(jīng)過各向異性相變點(如B→C →D)、先經(jīng)過各向異性相變點再經(jīng)過Ising 相變點(如D→C →B) 以及先經(jīng)過Ising相變點后同時經(jīng)過Ising 和各向異性相變點(如C →B →D)的情形.下面具體討論這五種典型的情形.

3.1 兩次淬火經(jīng)過同一類相變點

3.1.1 均經(jīng)過Ising 相變點的兩次淬火

首先討論均經(jīng)過Ising 相變點(A→B →C)的兩次淬火情形.T-t平面內(nèi)的臨界時間在圖2(a)中給出.圖中的實線描述了臨界時間與時間間隔T的關(guān)系.在圖中的兩條虛線分別對應(yīng)于T=0.5,1.0.相應(yīng)的Fisher 零點分別在圖2(b1)和圖2(b2)中給出.而相應(yīng)的率函數(shù)隨時間t的變化在圖2(c)中給出.

圖2 (a)淬火路徑A→B→C對應(yīng)的臨界時間圖,圖中兩條虛線對應(yīng)的時刻分別為T=0.5和1.0;(b1)T=0.5和(b2)T=1.0且t>T 時的Fisher 零點分布;(c)兩次淬火過程中的率函數(shù),黑色和紅色實線分別對應(yīng) T =0.5 和 1 .0 ;(d) |Bk/Ak|與k的關(guān)系,黑色和紅色實線分別對應(yīng) T =0.5 和1.0Fig.2.(a) Location of the critical times in the t -T plane for the path A →B →C .The dotted lines mark the times for T=0.5 and 1 .0 ,respectively.(b) The Fisher zeros for t >T with(b1) T =0.5 and(b2) T =1.0,respectively.(c) The rate functions corresponding to T =0.5 and 1 .0 ,respectively.(d) The relationship between | Bk/Ak| and k for T =0.5 and 1 .0,respectively.

從圖2(a)可以看出,當(dāng)TT2時,由于此時的時間間隔大于了第1 次淬火后的特征臨界時間,故第2 次淬火前會出現(xiàn)動力學(xué)量子相變.在T2T4后,系統(tǒng)第2 次淬火前會出現(xiàn)動力學(xué)量子相變,但是第2 次淬火后的動力學(xué)量子相變將會循環(huán)出現(xiàn)前面的情形.

下面分析系統(tǒng)在第2 次淬火后出現(xiàn)動力學(xué)量子相變的原因.根據(jù)前面的討論,圖2(d)給出了|Bk/Ak|與k的關(guān)系,圖中的黑色和紅色實線分別對應(yīng)于T=0.5 和T=1.0 .從圖2(d)可以看出:當(dāng)T=0.5 時,對于任意k均滿足|Bk/Ak|<1,因此系統(tǒng)不存在動力學(xué)量子相變.而當(dāng)T=1.0 時,出現(xiàn)兩個k?使得|Bk?/Ak?|=1,它們分別對應(yīng)于圖2(b2)中Fisher 零點與虛軸的兩個交點(每個n).此時系統(tǒng)存在動力學(xué)量子相變.

這說明當(dāng)淬火路徑為A→B →C時,第2 次淬火后的動力學(xué)量子相變的出現(xiàn)與否取決于兩次淬火之間的時間間隔T.這與橫場中量子Ising 鏈[40]的情形是類似的.

3.1.2 均經(jīng)過各向異性相變點的兩次淬火

其次討論均經(jīng)過各向異性相變點(C →D →E)的兩次淬火情形.圖3(a)給出了T-t平面內(nèi)的臨界時間.同樣地,可以看出當(dāng)T比較小時,第1 次淬火后不出現(xiàn)動力學(xué)量子相變,第2 次淬火后只有在一定T的范圍內(nèi)會出現(xiàn)動力學(xué)量子相變.當(dāng)T大于第1 次淬火后的較小的特征臨界時間T5時,第2 次淬火前只有1 個臨界時間,而當(dāng)T大于第1 次淬火后的較大的特征臨界時間T6時,第2 次淬火前有兩個臨界時間.在這個過程中,第2 次淬火后始終有動力學(xué)量子相變.隨著T的繼續(xù)增大,第2 次淬火之后的動力學(xué)量子相變會消失,然后循環(huán)出現(xiàn)前面的情形.作為1 個例子,給出了T=1.25(對應(yīng)于圖3(a)中的虛線)時由(9b)式給出的Fisher 零點(如圖3(b))和率函數(shù)(如圖3(c)).從圖3(c)可看出,當(dāng)t<2.5 時率函數(shù)有3 個奇異點,分別對應(yīng)于圖3(a)中的①到③.其中點②和③的臨界時間對應(yīng)于圖3(b)中n=1的Fisher 零點與虛軸的交點.而點①的臨界時間是對應(yīng)于(9a)式所示的Fisher 零點與虛軸的交點(沒有給出).

在一次淬火中,經(jīng)過各向異性相變點與經(jīng)過Ising 相變點不同,它會出現(xiàn)兩個特征臨界時間.每個特征臨界時間所對應(yīng)的兩次淬火后的一支臨界時間線與前面討論的臨界時間線相類似.為了進一步理解第1 次淬火后出現(xiàn)的臨界時間與第2 次淬火后出現(xiàn)的臨界時間之間的聯(lián)系,圖3(d)給出了(9a)式中 t an2(θ0,k ?θ1,k)/2 以及在T=T5,T6時(9b)式中|Bk/Ak|隨動量k的變化.當(dāng)tan2(θ0,k ?θ1,k)/2=1(即圖中的黑色實線與點線的交點)時對應(yīng)的橫坐標k1和k2為兩個特征動量,它們對應(yīng)了一次淬火后經(jīng)過各向異性相變點時的兩個特征時間.我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)T=T5≈1.1574 時|Bk/Ak|=1(即圖中的紅色實線與虛線的交點處)時對應(yīng)的動量與k1重合,這表明圖中左起第1 條的藍色臨界時間線是跟第1 次淬火后的第1 條臨界時間線相聯(lián)系.而當(dāng)T=T6≈1.3879 時|Bk/Ak|=1(即圖中的藍色實線與虛線的交點)對應(yīng)的動量與k2重合,這表明圖中左起第2 條的藍色臨界時間線是跟第1 次淬火后的第2 條臨界時間線相聯(lián)系.

圖3 (a)淬火路徑 C →D →E 對應(yīng)的臨界時間圖,圖中虛線對應(yīng)的時刻為 T =1.25 ;(b) T =1.25 且 t >T 時的Fisher 零點分布;(c) T =1.25 時兩次淬火過程的率函數(shù);(d)黑色實線是 t an2(θ0,k -θ1,k)/2 與k的關(guān)系,圖中紅色和藍色實線為|Bk/Ak|與k的關(guān)系,對應(yīng)的時間間隔分別為 T =T5 ≈1.1574 和T=T6 ≈1.3879Fig.3.(a) Location of the critical times in the t -T plane for the path C →D →E .The dotted line marks the time for T =1.25 .(b) The Fisher zeros for t >T with T =1.25 .(c) The rate function corresponding to T =1.25 .(d) The black line corresponding to the relationship between t an2(θ0,k -θ1,k)/2 and k.The red and blue lines corresponding to the relationships between|Bk/Ak| and k for T =T5 ≈1.1574 and T =T6 ≈1.3879,respectively.

3.2 兩次淬火經(jīng)過不同類相變點

3.2.1 先經(jīng)過Ising 相變點再經(jīng)過各向異性相變點的兩次淬火

下面討論先經(jīng)過Ising 相變點再經(jīng)過各向異性相變點(B→C →D)的兩次淬火情形.圖4(a)中給出了T-t平面內(nèi)的臨界時間.與前面不同的是,可以看出在第2 次淬火后系統(tǒng)中會出現(xiàn)兩種類型的臨界時間線.一種臨界時間線與前面討論的一樣(圖中的藍色曲線),它的出現(xiàn)與否和時間間隔T有關(guān).另一種臨界時間線與前面討論的不一樣(圖中的紅色曲線),它在任意T下總是出現(xiàn).作為1 個例子,給出了T=1.5(對應(yīng)于圖4(a)中的虛線)時由(9b)式給出的Fisher 零點(圖4(b))和率函數(shù)(圖4(c)).類似地,當(dāng)t較小時的率函數(shù)有3 個奇異點①到③,其臨界時間與圖4(a)和圖4(b)中的①到③相對應(yīng).

同樣地,圖4(d)給出了T=T7≈1.5210 時的與k的關(guān)系(紅色實線).從圖4(d)可以看出,與圖2(d)不一樣的是,當(dāng)k→0 時,而當(dāng)k→π 時.根據(jù)連續(xù)性原理,一定存在一個k?使得=1(如圖4(d)中的k5),因此系統(tǒng)會產(chǎn)生動力學(xué)量子相變.這就是圖4(a)中的紅色臨界時間線出現(xiàn)的原因.而且,當(dāng)T=0 時系統(tǒng)相當(dāng)于直接由B點一次淬火到D點,此時系統(tǒng)存在動力學(xué)量子相變,臨界時間就是圖4(a) 中的紅色實線與T=0的交點.所以紅色臨界時間線與直接從B→D淬火的臨界時間相聯(lián)系.另外,從圖4(d)中的紅色實線可以看出還存在兩個臨界動量k3和k4,與3.1.1 節(jié)類似,它們對應(yīng)于藍色的臨界時間線.為了進一步分析這條臨界時間線與第2 次淬火前的臨界時間的關(guān)系,給出了 tan2(θ0,k ?θ1,k)/2 與k的關(guān)系,結(jié)果如圖4(d)中的黑色實線所示.它在虛線處與紅色實線相交于k=k3,這表明圖4(a)中藍色臨界時間線與第2 次淬火前的臨界時間相聯(lián)系.

圖4 (a)淬火路徑 B →C →D 對應(yīng)的臨界時間圖,圖中虛線對應(yīng)的 時刻為 T =1.5 ;(b) T =1.5 且 t >T 時的Fisher 零點分布;(c) T =1.5 時兩次淬火過程的率函數(shù);(d)黑色實線是 t an2(θ0,k -θ1,k)/2 與k的關(guān)系.紅色實線為 | Bk/Ak| 與k的關(guān)系,對應(yīng)的時間間隔為T=T7 ≈1.5210Fig.4.(a) Location of the critical times in the t -T plane for the path B →C →D .The dotted line marks the time for T =1.5 .(b) The Fisher zeros for t >T with T =1.5 .(c) The rate function corresponding to T =1.5 .(d) The black line corresponding to the relationship between t an2(θ0,k -θ1,k)/2 and k.The red line corresponding to the relationship between | Bk/Ak| and k for T=T7 ≈1.5210.

3.2.2 先經(jīng)過各向異性相變點再經(jīng)過Ising相變點的兩次淬火

接下來討論先經(jīng)過各向異性相變點再經(jīng)過Ising 相變點(D→C →B)的兩次淬火情形.同樣地,圖5(a)給出了T-t平面內(nèi)的臨界時間.可以看出在第2 次淬火后系統(tǒng)中會出現(xiàn)兩種類型的臨界時間線.一種與前面討論的一樣(圖中的藍色曲線),它的出現(xiàn)與否和時間間隔T有關(guān).另一種臨界時間線(圖中的綠色曲線)在任意T下總是出現(xiàn),但與3.2.1 節(jié)不一樣,它在t=T(對角線上)處與第1 次淬火后的臨界時間線相連.作為1 個例子,給出了T=1.5(對應(yīng)于圖5(a)中的虛線)時由(9b)式給出的Fisher 零點(圖5(b))和率函數(shù)(圖5(c)).當(dāng)t<2.5 時率函數(shù)有5 個奇異點,分別對應(yīng)于圖5(a)中的①到⑤.其中點③到⑤的臨界時間對應(yīng)于圖5(b)中n=0的Fisher 零點與虛軸的交點.而點①和②的臨界時間是對應(yīng)于(9a)式所示的Fisher 零點與虛軸的交點(沒有給出).

同樣地,給出了T=T8≈1.1574 時的與k的關(guān)系,結(jié)果如圖5(d)中的紅色實線所示.與3.2.1 節(jié)類似,當(dāng)k→0 時→∞k →π,而當(dāng) 時.所 以也必定有一個k?使得.也就是圖5(d)中的k=k7的臨界動量,它對應(yīng)的臨界時間線即為圖5(a)中的綠色臨界時間線.顯然這條臨界時間線在T=0 時與直接從D→B淬火的臨界時間相聯(lián)系.但是與3.2.1 節(jié)不同的是,這條臨界時間線還與第2 次淬火前的臨界時間相交于t=T處.為了進一步說明這種情況,給出了tan2(θ0,k ?θ1,k)/2與k的關(guān)系,結(jié)果如圖5(d)中的黑色實線所示.從圖5(d)可以看出紅色實線與黑色實線在虛線處相交于k7,這表明圖5(a)中的綠色臨界時間線不僅與直接從D→B淬火的臨界時間相聯(lián)系,還與第2 次淬火前的臨界時間相聯(lián)系.另外圖5(a)中的藍色臨界時間線與前面討論的類似,這可以從圖5(d)中的藍色實線(對應(yīng)于T=T9≈1.3879 )與黑色實線在虛線處相交于k6看出.

圖5 (a)淬火路徑 D →C →B 對應(yīng)的臨界時間圖,圖中虛線對應(yīng)的時刻為 T =1.5 ;(b) T =1.5 且 t >T 時的Fisher 零點分布;(c) T =1.5時兩次淬火過程的率函數(shù);(d)黑色實線是t an2(θ0,k -θ1,k)/2 與k的關(guān)系,其中紅色和藍色實線為 | Bk/Ak| 與k的關(guān)系,對應(yīng)的時間間隔分別為 T =T8 ≈1.1574 和T=T9 ≈1.3879Fig.5.(a) Location of the critical times in the t -T plane for the path D →C →B .The dotted line marks the time for T =1.5 .(b) The Fisher zeros for t >T with T =1.5 .(c) The rate function corresponding to T =1.5 .(d) The black line corresponding to the relationship between t an2(θ0,k -θ1,k)/2 and k.The red and blue lines corresponding to the relationships between |Bk/Ak|and k for T =T8 ≈1.1574 and T =T9 ≈1.3879,respectively.

3.2.3 先經(jīng)過Ising 相變點后同時經(jīng)過Ising和各向異性相變點的兩次淬火

最后討論先經(jīng)過Ising 相變點后同時經(jīng)過Ising 和各向異性相變點(C→B →D)的兩次淬火的情形.圖6(a)給出了T-t平面內(nèi)的臨界時間.可以看出在第2 次淬火后系統(tǒng)中會出現(xiàn)兩種類型的臨界時間線(紅色和綠色實線).無論T取什么值,這兩種臨界時間線在第2 次淬火后一定存在.作為1 個例子,給出了T=1.5(對應(yīng)于圖6(a)中的虛線)時由(9b)式給出的Fisher 零點(圖6(b))和率函數(shù)(圖6(c)).類似地,圖6(d)中的點①到③分別對應(yīng)于圖6(a)中的點①到③,而點②和③分別對應(yīng)于圖6(b)中的點②和③.

同樣地,也給出了tan2(θ0,k ?θ1,k)/2 和(T=T10≈0.9170 時)與k的關(guān)系,分別對應(yīng)于圖6(d)中的黑色和紅色實線.與前面不同的是,當(dāng)k →0 和k→π 時均有,并且中間某個k時,所以對于任意的T,一定存在兩個k?,使得.其中1 個臨界動量(k8)對應(yīng)的臨界時間線即為圖6(a)中的綠色臨界時間線.它與圖5(a)中的綠色臨界時間線類似,這同樣可以從圖6(d)中的黑色實線與紅色實線在虛線處相交于k8看出.而另1 個臨界動量(k9)對應(yīng)的臨界時間線即為圖6(a)中的紅色臨界時間線.它與3.2.2 節(jié)中的紅色臨界時間線類似,只與直接從C→D淬火的臨界時間相聯(lián)系.

圖6 (a)淬火路徑 C →B →D 對應(yīng)的臨界時間圖,圖中虛線對應(yīng)的時刻為 T =1.5 ;(b) T =1.5 且 t >T 時的Fisher 零點分布;(c) T =1.5 時兩次淬火過程的率函數(shù);(d)黑色實線是 tan2(θ0,k -θ1,k)/2 與k的關(guān)系,其中紅色實線為 | Bk/Ak| 與k的關(guān)系,對應(yīng)的時間間隔為T=T10 ≈0.9170Fig.6.(a) Location of the critical times in the t -T plane for the path C →B →D .The dotted line marks the time for T =1.5 .(b) The Fisher zeros for t >T with T =1.5 .(c) The rate function corresponding to T =1.5 .(d) The black line corresponding to the relationship between t an2(θ0,k -θ1,k)/2 and k.The red line corresponding to the relationship between | Bk/Ak| and k for T=T10 ≈0.9170.

4 結(jié) 論

本文討論了兩次淬火下橫場中XY鏈的動力學(xué)量子相變.研究發(fā)現(xiàn),在第2 次淬火后,系統(tǒng)在T-t平面內(nèi)的臨界時間線有三種典型的情形.情形I:臨界時間只在一定的T范圍內(nèi)出現(xiàn),它與第1 次淬火(H0→H1)過程中的臨界時間相聯(lián)系,在T-t平面中用藍色曲線表示;情形II:臨界時間在第2次淬火后總是出現(xiàn),它與從H0直接淬火到H2的過程中的臨界時間相聯(lián)系,在T-t平面中用紅色曲線表示;情形III:臨界時間在第2 次淬火后也總是出現(xiàn),它同時與H0→H1和H0→H2的淬火過程中的臨界時間相聯(lián)系,在T-t平面中用綠色曲線表示.

上述三種情形的臨界時間線是否出現(xiàn),取決于淬火路徑.考慮了兩類典型的淬火路徑,一類是經(jīng)過同一類量子相變點的兩次淬火,其中包括經(jīng)過Ising 相變點或者經(jīng)過各向異性相變點.此時第2次淬火后只有情形I的臨界時間線.另一類是分別經(jīng)過不同類量子相變點的兩次淬火,其中包括三種情形.第一種是先經(jīng)過Ising 相變點再經(jīng)過各向異性相變點,此時第2 次淬火后有情形I 和情形II的臨界時間線.第二種是先經(jīng)過各向異性相變點再經(jīng)過Ising 相變點,此時第2 次淬火后有情形I 和情形III的臨界時間線.第三種是先經(jīng)過Ising相變點再同時經(jīng)過Ising 和各向異性相變點,此時第2次淬火后有情形II 和一種情形III的臨界時間線.這表明兩次淬火下橫場中XY鏈的動力學(xué)量子相變不僅與時間間隔T有關(guān),還與兩次淬火的路徑有關(guān).

除了上述的五種淬火路徑,還有四種其他的淬火路徑.一種是均同時經(jīng)過Ising 和各向異性相變點的兩次淬火情形,它與均經(jīng)過Ising 相變點的兩次淬火情形類似.另一種是先同時經(jīng)過Ising 和各向異性相變點再經(jīng)過各向異性相變點的兩次淬火情形,它與先經(jīng)過Ising 相變點再經(jīng)過各向異性相變點的兩次淬火情形類似.還有一種是先經(jīng)過各向異性相變點再同時經(jīng)過Ising 和各向異性相變點的兩次淬火情形,它與先經(jīng)過各向異性相變點再經(jīng)過Ising 相變點的兩次淬火情形類似.最后一種是兩次淬火先同時經(jīng)過Ising 和各向異性相變點再經(jīng)過Ising 相變點的兩次淬火情形,它與先經(jīng)過Ising相變點再同時經(jīng)過Ising 和各向異性相變點的兩次淬火情形類似.