張真真, 李盈科, 唐生雨

(新疆農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830052)

0 引言

浮游生物泛指生活于水中而缺乏有效移動(dòng)能力的漂流生物,其中分為浮游植物及浮游動(dòng)物．浮游植物不僅是所有水生食物鏈的基礎(chǔ),而且還可以產(chǎn)生70%的大氣氧氣、吸收一半的二氧化碳.浮游動(dòng)物攝食浮游植物位于水生食物鏈的第二營養(yǎng)層．浮游生物是水域生產(chǎn)力的基礎(chǔ),浮游植物的產(chǎn)量又決定著浮游動(dòng)物的產(chǎn)量,后者又是魚類和其他水生動(dòng)物最有利的食物來源．因此,漁獲量的大小基本上取決于浮游生物產(chǎn)量．由于浮游生物在理論上和實(shí)踐上的重要性,許多學(xué)者對浮游植物與浮游動(dòng)物構(gòu)成的系統(tǒng)進(jìn)行了大量的研究[1-2]．

近20年來,全球有害浮游生物大量繁殖,造成了巨大的社會經(jīng)濟(jì)破壞[3-4]．有害藻華是指通過產(chǎn)生自然毒素、機(jī)械損傷或其他方式對其他生物體造成負(fù)面影響的藻華．此外,浮游植物釋放有毒物質(zhì)不是一個(gè)瞬時(shí)過程,而是由該物種成熟所需的時(shí)間延遲導(dǎo)致的,時(shí)滯系統(tǒng)導(dǎo)致了時(shí)滯微分方程. 這一問題已經(jīng)得到了深入系統(tǒng)的研究,并展示了豐富的動(dòng)力行為．例如，Wang Y等[5]提出并研究了一種具有延遲和選擇性捕獲的有毒浮游植物和浮游動(dòng)物模型．Li J等[6]為了研究浮游植物產(chǎn)生的毒素和浮游植物的棲息地對浮游植物-浮游動(dòng)物相互作用的影響,建立了一個(gè)簡單的具有Holling II型功能反應(yīng)函數(shù)的浮游植物-浮游動(dòng)物系統(tǒng)．Shi R X等[7]以兩種浮游動(dòng)物妊娠延遲為參數(shù),研究了兩種浮游動(dòng)物-浮游植物動(dòng)力學(xué)模型．但是這些模型是關(guān)于時(shí)間變量的微分方程,忽略了空間效應(yīng)．浮游生物可以通過擴(kuò)散和水流在湖泊和海洋中移動(dòng),因此,研究空間變化對模型的影響也是非常有必要的．許多作者通過反應(yīng)擴(kuò)散方程模擬了浮游植物和浮游動(dòng)物種群的空間變化[8-9]．Zhao J等[10]研究了具有延遲和有毒物質(zhì)產(chǎn)生的浮游生物反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為;Zhichao J等[11]研究了一個(gè)具有時(shí)滯和反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)的浮游植物-浮游動(dòng)物系統(tǒng);Li Y等[12]提出了一個(gè)具有擴(kuò)散的浮游植物浮游動(dòng)物模型,其中也考慮了浮游動(dòng)物捕食的時(shí)間延遲和浮游動(dòng)物捕獲．

本文建立了一類具有捕獲的反應(yīng)擴(kuò)散浮游生物模型, 分析了平衡點(diǎn)的存在條件；證明了系統(tǒng)在無時(shí)滯時(shí)解的正性和有界性.通過運(yùn)用上下解的方法證明了邊界平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性,通過求解特征方程的特征根得到滅絕平衡點(diǎn)和正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性以及Hopf分支的存在條件．最后，通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了結(jié)論．

1 模型與平衡點(diǎn)

首先，給出具有捕獲的反應(yīng)擴(kuò)散浮游植物-浮游動(dòng)物相互作用模型(1)如下:

(1)

令Ω=(0,π),|Ω|表示水域的深度,其次Neumann邊界條件意味著沒有浮游動(dòng)植物進(jìn)入或離開水域的上下邊界．當(dāng)τ=0時(shí),模型(1)轉(zhuǎn)化為如下模型:

(2)

其中φ1(x)=φ1(x,0),φ2(x)=φ2(x,0)．系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)滿足如下方程組

易得滅絕平衡點(diǎn)E0(0,0)和邊界平衡點(diǎn)E1(P1,0),并且P1滿足方程

對于正平衡點(diǎn)E*(P*,Z*)滿足

解得

令

2 解的正性和有界性

定理1 1) 若φi(x,t)≥0且φi(x,t)≠0(i=1,2),則系統(tǒng)(2)有唯一解(P(x,t),Z(x,t)),且滿足

00,x∈Ω,

其中(P*(t),Z*(t))是下面方程的唯一解

2) 對于系統(tǒng)(2)的所有解(P(x,t),Z(x,t))，有

證明定義

當(dāng)β>ρ時(shí),

令(P1(x,t),Z1(x,t))=(0,0),(P2(x,t),Z2(x,t))=(P*(t),Z*(t)),由于

所以(P1(x,t),Z1(x,t))=(0,0),(P2(x,t),Z2(x,t))=(P*(t),Z*(t))分別是系統(tǒng)(2)的下解和上解,由文[13]中定理4.3.3,可得系統(tǒng)(2)存在唯一解(P(x,t),Z(x,t))，且滿足

0≤P(x,t)≤P*(t),0≤Z(x,t)≤Z*(t),t≥0,x∈Ω,

由強(qiáng)最大值原理可得,當(dāng)t>0時(shí),對所有的x∈Ω有P(x,t)>0,Z(x,t)>0，證畢．

由上面的討論可知,對所有的t>0,P(x,t)≤P*(t)且P*(t)是方程

的唯一解,并且可得方程的通解為

通過使用Neumann邊界條件, 可以得到

易得微分方程

的解w(t)滿足

由比較原理得,存在T3>T2,當(dāng)t>T3時(shí),有

則推出

于是

證畢．

3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分支

(3)

其中

這里

(4)

(5)

其中

特征方程為

(6)

其中y∈dom(Δ){0},dom(Δ)?X,并且

eλ.(θ)y=eλθy,θ∈[-τ,0] ,

因?yàn)樘卣鲉栴}

有特征值

v=k2,k∈Ν0=Ν∪{0},

對應(yīng)的特征函數(shù)為cos(kx),k∈Ν0．對式(6)使用傅里葉級數(shù)展開得

(7)

其中ak,bk∈C．因此特征方程(6)等價(jià)于

定理2 當(dāng)c1Er時(shí),滅絕平衡點(diǎn)E0(0,0)局部漸近穩(wěn)定．

證明系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)E0(0,0)線性化,得

其對應(yīng)的線性化矩陣為

對應(yīng)的特征方程為

即

[λ+d1k2-(r-c1E)][λ+d2k2+(d+c2E)]=0,k∈Ν0,

特征值為λ1=-d1k2+(r-c1E),λ2=-d2k2-(d+c2E)]<0．當(dāng)c1E0．此時(shí)平衡點(diǎn)E0(0,0)不穩(wěn)定;當(dāng)c1E>r時(shí),對所有的k∈Ν0,都有λ1<0,此時(shí)平衡點(diǎn)E0(0,0)局部漸近穩(wěn)定．

因?yàn)?/p>

(0,0)≤(P,Z)≤(M1,M2),

此時(shí)(0,0)≤(φ1(x,t),φ2(x,t))≤(M1,M2)．當(dāng)φi(x,t)不恒等于0,i=1,2時(shí),

P(x,t)>0,Z(x,t)>0,t>0,x∈Ω,

定義如下兩個(gè)序列:

(8)

所以

對式(8)兩邊取極限,可得

(9)

由拋物型邊值問題的比較原理,可得

其中η(x,t)是下列方程的正解

(10)

平衡點(diǎn)E1(P1,0)的吸引性得證.

下面證明平衡點(diǎn)E1(P1,0)的局部漸近穩(wěn)定性．在平衡點(diǎn)E1(P1,0)處線性化，得

(11)

其中

特征方程為

即

特征值為

下面討論平衡點(diǎn)E*(P*,Z*)的穩(wěn)定性．在平衡點(diǎn)E*(P*,Z*)處線性化得

(12)

這里L(fēng):K→X定義為L(φt)=L1φ(0)+L2φ(-τ),其中

特征方程為

即

λ2+Mkλ+Nk+De-λτ=0

(13)

其中

證明當(dāng)τ=0時(shí),特征方程為

λ2+Mkλ+Nk+D=0,

所以

所以特征根全部有負(fù)實(shí)部,因此平衡點(diǎn)E*(P*,Z*)是局部漸近穩(wěn)定．

當(dāng)τ>0時(shí),尋找一個(gè)臨界值使得特征方程存在一對純虛根,令±ωi(ω>0)為特征方程(12)的解,則有

-ω2+Mkωi+Nk+De-iωτ=0,

由歐拉公式e-iωτ=cosωτ-isinωτ分離實(shí)部和虛部,得

(14)

由sin2ωτ+cos2ωτ=1得到

令z=ω2,則上式化為

(15)

其中

由于

并且

(16)

證明將特征方程λ2+Mkλ+Nk+De-λτ=0兩端對τ求微分得

則

所以

證畢．

由方程(16),可得

定義使得穩(wěn)定性發(fā)生變化的最小τ,

通過以上分析并由文[15]中推論2.4可得下面的引理．

4 數(shù)值模擬

令Ω=(0,π),r=0.02,K=3,μ=0.3,α=0.5,β-ρ=0.15,d=0.04,c1=0.3,c2=0.1,E=0.1,d1=d2=0.02,這些參數(shù)滿足定理2的條件c1E>r,滅絕平衡點(diǎn)E0(0,0)局部漸近穩(wěn)定(圖1)．

圖1 滅絕平衡點(diǎn)E0(0,0)局部漸近穩(wěn)定

圖2 邊界平衡點(diǎn)E1(2.82,0)全局漸近穩(wěn)定

圖3 正平衡點(diǎn)E*(0.75,0.16875)局部漸近穩(wěn)定