高俊亮，熊 偉，馬小舟，劉盈溢，劉 倩

（1.江蘇科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212100；2.浙江貴仁信息科技股份有限公司，杭州 310000；3.大連理工大學(xué)海岸和近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024；4.日本九州大學(xué)應(yīng)用力學(xué)研究所，福岡 816-8580）

0 引 言

當(dāng)近岸海域的低頻波浪傳播到港灣內(nèi)時(shí)，如果其頻率和港灣的本征頻率相一致，就會(huì)激起港灣內(nèi)劇烈的水體共振的現(xiàn)象，該現(xiàn)象稱為港灣共振[1]。海嘯波已被證實(shí)能夠誘發(fā)顯著的港灣振蕩。能量較小的海嘯波誘發(fā)的港灣共振會(huì)顯著干擾港內(nèi)船舶的裝卸作業(yè)[2]，而能量較大的海嘯波產(chǎn)生的共振則往往會(huì)引起港內(nèi)船舶的斷纜及翻船等事故，具有很強(qiáng)的破壞性[3]。

目前，海嘯誘發(fā)的瞬變共振研究多限于使用孤立波進(jìn)行研究。Dong等[4]使用物理實(shí)驗(yàn)并結(jié)合數(shù)值模擬對(duì)由滑坡產(chǎn)生的沖擊波以及孤立波在矩形港內(nèi)的共振反應(yīng)進(jìn)行了研究。近期，Gao等[5]使用Boussinesq模型模擬了孤立波入射誘發(fā)的狹長型港灣內(nèi)的瞬變振蕩現(xiàn)象，并研究了港口底坡和入射孤立波波高的變化對(duì)港內(nèi)相對(duì)波能密度分布的影響。但是，Tadepalli和Synolakis[6]通過很多地震海嘯的實(shí)際觀測中發(fā)現(xiàn)，多數(shù)海嘯波是由一個(gè)大波峰和一個(gè)大波谷組成，形狀像“N”，這類海嘯波被稱為N波，并提出了N波的表達(dá)式（下文稱為TS形式的N波）。Madsen和Sch?ffer[7]也質(zhì)疑經(jīng)典的孤立波理論能否用來完整地描述真實(shí)的海嘯的主要特點(diǎn)，并提出了不同于Tadepalli和Synolakis[6]的N波表達(dá)式（下文稱為MS形式的N波）。

針對(duì)上述情況，本文將對(duì)入射波波幅和入射N波形式對(duì)港內(nèi)相對(duì)波能分布的影響展開系統(tǒng)研究，簡要介紹數(shù)據(jù)模型和數(shù)據(jù)分析技術(shù)以及實(shí)驗(yàn)布置，模擬TS和MS兩種形式的波峰在前的等邊N波誘發(fā)的狹長矩形港內(nèi)的瞬變港灣振蕩現(xiàn)象，分析模擬結(jié)果，得出一定港口形式及波浪條件對(duì)港內(nèi)相對(duì)波能分布的影響。

1 數(shù)值模型和分析技術(shù)

1.1 數(shù)值模型

Boussinesq模型近些年來已被廣泛地應(yīng)用于模擬波浪在近岸的傳播過程，它可以精確地模擬波浪的色散性、非線性、淺水變形、破碎和波成流等一系列的現(xiàn)象[8]。本文使用FUNWAVE-TVD模型[9]實(shí)施數(shù)值實(shí)驗(yàn)，該數(shù)值模型是以Chen[10]的完全非線性Boussineq方程為基礎(chǔ)開發(fā)的。Kennedy等[11]的動(dòng)參考層技術(shù)被進(jìn)一步應(yīng)用于控制方程中，使得模型能夠更好地模擬沖流帶和沿海洪水的動(dòng)邊界現(xiàn)象。該模型使用一個(gè)非常均衡的守恒形式來組織控制方程，并使用一個(gè)高階激波捕捉全變差下降格式對(duì)控制方程進(jìn)行數(shù)值離散。模型的時(shí)間離散使用較穩(wěn)定的三階Runge-Kutta方法，使得模型具備了自適應(yīng)時(shí)間步長的功能。此外，模型使用了具有分布式共享內(nèi)存的消息傳遞接口（MPI）技術(shù)，使其可進(jìn)行并行計(jì)算，顯著提高了數(shù)值計(jì)算的效率。FUNWAVE-TVD模型已被證實(shí)能夠很好地模擬包括波浪淺水變形、反射、衍射、破碎、在岸灘上的爬高、下沖和波成流等一系列的近岸波浪水動(dòng)力現(xiàn)象[9]。

1.2 分析技術(shù)

正交模態(tài)分解法由Sobey[12]首先提出，可用于計(jì)算港口本征頻率、共振模態(tài)形狀和定量分離由風(fēng)暴潮和海嘯誘發(fā)的瞬變港灣振蕩的各共振模態(tài)的響應(yīng)幅值。該方法包含兩個(gè)計(jì)算步驟：第一步以線性長波方程為起點(diǎn)，把控制方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)Sturm-Liouville問題，并最終離散為矩陣方程，矩陣方程的特征值和特征向量即為港口的本征頻率和對(duì)應(yīng)的共振模態(tài)形狀；第二步通過一個(gè)多維優(yōu)化問題對(duì)由風(fēng)暴潮和海嘯誘發(fā)的瞬變港灣振蕩的各共振模態(tài)的響應(yīng)幅值進(jìn)行分離，第一步計(jì)算得到的本征頻率和共振模態(tài)形狀將作為已知參數(shù)用于第二步的計(jì)算中。近期，Gao等[13]使用鏡像原理對(duì)正交模態(tài)分解法進(jìn)行了改進(jìn)，顯著提高了其預(yù)測港口本征頻率和共振模態(tài)形狀的精度。本文將使用Gao等[13]的改進(jìn)的正交模態(tài)分解法分析N波誘發(fā)的瞬變港灣共振現(xiàn)象。

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)布置

本文采用Tadepalli和Synolakis[6]提出的波峰在前的等邊N波作為初始入射波，其表達(dá)式為

式中，

水質(zhì)點(diǎn)的初速度為

式中，A0、g、h和x0分別代表波的振幅、重力加速度、水深和初始入射N波的中心位置。

為了對(duì)比由不同的入射N波形式所誘發(fā)的瞬變港灣共振的異同，本文同樣考慮了Madsen和Sch?ffer[7]提出的N波形式。他們通過疊加兩個(gè)單波生成了N波。如果兩個(gè)孤波分別用正波和負(fù)波來表示，則波峰在前的等邊N波的形式為

式中，

式（4）中的N波的振幅和A1并不相等。很顯然，如果要比較瞬變港灣共振過程中某一變量的絕對(duì)量值，就必須要考慮這一差異，A1必須取某值以確保入射N波具有與式（1）所示的N波相同的波幅A0[2]。容易證得：

為了敘述的簡潔性，將式（1）和式（4）所表示的初始入射波分別稱為TS形式和MS形式的波峰在前的等邊N波。

圖1展示了本文所用港口的布置情況。港口長L=1 000 m，寬2b=20 m，港口內(nèi)外的水深為常數(shù)h=10 m。海岸線和港內(nèi)邊墻均設(shè)置為全反射直墻。笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng)（o,x,y,z）的原點(diǎn)取在靜水面，z軸垂直向上為正。

圖1 港口概圖Fig.1 Sketch of the harbor

為了研究不同的入射N波形式對(duì)于瞬變港灣振蕩的影響，本文設(shè)計(jì)了兩組系列實(shí)驗(yàn)，即Group A和Group B。在Group A中，外海初始入射波均為TS形式的波峰在前的等邊N波；而在Group B中，外海初始入射波均采用MS形式的波峰在前的等邊N波。同時(shí)，為了研究入射N波波幅對(duì)于瞬變港灣振蕩的影響，在這兩組系列實(shí)驗(yàn)中，入射波波幅A0均從0.005 m逐漸增大到0.30 m。所有數(shù)值實(shí)驗(yàn)的波浪參數(shù)見表1。表中的參數(shù)L0表示初始入射N波波長，此參數(shù)將在下面段落予以定義。

表1 數(shù)值實(shí)驗(yàn)的入射波浪參數(shù)Tab.1 Incident wave parameters for the numerical experiments

圖2 TS和MS形式的初始入射N波波形對(duì)比Fig.2 Comparison of the profiles of the TS-and MS-type incident LEN waves

圖3呈現(xiàn)了數(shù)值實(shí)驗(yàn)中所用的數(shù)值波浪水槽。數(shù)值波浪水槽尺寸為4 000.0 m×50.0 m。因?yàn)閳D1所示港口關(guān)于x軸對(duì)稱，為了節(jié)省計(jì)算時(shí)間，僅對(duì)模型港口和外海的一半?yún)^(qū)域進(jìn)行了網(wǎng)格劃分。港內(nèi)等間距布置了101個(gè)測點(diǎn)（G1～G101），相鄰兩個(gè)測點(diǎn)的間距為10 m。測點(diǎn)G1布置在港口口門處（x=0），而測點(diǎn)G101布置在港口底墻處(x=1 000.0m)。所有邊界均設(shè)置為全反射。作為初始條件，入射N波的波前均設(shè)置在港口口門處。在整個(gè)數(shù)值波浪水槽內(nèi)，x和y方向網(wǎng)格尺寸均設(shè)置為Δx=Δy=1.0 m。網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)和單元數(shù)分別為204 051和200 000個(gè)，所有的數(shù)值實(shí)驗(yàn)均模擬到300.0 s。

圖3 數(shù)值波浪水槽概圖Fig.3 Sketch of the numerical wave flume

3 結(jié)果和分析

將實(shí)驗(yàn)B03中分別使用FUNWAVE-TVD模型模擬和正交模態(tài)分解法擬合得到的自由波面進(jìn)行對(duì)比，如圖4所示?？紤]最低的40個(gè)共振模態(tài)，從圖中可以看出，兩者吻合得很好。對(duì)于實(shí)驗(yàn)B03，入射波波幅為A0=0.05 m，模擬的自由波面在x=1 000 m處和t=133.3 s時(shí)出現(xiàn)了最大爬高值0.160 8 m，并在x=1 000 m處和t=164.4 s時(shí)出現(xiàn)了最大下沖值-0.163 8 m；而在相同的位置和時(shí)刻，擬合的自由波面分別出現(xiàn)了0.160 4 m和-0.164 2 m的最大爬高值和最大下沖值。本文使用正交模態(tài)分解法在各組數(shù)值實(shí)驗(yàn)中用于擬合由數(shù)值模擬得到的自由波面的數(shù)值擬合誤差（NFE）：

圖4 實(shí)驗(yàn)B03中模擬的自由波面和擬合的自由波面的對(duì)比Fig.4 Comparison of the simulated free surfaces and the corresponding fitted free surfaces in Case B03

式中，Au和(Au)fitted分別表示模擬的和擬合的自由波面的最大爬高值，Ad和(Ad)fitted分別表示模擬的和擬合的自由波面的最大下沖值。該參數(shù)可以直觀地反映正交模態(tài)分解法分離不同共振模態(tài)響應(yīng)幅值的精確性。對(duì)于實(shí)驗(yàn)B03，正交模態(tài)分解法的數(shù)值擬合誤差為0.25%。通過檢查所有的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正交模態(tài)分解法數(shù)值擬合誤差均小于5%。這表明在本文所有的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，正交模態(tài)分解法分離得到的各共振模態(tài)的響應(yīng)幅值是精確可靠的。

本文將各組數(shù)值實(shí)驗(yàn)中港內(nèi)各共振模態(tài)的響應(yīng)幅值與相應(yīng)的入射波波幅的比值定義為各共振模態(tài)的相對(duì)幅值，即

圖5 Group A和Group B中各組實(shí)驗(yàn)的港內(nèi)相對(duì)幅值分布Fig.5 Relative amplitude distributions inside the harbor for all cases in Groups A and B

為了更好地說明該現(xiàn)象，圖6呈現(xiàn)了所有數(shù)值實(shí)驗(yàn)中擁有最大波能的共振模態(tài)。當(dāng)A0逐漸增大時(shí)，在Group A中，擁有最大波能的共振模態(tài)從第二模態(tài)逐漸轉(zhuǎn)移到第七模態(tài)；而在Group B中，擁有最大波能的共振模態(tài)從第一模態(tài)逐漸轉(zhuǎn)移到第五模態(tài)。而且，當(dāng)入射波波幅A0相同時(shí)，TS形式的入射N波激發(fā)的擁有最大波能的共振模態(tài)往往高于MS形式的入射N波。

圖6 所有數(shù)值實(shí)驗(yàn)中擁有最大波能的共振模態(tài)Fig.6 Resonant modes with the highest wave energy in all the cases

為了比較不同形式N波入射對(duì)港內(nèi)相對(duì)波能分布的影響，圖7展現(xiàn)了入射波波幅A0分別為0.005 m和0.30 m時(shí)，TS形式和MS形式的N波誘發(fā)瞬變港灣共振時(shí)港內(nèi)相對(duì)幅值分布的比較。當(dāng)A0=0.005 m時(shí)（圖7（a）），兩種不同形式的N波引起的港內(nèi)相對(duì)幅值分布存在顯著的差異,此時(shí)，TS形式的N波誘發(fā)的港內(nèi)波能主要集中在最低的4個(gè)模態(tài)上，而MS形式的N波誘發(fā)的港內(nèi)波能則僅主要集中在最低的2個(gè)模態(tài)上；當(dāng)A0=0.30 m時(shí)（圖7（b）），分布于高共振模態(tài)上的波能比重增加，且港內(nèi)波能的分布趨于均勻，此時(shí)，TS形式的N波誘發(fā)的港內(nèi)波能主要集中在最低的15個(gè)模態(tài)上，而對(duì)于MS型入射N波來說，港灣內(nèi)的波能分布僅主要集中在最低的10個(gè)模態(tài)上。由此可以發(fā)現(xiàn)，不論A0的取值大小，相比于MS形式的入射N波，TS形式的入射N波誘發(fā)的港內(nèi)波能分布更加均勻。

圖7 不同形式N波入射產(chǎn)生的港內(nèi)相對(duì)幅值分布的比較Fig.7 Comparison of the relative amplitude distributions excited by various types of N-waves

為了定量表示港內(nèi)波能在各共振模態(tài)上分布的均勻程度，本文定義了相對(duì)幅值分布均勻度系數(shù)：

圖8以實(shí)驗(yàn)A08的各共振模態(tài)相對(duì)幅值分布為例，直觀地解釋參數(shù)CD和CR的物理含義。CD表示各共振模態(tài)的相對(duì)幅值隨頻率分布曲線與橫坐標(biāo)軸所圍的面積，即圖中圓點(diǎn)曲線同橫坐標(biāo)軸所圍區(qū)域的面積。CR表示以最大相對(duì)幅值為高度，以最高與最低模態(tài)的共振頻率的差值為長度的矩形面積，即圖中虛線與坐標(biāo)軸所圍面積。顯然，相對(duì)幅值分布均勻系數(shù)δ的取值范圍在0與1之間。δ越接近于1，表示港內(nèi)相對(duì)波能在各模態(tài)的分布越均勻；反之，如果δ越接近于0，則表示港內(nèi)相對(duì)波能在各模態(tài)的分布越不均勻。

圖8 CD和CR的物理含義（以實(shí)驗(yàn)A08為例）Fig.8 Sketch of the physical meanings of CD and CR(taking Case A08 for example)

圖9呈現(xiàn)了所有數(shù)值實(shí)驗(yàn)中港內(nèi)相對(duì)幅值分布均勻度系數(shù)。從圖中可以看出，在Group A和Group B中，港內(nèi)相對(duì)幅值分布均勻度系數(shù)δ均隨著入射波波幅A0的增加而單調(diào)增大；并且，在相同的入射波波幅條件下，Group A中的δ值始終要大于Group B中對(duì)應(yīng)的δ值。這表明入射波波幅越大，港內(nèi)波能在各共振模態(tài)上的分布越均勻；且當(dāng)入射波波幅相同時(shí)，TS形式的入射N波誘發(fā)的港內(nèi)波能在各共振模態(tài)上的分布總是比MS形式的更為均勻。

圖9 所有數(shù)值實(shí)驗(yàn)中的相對(duì)幅值分布均勻度系數(shù)δFig.9 Uniformity coefficients of the relative amplitude distributions,δ,in all the cases

4 結(jié) 論

本文使用一組完全非線性Boussinesq模型FUNWAVE-TVD模擬了由TS和MS兩種形式的波峰在前的等邊N波入射所誘發(fā)的狹長矩形港內(nèi)的瞬變港灣共振現(xiàn)象?；谡荒B(tài)分解法，定量分離了港內(nèi)不同共振模態(tài)的響應(yīng)幅值，并進(jìn)一步系統(tǒng)研究了不同入射N波波幅和形式對(duì)于港內(nèi)相對(duì)波能分布的影響。本文的研究拓展了對(duì)于海嘯波誘發(fā)的瞬變港灣振蕩現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)。

本文研究發(fā)現(xiàn)港內(nèi)的相對(duì)波能分布與入射N波波幅和形式均緊密相關(guān)。在本文所研究的特定港口和入射波波幅范圍內(nèi)，當(dāng)入射波波幅較小時(shí)，港內(nèi)波能幾乎集中在最低的幾個(gè)共振模態(tài)上；隨著入射波波幅的增大，分布于高模態(tài)上的波能的比重增加，擁有最大波能的共振模態(tài)逐漸從較低的模態(tài)向較高的模態(tài)轉(zhuǎn)移，港內(nèi)波能在各模態(tài)上的分布趨于均勻。當(dāng)入射N波波幅相同時(shí)，TS形式的入射N波往往比MS形式的入射N波激發(fā)的擁有最大波能的共振模態(tài)高。相比于MS形式的入射N波，TS形式的入射N波誘發(fā)的港內(nèi)波能在各共振模態(tài)的分布更加均勻。

最后，需要說明的是，以上結(jié)論是在本文所描述的矩形港口、入射等邊N波形式和入射波波幅范圍條件下取得的。對(duì)于其他港口形式和波浪條件，是否有相同結(jié)論存在，則需要進(jìn)一步研究。