趙營(yíng)鴿 李 穎 王靈月 崔陽(yáng)陽(yáng) 王冠雄

（1. 省部共建電工裝備可靠性與智能化國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（河北工業(yè)大學(xué)） 天津 300130 2. 河北工業(yè)大學(xué)天津市生物電工與智能健康重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津 300130）

0 引言

工程實(shí)踐中的很多問(wèn)題都會(huì)用到數(shù)學(xué)建模，計(jì)算模型已經(jīng)成為各大領(lǐng)域檢驗(yàn)各種復(fù)雜現(xiàn)象的有效工具[1-2]。模型的復(fù)雜性各有不同，往往存在由于各種原因引起的不確定性因素。不確定性量化（Uncertainty Quantification, UQ）是一門對(duì)模型的輸入不確定性參數(shù)進(jìn)行隨機(jī)變量建模，進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的隨機(jī)問(wèn)題，并對(duì)輸出變化進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)分析的量化求解技術(shù)[3-4]。與常規(guī)的模型計(jì)算不同的是，UQ是給定每個(gè)輸入?yún)?shù)可能的概率分布，通過(guò)模型不確定性的傳播，最終得到輸出的某種分布。UQ的核心是探究模型輸入?yún)?shù)的不確定性對(duì)模型預(yù)測(cè)質(zhì)量的影響，分析各個(gè)不確定性因素并盡可能降低這些不確定性帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)[5]。

不確定性量化方法大體分為概率框架下和非概率框架下兩類。概率框架下的UQ是將計(jì)算模型的輸入?yún)?shù)建模成隨機(jī)變量并給定其變量類型，從概率論的角度用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法擬合出模型參數(shù)的概率分布類型，最后統(tǒng)計(jì)分析確定模型輸出在某區(qū)間的分布概率。常用的概率不確定性量化方法主要有蒙特卡羅模擬（Monte Carlo Simulation, MCS）法[6]、混沌多項(xiàng)式展開(kāi)（Polynomial Chaos Expansion, PCE）法[7]、代理模型法、降維法等。

近年來(lái)，不確定性量化越來(lái)越受到學(xué)術(shù)界的重視。在工程力學(xué)、電力電子、水文學(xué)、流體力學(xué)、核電站安全評(píng)估等方面有很多應(yīng)用[8-11]。UQ在生物電磁學(xué)中也有一些應(yīng)用[12-13]。2015年，有學(xué)者將MCS和PCE法用于經(jīng)顱磁刺激（Transcranial Magnetic Stimulation, TMS）中，對(duì)考慮三層組織電導(dǎo)率的不確定性隨機(jī)模型進(jìn)行研究[14]。隨著模型精度的提高，不確定性參數(shù)增多，PCE無(wú)法解決較多隨機(jī)參數(shù)變化的不確定性問(wèn)題，研究者提出采用參數(shù)化模型降階（Parametric Model Order Reduction, PMOR）來(lái)處理高維參數(shù)的不確定性問(wèn)題[15-18]。降維法是由美國(guó)愛(ài)荷蘭大學(xué)S. Rahman等提出來(lái)的，主要是為了解決“維數(shù)災(zāi)難”的問(wèn)題。將系統(tǒng)原函數(shù)分解成若干個(gè)單變?cè)?、雙變?cè)蚨嘧冊(cè)瘮?shù)求和的形式，并在此基礎(chǔ)上求其相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息，進(jìn)而對(duì)輸出分布進(jìn)行量化分析[19]。目前研究領(lǐng)域應(yīng)用較多的是單變?cè)稻S法（Univariate Dimension Reduction Method, UDRM）[20-21]。

生物醫(yī)學(xué)電阻抗成像（Electrical Impedance Tomography, EIT）是生物電磁學(xué)的一個(gè)研究?jī)?nèi)容，它是一種無(wú)創(chuàng)的以人體內(nèi)部組織電導(dǎo)率分布為目標(biāo)的圖像重建技術(shù)[22]。EIT技術(shù)在臨床上可應(yīng)用于腦出血、腦水腫等顱腦疾病的檢測(cè)[23]。生物組織電導(dǎo)率與多種因素有關(guān)[24-25]。然而在對(duì)EIT的臨床研究中，不同時(shí)刻、不同狀態(tài)、不同生理病理下生物組織電導(dǎo)率通常被假定為恒定的，這在某種程度上使圖像重構(gòu)結(jié)果發(fā)生變化。當(dāng)利用數(shù)值計(jì)算方法對(duì)EIT正問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算時(shí)，需要進(jìn)行單元離散。為達(dá)到足夠的計(jì)算精度，單元剖分的數(shù)目會(huì)增加，這將導(dǎo)致模型的不確定性增加。電導(dǎo)率參數(shù)的不確定性會(huì)對(duì)正問(wèn)題的計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響逆問(wèn)題的結(jié)果，因此對(duì)電導(dǎo)率不確定性的研究具有重要意義[26-27]。課題組前期利用蒙特卡羅模擬法和混沌多項(xiàng)式展開(kāi)法對(duì)電導(dǎo)率分布的變化、對(duì)EIT正問(wèn)題不確定性的影響進(jìn)行了研究，結(jié)果表明，PCE在低維參數(shù)的UQ中能達(dá)到和基準(zhǔn)方法一致的結(jié)果[28]。但隨著剖分單元數(shù)目的增加，模型中不確定性參數(shù)隨之增多（d＞10），PCE無(wú)法處理問(wèn)題，即所謂的“維數(shù)災(zāi)難”問(wèn)題，而UDRM有望解決高維參數(shù)不確定性量化的問(wèn)題。

本文針對(duì)EIT技術(shù)中生物組織電學(xué)特性的特點(diǎn)，采用基于均值點(diǎn)展開(kāi)的UDRM將其用于電導(dǎo)率的不確定性量化，并與MCS法、PCE法做對(duì)比證明了所提方法的有效性。

1 理論

1.1 蒙特卡羅模擬（MCS）法

MCS法是最簡(jiǎn)單的基于樣本計(jì)算的方法，在求解不確定性問(wèn)題時(shí)，需要多次樣本重復(fù)進(jìn)行計(jì)算，樣本依賴性強(qiáng)[29]。MCS不確定性分析方法原理簡(jiǎn)單，重點(diǎn)在如何產(chǎn)生樣本。

首先根據(jù)隨機(jī)輸入變量X=[X1X2…Xd]的分布類型，產(chǎn)生N個(gè)樣本（i= 1,…,N）；然后依次將xi代入Y=g(X)中求解yi（i=1,…,N）；最后對(duì)N次輸出計(jì)算其相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息，如均值、標(biāo)準(zhǔn)差、概率函數(shù)分布等。

1.2 混沌多項(xiàng)式展開(kāi)（PCE）法

PCE法是近年來(lái)較為流行的一種不確定性量化方法，它對(duì)隨機(jī)問(wèn)題進(jìn)行有限階截?cái)嗾归_(kāi)，用一系列確定性的系數(shù)多項(xiàng)式方程表示原不確定性問(wèn)題，通過(guò)對(duì)多項(xiàng)式方程組系數(shù)的求解獲得隨機(jī)問(wèn)題的精確解[30]。對(duì)于混沌多項(xiàng)式模型，輸出Y=g(X)表示為

式中，p為多項(xiàng)式模型階數(shù)；c0為常系數(shù)；cq1q2…qd=cq為待求的第q階多項(xiàng)式系數(shù)；ξ=(ξq1,ξq2,…,ξqd)為d維標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)變量；Hp(ξ)為p階的Hermite正交多項(xiàng)式。

PCE法精度高、收斂速度快，但對(duì)于復(fù)雜的模型計(jì)算問(wèn)題，cq的求解過(guò)程將變得繁瑣。

1.3 單變?cè)稻S法（UDRM）

基于均值點(diǎn)展開(kāi)的UDRM以均值點(diǎn)作為單變?cè)膮⒖键c(diǎn)，對(duì)原函數(shù)進(jìn)行分解。UDRM主要通過(guò)以下三步實(shí)現(xiàn)。

首先找一組參考點(diǎn)，將原函數(shù)g(X)在各單變?cè)木迭c(diǎn)μi處近似分解表示為多個(gè)單變?cè)瘮?shù)求和的形式，有

式中，d為變量維度；μi為第i維變量對(duì)應(yīng)的均值；Xi為唯一變量；g(μ1,…,μi?1,Xi,μi+1,…,μd)為變量Xi函數(shù)值；g(μ1,…,μd)為g(X)在μX處的函數(shù)值。

從式（2）可以看出，等號(hào)右端的d個(gè)求和項(xiàng)減去d?1個(gè)常數(shù)項(xiàng)等于等號(hào)左端項(xiàng)。

在對(duì)g(X)單變?cè)纸夂?，UDRM第二步為求解的第r階統(tǒng)計(jì)矩，即直接對(duì)式（2）積分得

式中，E(?)為數(shù)學(xué)期望算子。

基于二項(xiàng)式定理展開(kāi)求g(X)的r階統(tǒng)計(jì)矩為

繼續(xù)對(duì)式（4）利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，定義

式中，q=1,…,d；i=1,…,r。

將式（5）遞推展開(kāi)得

式中，i=1,…,r。

將式（6）代入式（4）得g(X)的第r階統(tǒng)計(jì)矩通用表達(dá)式為

觀察式（6）和式（7）中的未知項(xiàng)為

式中，h=i?k；f Xj(xj)為第j維變量Xj的邊緣概率密度函數(shù)，可根據(jù)給定隨機(jī)變量類型計(jì)算得出或已經(jīng) 給出。

觀察式（8），求解g(X)的第r階統(tǒng)計(jì)矩轉(zhuǎn)變?yōu)橛?jì)算d個(gè)單變?cè)e分。

UDRM第三步即具體求解這d個(gè)一維積分。從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，插值型求積公式分為牛頓-科特斯和高斯型求積公式兩種。兩種方法使用場(chǎng)景不同，對(duì)于UDRM，選擇計(jì)算高階積分的高斯型插值求積公式，則式（8）為

式中，g(μ1,…,μj?1,lji,…,μj+1,μd)為第j維變量所對(duì) 應(yīng)的單變?cè)瘮?shù)值。

至此，UDRM實(shí)現(xiàn)了將g(X)的多元函數(shù)積分求解轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)中只含一個(gè)變量的一維函數(shù)積分求解。在計(jì)算基于高斯型插值求積公式時(shí)，各維選擇m個(gè)對(duì)稱分布的積分節(jié)點(diǎn)，當(dāng)變量維數(shù)為d時(shí)，UDRM需調(diào)用g(X)計(jì)算次數(shù)為(m?1)d，相對(duì)于PCE法的（p為截?cái)嚯A數(shù)），計(jì)算量大大減小。根據(jù)輸入變量的分布類型得到各維隨機(jī)變量所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)和權(quán)值，表1給出了幾種常用分布類型對(duì)應(yīng)的高斯型插值求積的節(jié)點(diǎn)和權(quán)值。

表1 基于高斯求積的節(jié)點(diǎn)（αi）和權(quán)值（ωi） Tab.1 Node (αi) and weight (ωi) based on Gaussian quadrature

在得到各維變量的節(jié)點(diǎn)和權(quán)值后，依次獲取d個(gè)單變?cè)?維積分對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)和權(quán)值，其中，權(quán)值即各維隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的權(quán)值。根據(jù)數(shù)值積分的思想計(jì)算式（9）得到d個(gè)單變?cè)?維積分，最后基于式（4）求g(X)的第r階統(tǒng)計(jì)矩。

2 電阻抗成像正問(wèn)題中的算例應(yīng)用

2.1 電阻抗成像正問(wèn)題的計(jì)算模型

EIT正問(wèn)題是在已知目標(biāo)電導(dǎo)率σ分布的情況下，根據(jù)給定的邊界激勵(lì)條件求目標(biāo)體內(nèi)及邊界電位分布?的情況[31]。通常將其所在場(chǎng)域看成穩(wěn)態(tài)電流場(chǎng)來(lái)處理，數(shù)學(xué)模型表示為

式中，Jn為注入電流密度；Ω為目標(biāo)區(qū)域；Γ1和Γ2分別為第一類和第二類邊界條件；?0為邊界電位。

由于求解目標(biāo)大多形狀不規(guī)則且不均勻，EIT正問(wèn)題的求解需要采用數(shù)值解法。有限元由于在處理任意形狀目標(biāo)時(shí)具有優(yōu)勢(shì)而被廣泛采用[32]。本文采用有限元法進(jìn)行EIT正問(wèn)題的求解。

2.2 四層同心圓頭模型的仿真實(shí)驗(yàn)

2.2.1 四層同心圓頭模型的構(gòu)建

由于人頭部結(jié)構(gòu)近似球?qū)ΨQ，本文在研究電阻抗的頭部成像時(shí)，選用四層同心圓模型來(lái)仿真建模，該模型從里到外分別模擬大腦、腦脊液、顱骨、頭皮，其各部分的相對(duì)半徑及電導(dǎo)率值見(jiàn)表2，此模型在EIT正問(wèn)題的其他研究中也有應(yīng)用[33]。激勵(lì)電流為1mA，50kHz，頭皮半徑為10cm，采用16個(gè)電極均勻放置于頭部表面，如圖1所示。

表2 四層同心圓頭模型各部分的相對(duì)半徑及電導(dǎo)率 Tab.2 The relative radius and conductivity of each part of the four-layer concentric circular head model

圖1 四層同心圓頭模型 Fig.1 Four-layer concentric circular head model

2.2.2 基于三種不確定性量化方法的仿真實(shí)現(xiàn)

分別采用基于均值點(diǎn)展開(kāi)的UDRM、MCS法、PCE法三種UQ方法對(duì)電阻抗成像中的不確定性量化分析。以表2中σ值為參考值，分別對(duì)當(dāng)σ服從不確定性變化率為1%、5%、10%、20%的隨機(jī)均勻分布時(shí)對(duì)模型輸出變化分析計(jì)算。由于頭部結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，本實(shí)驗(yàn)部分以2號(hào)電極點(diǎn)為例，MCS法不確定性量化結(jié)果作為實(shí)驗(yàn)基準(zhǔn)。

（1）MCS法。MCS法在不確定性量化領(lǐng)域一般用作方法基準(zhǔn)。使用MCS對(duì)EIT正問(wèn)題中電導(dǎo)率的不確定性計(jì)算時(shí)，分為以下步驟：

根據(jù)給定的σ的分布類型，隨機(jī)產(chǎn)生N個(gè)樣本；將N個(gè)輸入樣本依次代入到EIT的有限元計(jì)算模型中，重復(fù)計(jì)算，求出相應(yīng)的N個(gè)樣本輸出值；利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)計(jì)算出邊界電壓的相關(guān)統(tǒng)計(jì)特性，如均值、標(biāo)準(zhǔn)差、概率密度分布等。

MCS的均值收斂率與N的關(guān)系如圖2所示，當(dāng)樣本數(shù)達(dá)104時(shí)結(jié)果趨于收斂，所以在接下來(lái)的研究中實(shí)驗(yàn)樣本選為N=105。

圖2 MCS的均值收斂率 Fig.2 Mean convergence rate of MCS

（2）PCE法。PCE法的重點(diǎn)在于多項(xiàng)式模型的構(gòu)建，然后在其模型上進(jìn)行量化分析。

將EIT有限元模型表示為式（1）所示的多項(xiàng)式模型；在標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)空間（ζ空間）選取采樣點(diǎn)數(shù)目Q并將其變換到原隨機(jī)空間（X空間），選用合適的方法求PCE系數(shù)bi，通常來(lái)說(shuō)Q的數(shù)量2倍于bi的個(gè)數(shù)；計(jì)算邊界電壓值的概率統(tǒng)計(jì)特性。

考慮到PCE法截?cái)嚯A數(shù)可能對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生影響，分別采用2階展開(kāi)（p=2）、3階展開(kāi)（p=3）、4階展開(kāi)（p=4）的PCE法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

（3）UDRM。采用UDRM方法時(shí)，以表1中σ參考值作為均值點(diǎn)，將EIT有限元模型表示為式（2）形式；確定各維隨機(jī)輸入變量對(duì)應(yīng)的積分節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)m；根據(jù)隨機(jī)輸入變量類型計(jì)算相應(yīng)的1維高斯節(jié)點(diǎn)和權(quán)值；將給定電導(dǎo)率不確定性范圍代入式（9）單變?cè)?jì)算，并計(jì)算模型輸出電壓的統(tǒng)計(jì)矩。

2.2.3 結(jié)果的量化分析

為了定量評(píng)價(jià)不確定性量化結(jié)果，通常采用均值、標(biāo)準(zhǔn)差等參數(shù)描述輸出的不確定性信息[34]。

當(dāng)有大量樣本時(shí)，μ是樣本的算術(shù)平均數(shù)，有

標(biāo)準(zhǔn)差（Std）描述隨機(jī)變量分布X相對(duì)于其均值的偏離程度，標(biāo)準(zhǔn)差越小，樣本點(diǎn)分布越集中。

協(xié)方差（Cov）用于描述變量間的相互關(guān)系，有

式中，和分別為變量X和Y的平均值。

變異系數(shù)（Cvar）衡量模型預(yù)測(cè)值的離散程度，又稱“離散系數(shù)”，代表模型的穩(wěn)定情況。不同的Cvar值代表不同的穩(wěn)定情況，模型穩(wěn)定性量化表見(jiàn)表3。Cvar的計(jì)算公式為

表3 模型穩(wěn)定性量化表 Tab.3 Model stability quantization table

平均絕對(duì)誤差（Mape）判別模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度情況，有

式中，N為樣本數(shù)；u為實(shí)際值；為模型預(yù)測(cè)值。

以2號(hào)電極為例，表4～表7給出了1%、5%、10%、20%變化幅度下三種UQ方法計(jì)算結(jié)果量化表；圖3給出了三種UQ方法下電壓的概率分布。

表4 1%不確定性時(shí)不同UQ法評(píng)價(jià)表 Tab.4 Evaluation table of different UQ methods when 1% uncertainty

表5 5%不確定性時(shí)不同UQ法評(píng)價(jià)表 Tab.5 Evaluation table of different UQ methods when 5% uncertainty

表6 10%不確定性時(shí)不同UQ法評(píng)價(jià)表 Tab.6 Evaluation table of different UQ methods when 10% uncertainty

表7 20%不確定性時(shí)不同UQ法評(píng)價(jià)表 Tab.7 Evaluation table of different UQ methods when 20% uncertainty

從表4～表7中得，當(dāng)電導(dǎo)率服從不同的不確定性變化范圍時(shí)，MCS法、PCE法、UDRM三種方法的統(tǒng)計(jì)矩計(jì)算結(jié)果基本一致。圖3a～圖3d分別表示邊界電壓隨著不同的電導(dǎo)率變化時(shí)的概率密度函數(shù)（Probability Density Function, PDF）變化曲線。圖3a中電導(dǎo)率的不確定性為1%時(shí)，以MCS法結(jié)果做基準(zhǔn)，UDRM和4階展開(kāi)（p=4）PCE法的概率分布基本重合，形似正態(tài)分布，但p=2的概率最高點(diǎn)（22.11, 4.547）明顯大于MCS法的概率最高點(diǎn)（22.11, 4.314），p=3的概率最高點(diǎn)（22.11, 4.129）小于MCS法的概率分布最高點(diǎn)。觀察圖3b～圖3d，邊界電壓的概率分布情況與圖3a相同，p=2、3時(shí)的差異表明此時(shí)PCE法展開(kāi)階數(shù)達(dá)不到計(jì)算精 度，p=4展開(kāi)時(shí)能達(dá)到與MCS法、UDRM一致的電壓概率分布。隨著不確定性范圍的擴(kuò)大，Cov值在不斷增大，變量間的相互作用在增大，對(duì)應(yīng)圖3d中UDRM在（21.86, 0.212 7）處跟MCS法結(jié)果出現(xiàn)了偏差。

圖3 四層頭模型的電壓PDF Fig.3 The voltage probability density function diagram of the four-layer head model

2.3 二維圓模型的仿真實(shí)驗(yàn)

2.3.1 二維圓模型的構(gòu)建

對(duì)于不能用分層均勻模型進(jìn)行建模的問(wèn)題，場(chǎng)域的剖分對(duì)實(shí)際成像效果有重要的影響。對(duì)于同一個(gè)目標(biāo)，剖分越細(xì)，單元數(shù)越多，成像的分辨率越高。在剖分模型中，不同單元中的電導(dǎo)率值是變化的，所以隨著剖分規(guī)模的增加，電導(dǎo)率分布的不確定性增加。建立一個(gè)二維圓模型來(lái)進(jìn)行高維不確定性量化的仿真研究，二維圓模型中的電位分布如圖4所示，在單位圓邊緣均勻放置16個(gè)電極，施加50kHz，1mA的激勵(lì)電流，將單位圓模型剖分成均勻的三角形單元，剖分單元數(shù)目為64個(gè)，每個(gè)單元 的電導(dǎo)率σ為不確定值，所以不確定性參數(shù)個(gè)數(shù)d=64，圓外為真空（σ=0）。

圖4 二維圓模型中的電位分布 Fig.4 Potential distribution in 2D circular model

2.3.2 基于UDRM的不確定性量化方法的仿真實(shí)現(xiàn)

在仿真計(jì)算中，電流注入模式選擇相對(duì)注入，即電流從電極1流入，從電極9流出，注入電流為50 kHz，1mA。給定電導(dǎo)率服從均值為1S/m，變化率為20%的隨機(jī)均勻分布，即輸入電導(dǎo)率的變化范圍在0.8～1.2S/m之間。在實(shí)驗(yàn)中，每個(gè)單元代表一個(gè)不確定性，右側(cè)代表電壓值（mV）。分別用UDRM和MCS法在二維圓模型上進(jìn)行EIT正問(wèn)題計(jì)算，已知64個(gè)電導(dǎo)率服從隨機(jī)均勻分布，樣本數(shù)N=105，計(jì)算2～8、10～16號(hào)邊界電極（激勵(lì)電極不考慮）電壓的相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息，同樣以MCS法結(jié)果作為實(shí)驗(yàn)基準(zhǔn)。

2.3.3 結(jié)果的量化分析

表8給出了對(duì)UDRM與MCS法計(jì)算結(jié)果的評(píng)價(jià)表（由于對(duì)稱性，只列出了2～8電極點(diǎn)的評(píng)價(jià)指標(biāo)），圖5給出了電極邊界電壓的PDF。

表8 二維圓模型下不同UQ方法評(píng)價(jià)指標(biāo) Tab.8 Evaluation index of different UQ methods under two-dimensional circle model

從表8可得，電極5為Std值最小點(diǎn)，激勵(lì)電極1到電極5間逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，電壓Std值隨之減??；電極5到激勵(lì)電極9間逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，電壓Std值隨之增大，Std的變化說(shuō)明帶電導(dǎo)率的不確定性對(duì)電壓的影響與邊界電極位置有關(guān)。兩種方法的Cov值表明多個(gè)不確定性參數(shù)間的相互作用很小，UDRM適用于無(wú)強(qiáng)相互作用的不確定性量化。Cvar值及Mape值表明，基于UDRM的不確定性模型計(jì)算電極電壓結(jié)果準(zhǔn)確。觀察圖5，UDRM和MCS法電極電壓的概率密度分布規(guī)律基本一致趨于光滑的正態(tài)分布，兩種方法PDF曲線越接近，說(shuō)明UDRM在EIT多維不確定性參數(shù)量化中效果越好。

圖5 二維圓模型的部分電壓PDF Fig.5 Probability density distribution of partial voltages in a two-dimensional circle model

3 分析討論

為了研究UDRM在EIT電導(dǎo)率的不確定性問(wèn)題中的可行性和高效性，將其與傳統(tǒng)的MCS法、廣泛流行的PCE法進(jìn)行對(duì)比。對(duì)四層同心圓頭模型的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可看出，用MCS法進(jìn)行不確定性量化分析時(shí)，樣本均值收斂率低，只有當(dāng)N數(shù)量足夠大時(shí)，才可以得到光滑的概率分布曲線，耗費(fèi)很大的時(shí)間成本。PCE法結(jié)果精度高、運(yùn)行速度快，且隨著多項(xiàng)式階數(shù)p的增大，不確定性計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。但隨著σ不確定性個(gè)數(shù)d的增多，由PCE法求解規(guī)模與p和d的關(guān)系式可知，PCE法的系數(shù)計(jì)算將變得十分復(fù)雜，系數(shù)無(wú)法求解。而利用UDRM量化結(jié)果與MCS法結(jié)果非常接近，精度明顯要高，且計(jì)算量小，程序運(yùn)行時(shí)間短，這證明基于均值點(diǎn)展開(kāi)的單變?cè)稻S法在研究電阻抗成像正問(wèn)題中電導(dǎo)率的不確定性是有效的，且隨著不確定性個(gè)數(shù)增多，它的優(yōu)勢(shì)將會(huì)非常明顯，可以很大程度上緩解“維數(shù)災(zāi)難”問(wèn)題。

進(jìn)而，以二維圓模型為例進(jìn)行研究。由于當(dāng)模型輸入維數(shù)較高時(shí)，PCE系數(shù)求解矩陣規(guī)模較大，計(jì)算過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)數(shù)值病態(tài)問(wèn)題，因而將UDRM與MCS法基準(zhǔn)結(jié)果作比較。當(dāng)電導(dǎo)率為無(wú)相互作用的隨機(jī)輸入?yún)?shù)，UDRM能夠準(zhǔn)確快速判斷出電導(dǎo)率的不確定性對(duì)邊界電壓概率分布的影響，其結(jié)果與MCS法基本一致。從離散程度、平均絕對(duì)誤差等幾個(gè)常用的精度檢驗(yàn)參數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)方法的好壞，驗(yàn)證了基于UDRM后的EIT模型更穩(wěn)定、準(zhǔn)確度更高，得到了更為可靠的結(jié)果。對(duì)比這三種方法，無(wú)論是從結(jié)果精度還是方法計(jì)算效率來(lái)看，UDRM都更優(yōu)。

4 結(jié)論

本文采用基于均值點(diǎn)展開(kāi)的UDRM研究了EIT中由于電導(dǎo)率的不確定性給正問(wèn)題計(jì)算帶來(lái)的影響，以同心圓頭模型和二維圓模型為算例，在給定多個(gè)電導(dǎo)率參數(shù)服從隨機(jī)均勻分布類型基礎(chǔ)上，計(jì)算了邊界電壓的相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息（如均值、標(biāo)準(zhǔn)差、概率分布密度圖等）和精度信息（如平均絕對(duì)誤差、變異系數(shù)）。對(duì)于低維不確定性問(wèn)題，采用四層同心圓頭模型，將UDRM與MCS法、PCE法結(jié)果做對(duì)比，發(fā)現(xiàn)UDRM具有計(jì)算量小、精度更高、替代模型更穩(wěn)定的優(yōu)勢(shì)。在研究高維問(wèn)題時(shí)，以二維圓模型為仿真算例，發(fā)現(xiàn)UDRM和MCS法的結(jié)果基本一致，UDRM可準(zhǔn)確快速地判斷電導(dǎo)率的不確定性對(duì)邊界電壓概率分布的影響，有效解決了“維數(shù)災(zāi)難”問(wèn)題。

基于均值點(diǎn)展開(kāi)的單變?cè)稻S法在EIT不確定性量化研究中具有計(jì)算量小、精度高、適用范圍廣的優(yōu)越性。本文對(duì)EIT正問(wèn)題的不確定性量化的研究為進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)EIT逆問(wèn)題的計(jì)算優(yōu)化奠定了基礎(chǔ)。