夏春芳，衛(wèi)彥晶，王豐效

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 喀什 844000)

0 引言

傳統(tǒng)的馬爾科夫模型對(duì)于易區(qū)分的離散狀態(tài)顯示出了很好的預(yù)測(cè)效果，對(duì)于不易區(qū)分的連續(xù)狀態(tài)，無(wú)法對(duì)研究對(duì)象的狀態(tài)進(jìn)行確切的劃分.另外，傳統(tǒng)的馬爾科夫模型通過(guò)對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，對(duì)未來(lái)事物做出預(yù)測(cè)，忽視了不同時(shí)間的歷史數(shù)據(jù)對(duì)于要推斷的事物趨勢(shì)的影響.針對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題，多數(shù)學(xué)者建立模糊馬爾科夫預(yù)測(cè)模型、加權(quán)馬爾科夫預(yù)測(cè)模型，且對(duì)此進(jìn)行改進(jìn).文獻(xiàn)[1-2]根據(jù)馬爾科夫鏈理論，提出了具備狀態(tài)模糊劃分的模糊馬爾科夫鏈狀的預(yù)測(cè)模型，即建立一個(gè)確定的隸屬函數(shù).文獻(xiàn)[3-4]采用對(duì)不同時(shí)期歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)，創(chuàng)建加權(quán)馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)模型，并用級(jí)別特征值法對(duì)預(yù)測(cè)對(duì)象進(jìn)行定量分析，計(jì)算預(yù)測(cè)值.文獻(xiàn)[5]提出一種信度馬爾科夫模型，針對(duì)研究對(duì)象狀態(tài)的不確定性引入D-S理論進(jìn)行描述，獲得了較經(jīng)典馬爾科夫鏈更加精確的結(jié)果.文獻(xiàn)[6]在[5]的基礎(chǔ)上對(duì)狀態(tài)間轉(zhuǎn)移矩陣的方法進(jìn)行改進(jìn)，并用D-S理論對(duì)原始數(shù)據(jù)所處狀態(tài)處理后，得到相應(yīng)的信度函數(shù)值，通過(guò)對(duì)后退偏差平方和進(jìn)行加權(quán)形成轉(zhuǎn)移矩陣，然后計(jì)算回代誤差，最終得到比文獻(xiàn)[5]更精確的預(yù)測(cè)結(jié)果.

針對(duì)以上問(wèn)題，對(duì)文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[6]的方法進(jìn)行了結(jié)合，主要包括兩個(gè)方面：一是引入D-S理論對(duì)連續(xù)值狀態(tài)建立狀態(tài)信度函數(shù)，劃分狀態(tài)區(qū)間；二是以規(guī)范化的各階自相關(guān)系數(shù)為權(quán)重，以及模糊數(shù)學(xué)中的級(jí)別特征值法對(duì)預(yù)測(cè)對(duì)象進(jìn)行定量分析.最后通過(guò)實(shí)證分析對(duì)比，證明了本文方法的有效性.

1 信度加權(quán)馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)模型

對(duì)于無(wú)法明確狀態(tài)區(qū)間的序列，建立傳統(tǒng)馬爾科夫預(yù)測(cè)模型往往達(dá)不到很好的效果.因此引入D-S理論對(duì)連續(xù)值狀態(tài)建立狀態(tài)信度函數(shù)，劃分狀態(tài)區(qū)間，再以規(guī)范化的各階自相關(guān)系數(shù)對(duì)不同時(shí)期的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)，構(gòu)建預(yù)測(cè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，這一方法可以有效提高預(yù)測(cè)精度.

1.1 變量狀態(tài)的劃分

建立信度概率指派函數(shù)：設(shè)Θ為所有可能性的有限集合，函數(shù)m:2Θ→[0,1]，且滿足：

則稱m為Θ上的基本信度指派函數(shù)[6].

建立連續(xù)值狀態(tài)信度函數(shù)：設(shè)過(guò)程所處的狀態(tài)X為連續(xù)值狀態(tài)，分別用x(1)和x(n)表示狀態(tài)所處最小值和最大值，則X∈(x(1),x(n)).將所有數(shù)值歸為低、中、高3種基本狀態(tài)，分別用L,M,H來(lái)表示，則Θ={L,M,H}，其中

L=[x(1),x(1)+b),M=[x(1)+b,x(n)-b],

H=(x(n)-b,x(n)],b=(x(n)-x(1))/5，

將t時(shí)刻所有取值歸為5種狀態(tài)，分別為：

S1={L},S2={L,M},S3={M},

S4={M,H},S5={H}.

建立狀態(tài)信度指派函數(shù)m如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

mL,H(x)t=0,mL,M,H(x)t=0,mφ(x)t=0.

對(duì)于任意的x，有

m(L)(x)t+m(L,M)(x)t+m(M)(x)t+
m(M,H)(x)t+m(H)(x)t=1.

記：

m(t)=(m(L)(x)t,m(L,M)(x)t,m(M)(x)t,
m(M,H)(x)t,m(H)(x)t)=
(mt(1),mt(2),mt(3),mt(4),mt(5)).

其中，mt(i)表示t時(shí)刻狀態(tài)Xt所屬狀態(tài)Si的可能性的大小，因此得出每個(gè)時(shí)刻t對(duì)應(yīng)的信度指派函數(shù)mt.

1.2 計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

1步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P1={pij}，其中

pij=sij/∑si.

(6)

其中，sij是狀態(tài)Si經(jīng)過(guò)1步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Sj的次數(shù)；∑si是狀態(tài)Si在樣本中出現(xiàn)的總次數(shù).

n步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為

(7)

1.3 計(jì)算各階的自相關(guān)系數(shù)和權(quán)重

階數(shù)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移的步數(shù)，也稱步長(zhǎng)或滯后期，各階自相關(guān)系數(shù)為

(8)

其中，rk為k階的自相關(guān)系數(shù)；n為樣本長(zhǎng)度.

根據(jù)自相關(guān)系數(shù)確定各時(shí)間段值(階數(shù))的權(quán)重為

(9)

1.4 構(gòu)建預(yù)測(cè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

根據(jù)各步長(zhǎng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，構(gòu)建預(yù)測(cè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為

(10)

各狀態(tài)概率等于預(yù)測(cè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣中各階狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率與各階的權(quán)重乘積的和，即

(11)

1.5 求級(jí)別特征值

計(jì)算各階的模糊數(shù),

(12)

其中，di表示第i階模糊數(shù)；η表示最大的概率作用指數(shù)，一般η=2或4，η值越大，最大概率作用越明顯.級(jí)別特征值如下：

(13)

1.6 求變量的預(yù)測(cè)值

變量在t+s時(shí)刻的預(yù)測(cè)值為

(14)

其中，Ti和Bi分別代表狀態(tài)Si的 上限和下限；i表示狀態(tài)級(jí)別.

2 實(shí)證分析

為證明本文方法的有效性，借鑒文獻(xiàn)[5]中的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)誤差對(duì)比，來(lái)說(shuō)明本文方法的有效性，所用數(shù)據(jù)見(jiàn)表1所列.

表1 產(chǎn)品E15的連續(xù)20期庫(kù)存需求統(tǒng)計(jì)

2.1 實(shí)證過(guò)程

(1)劃分狀態(tài)區(qū)間

建立各時(shí)刻對(duì)應(yīng)的信度指派函數(shù)，劃分狀態(tài)區(qū)間，可得5種狀態(tài)的具體范圍如下：

S1={137,143},
S2={152,164},
S3={171,200},
S4={204，218},
S5={225,229}.

得到各狀態(tài)分布表，見(jiàn)表2所列.

表2 各狀態(tài)分布表

(2)計(jì)算轉(zhuǎn)移概率矩陣

首先根據(jù)公式(6)計(jì)算得出1步轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：

p1=

根據(jù)1步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣p1，可得到2,3,4,5步轉(zhuǎn)移概率矩陣，依次如下：

(3)計(jì)算各階相關(guān)系數(shù)

根據(jù)公式(8)計(jì)算得出各階相關(guān)系數(shù)如下：

r1=0.000047,r2=0.000042,r3=0.000048,
r4=0.000045,r5=0.000021.

(4)計(jì)算各階權(quán)重

根據(jù)公式(9)計(jì)算得出各階權(quán)重如下：

ω1=0.233186511，ω2=0.207339419，
ω3=0.236202021,ω4=0.220007107，
ω5=0.103264943.

(5)構(gòu)建預(yù)測(cè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

以時(shí)間1,2,3,4,5所處的狀態(tài)，構(gòu)建相應(yīng)的預(yù)測(cè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣來(lái)預(yù)測(cè)時(shí)間6的數(shù)量.預(yù)測(cè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣見(jiàn)表3所列.

表3 預(yù)測(cè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

由公式(10)，將權(quán)重ω與預(yù)測(cè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣中各行的數(shù)值相乘，得出五列矩陣后，再將列元素相加，得到各狀態(tài)最終概率值.由表3可見(jiàn)，狀態(tài)S1和S2所占權(quán)重最大.真實(shí)情況下，時(shí)間t=6時(shí)狀態(tài)為S3，因此預(yù)測(cè)狀態(tài)選擇S2.

(6)計(jì)算級(jí)別特征值

根據(jù)公式(11)，取概率作用指數(shù)η=2，計(jì)算出狀態(tài)模糊數(shù)為：

d1=0.32788,d2=0.32788,d3=0.24800,
d4=0.09149,d5=0.00475.

根據(jù)公式(12)計(jì)算出級(jí)別特征值為

H=2.11734.

(7)求變量的預(yù)測(cè)值及預(yù)測(cè)誤差

由于級(jí)別特征值小于狀態(tài)，由公式(13)求得時(shí)刻6的預(yù)測(cè)值為

t6的實(shí)際值為174，所以預(yù)測(cè)誤差為

ε6=|139-174|/174≈0.2017.

2.2 結(jié)果對(duì)比

根據(jù)以上步驟，計(jì)算出其他時(shí)間的狀態(tài)，最終得到預(yù)測(cè)狀態(tài)對(duì)比見(jiàn)表4所列.

表4 預(yù)測(cè)狀態(tài)對(duì)比表

按照上述計(jì)算時(shí)刻6的預(yù)測(cè)值的方法，計(jì)算其他各時(shí)間的預(yù)測(cè)值以及預(yù)測(cè)誤差，并與文獻(xiàn)[6]中的預(yù)測(cè)誤差進(jìn)行對(duì)比，詳情見(jiàn)表5所列.

表5 預(yù)測(cè)誤差對(duì)比表

由表4可知，本文所用方法的預(yù)測(cè)狀態(tài)準(zhǔn)確率為46.7%，高于文獻(xiàn)[6]中方法得到的準(zhǔn)確率40%.

由表5可知，本文所用方法的預(yù)測(cè)誤差明顯低于文獻(xiàn)[6]中的方法得出的預(yù)測(cè)誤差.

3 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)經(jīng)典馬爾科夫鏈在預(yù)測(cè)時(shí)存在的問(wèn)題，進(jìn)行了兩個(gè)方面的改進(jìn)，首先對(duì)于無(wú)法確切劃分狀態(tài)的研究對(duì)象，引入D-S理論對(duì)初始對(duì)象進(jìn)行處理得到與其對(duì)應(yīng)的信度函數(shù)值，從而劃分了5種狀態(tài)區(qū)間.其次以規(guī)范化的各階自相關(guān)系數(shù)為權(quán)重，使其能夠體現(xiàn)不同時(shí)間歷史數(shù)據(jù)對(duì)要推斷事物趨勢(shì)的影響，并用模糊數(shù)學(xué)中的級(jí)別特征值法對(duì)預(yù)測(cè)對(duì)象進(jìn)行定量分析，計(jì)算出預(yù)測(cè)值以及預(yù)測(cè)誤差，與文獻(xiàn)[6]中的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果顯示本文的方法預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確率更高，誤差更小，表明了本文方法的有效性.