孫宇舸，葉 檸，李景宏

（東北大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110819）

表決邏輯在實(shí)際生活中具有廣泛的應(yīng)用。如何設(shè)計(jì)表決邏輯電路是組合邏輯電路的重要研究?jī)?nèi)容。

在大部分表決邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)中，通常都是以三人表決邏輯電路的設(shè)計(jì)[1-4]為例來(lái)說(shuō)明組合邏輯電路的設(shè)計(jì)方法，很少涉及五人以上的表決邏輯電路的設(shè)計(jì)。因?yàn)楫?dāng)邏輯變量個(gè)數(shù)較多時(shí)，輸入輸出的邏輯關(guān)系以及邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)和電路設(shè)計(jì)都比較復(fù)雜。但是在實(shí)際的生產(chǎn)和生活當(dāng)中，多人表決邏輯具有廣泛的需求[5]，本文就是以七人表決邏輯電路設(shè)計(jì)為例，說(shuō)明多人表決邏輯的設(shè)計(jì)方法和電路實(shí)現(xiàn)。

本文主要研究了七變量的表決電路的邏輯關(guān)系，提出了簡(jiǎn)易的七變量表決邏輯卡諾圖的化簡(jiǎn)方法，將原本復(fù)雜而龐大的七變量卡諾圖分解為4個(gè)四變量卡諾圖，實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)，從而得出七人表決邏輯的邏輯函數(shù)表達(dá)式，通過(guò)對(duì)邏輯函數(shù)表達(dá)式的分析與變換，通過(guò)數(shù)據(jù)選擇器進(jìn)一步簡(jiǎn)化電路，實(shí)現(xiàn)了七人表決邏輯電路的設(shè)計(jì)。

1 設(shè)計(jì)方法

表決邏輯電路是根據(jù)輸入狀態(tài)決定輸出狀態(tài)，因此屬于組合邏輯電路。組合邏輯電路的設(shè)計(jì)步驟[6]如圖1所示。

圖1 組合邏輯電路的設(shè)計(jì)步驟

1.1 基于邏輯功能的描述，分析事件的因果關(guān)系，確定電路的輸入邏輯變量和輸出邏輯變量

通常把事件的起因定義為輸入邏輯變量，事件的結(jié)果定義為輸出邏輯變量，并用二值邏輯的0和1對(duì)輸入和輸出變量進(jìn)行邏輯賦值[5]。

七人表決邏輯的邏輯功能為：由七人投票決定決議是否通過(guò)。當(dāng)多數(shù)人投票同意時(shí)，即同意人數(shù)大于等于4人時(shí)，表示決議通過(guò)；當(dāng)同意人數(shù)小于4人時(shí)，表示決議不被通過(guò)。因此該電路輸入變量為7個(gè)，即參與投票的7人，分別用字母A、B、C、D、E、F、G表示，“同意”定義為1，“不同意”定義為0。輸出變量表示決議是否被通過(guò)，用字母Y表示，“通過(guò)”定義為1，“不通過(guò)”定義為0。

1.2 由文字描述的邏輯功能的因果關(guān)系，列出真值表或卡諾圖

卡諾圖（Karnaugh map）是數(shù)字邏輯電路設(shè)計(jì)中的一種常用數(shù)學(xué)工具，是邏輯函數(shù)的一種圖形化表示方法，和真值表一樣可以表示邏輯函數(shù)和輸入邏輯變量之間的邏輯關(guān)系，與真值表具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，可以看做是真值表的一種變形。畫卡諾圖時(shí)，需要注意要將邏輯上相鄰的最小項(xiàng)變成幾何位置上相鄰的方格圖，做到邏輯相鄰和幾何相鄰的一致性[6]。

在七人表決邏輯中，由于輸入變量為7個(gè)，因此輸入變量的取值組合一共有27=128種，可見無(wú)論是七變量的真值表還是卡諾圖都會(huì)相當(dāng)復(fù)雜，因此本文針對(duì)表決邏輯，提出一種將七變量卡諾圖轉(zhuǎn)換為4個(gè)四變量卡諾圖的方法。

將三個(gè)輸入變量E、F、G單獨(dú)考慮，則可以將七人表決邏輯功能分為四種情況：

（1）當(dāng)EFG三個(gè)變量都為0時(shí)，即EFG=000，則A、B、C、D四個(gè)變量都為1時(shí)，輸出Y=1，其他取值組合輸出Y=0，對(duì)應(yīng)的卡諾圖如圖2所示。

圖2 七人表決邏輯卡諾圖（EFG=000）

（2）當(dāng)EFG三個(gè)變量中有一個(gè)變量為1時(shí)，即EFG=001/010/100時(shí)，則A、B、C、D四個(gè)變量中至少有三個(gè)變量為1時(shí)，輸出Y=1，其他取值組合輸出Y=0，對(duì)應(yīng)的卡諾圖如圖3所示。

圖3 七人表決邏輯卡諾圖（EFG=001/010/100）

（3）當(dāng)EFG三個(gè)變量中有兩個(gè)變量為1時(shí)，即EFG=011/101/110，則A、B、C、D四個(gè)變量至少有兩個(gè)變量為1時(shí)，輸出Y=1，其他取值組合輸出Y=0，對(duì)應(yīng)的卡諾圖如圖4所示。

圖4 七人表決邏輯卡諾圖（EFG=011/101/110）

（4）當(dāng)EFG三個(gè)變量都為1時(shí)，即EFG=111時(shí)，則A、B、C、D四個(gè)變量中至少有一個(gè)變量為1時(shí)，輸出Y=1，其他取值組合輸出Y=0，對(duì)應(yīng)的卡諾圖如圖5所示。

圖5 七人表決邏輯卡諾圖（EFG=111）

1.3 化簡(jiǎn)卡諾圖，獲得最簡(jiǎn)邏輯函數(shù)表達(dá)式

由于卡諾圖用幾何位置的相鄰表示了構(gòu)成函數(shù)的各個(gè)最小項(xiàng)在邏輯上的相鄰性，因此可以方便地求出邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)與或式，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)邏輯電路。

卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的基本原則[7]為：

（1）圈1方格得邏輯原函數(shù)，圈0方格得邏輯反函數(shù)。

（2）包圍圈必須覆蓋所有的1方格。

（3）包圍圈中1的個(gè)數(shù)必須是2n個(gè)相鄰的1。

（4）包圍圈的個(gè)數(shù)必須最少（乘積項(xiàng)最少）。

（5）包圍圈越大越好（消去的變量多）。

（6）每個(gè)包圍圈至少包含一個(gè)新的最小項(xiàng)。

根據(jù)上述原則，分別對(duì)圖2-圖5的卡諾圖進(jìn)行化簡(jiǎn)，具體的包圍圈的畫法如圖中所示：

（1）當(dāng)EFG三個(gè)變量都為0時(shí)，化簡(jiǎn)圖2卡諾圖的包圍圈，得邏輯函數(shù)表達(dá)式為：

（2）當(dāng)EFG三個(gè)變量中有一個(gè)變量為1時(shí)，化簡(jiǎn)圖3卡諾圖的包圍圈，得邏輯函數(shù)表達(dá)式為：

（ABC+ABD+ACD+BCD）（E'F'G+E'FG'+EF'G'）。

（3）當(dāng)EFG三個(gè)變量中有兩個(gè)變量為1時(shí)，化簡(jiǎn)圖4卡諾圖的包圍圈，得邏輯函數(shù)表達(dá)式為：

（4）當(dāng)EFG三個(gè)變量都為1時(shí)，化簡(jiǎn)圖5卡諾圖的包圍圈，得邏輯函數(shù)表達(dá)式為：

綜上所述，則七人表決邏輯的最簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的與或表達(dá)式為：

基于七人表決邏輯的邏輯功能描述，當(dāng)大于等于4人同意時(shí)，決議通過(guò)，按照排列組合的方法可以確定一共有C74=35種組合，在邏輯函數(shù)表達(dá)式（5）中，邏輯函數(shù)為35個(gè)與項(xiàng)的或，與分析一致。

1.4 由化簡(jiǎn)后的邏輯函數(shù)表達(dá)式畫出邏輯圖

邏輯圖是利用邏輯門來(lái)完成邏輯功能的電路圖。基于邏輯函數(shù)表達(dá)式（5），利用35個(gè)8輸入與門，4個(gè)8輸入或門，1個(gè)3輸入或門和1個(gè)5輸入或門即可實(shí)現(xiàn)七人表決邏輯的邏輯函數(shù)，基于基本邏輯門的七人表決邏輯的邏輯圖如圖6所示。

圖6 基于基本邏輯門的七人表決邏輯的邏輯圖

2 基于數(shù)據(jù)選擇器的電路設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

由圖6可以看出，基于基本邏輯門實(shí)現(xiàn)的七人表決邏輯電路需要使用41個(gè)不同輸入變量的基本邏輯門，邏輯門數(shù)量眾多，電路復(fù)雜，可考慮進(jìn)一步對(duì)電路進(jìn)行簡(jiǎn)化。

邏輯函數(shù)表達(dá)式（5）可以改寫為：

+（A+B+C+D+C）EFG。

根據(jù)八選一數(shù)據(jù)選擇器的邏輯函數(shù)：

將EFG三個(gè)變量看做八選一數(shù)據(jù)選擇器的地址輸入端A2A1A0，則有：

由此基于八選一數(shù)據(jù)選擇器74LS151實(shí)現(xiàn)的七人表決邏輯電路的電路圖如圖7所示。

圖7 基于數(shù)據(jù)選擇器的七人表決邏輯電路圖

采用數(shù)據(jù)選擇器將大大減少基本邏輯門的數(shù)量，大大簡(jiǎn)化了電路結(jié)構(gòu)，使電路更為穩(wěn)定并具有一定的可擴(kuò)展性。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了數(shù)字邏輯電路中的七人表決邏輯電路的設(shè)計(jì)方法，提出了基于表決邏輯的多變量卡諾圖的化簡(jiǎn)方法，分別采用基本邏輯門電路和數(shù)據(jù)選擇器兩種方式實(shí)現(xiàn)了七人表決邏輯電路。文章的研究方法可向多變量表決邏輯電路擴(kuò)展，為組合邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)提供了新思路。