尹旺 王翔

(北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094)

由于空間機(jī)械臂能代替航天員在復(fù)雜的太空環(huán)境中方便可靠地執(zhí)行一系列任務(wù)，因此世界各航天大國(guó)陸續(xù)開展了對(duì)空間機(jī)械臂的研制，隨著中國(guó)空間站任務(wù)的迫切需求，我國(guó)也開展了空間機(jī)械臂的研制工作[1]。

為保持無線通信通暢和保持對(duì)地姿態(tài)，航天器通常情況下有定向穩(wěn)定要求。由于機(jī)械臂和基座之間存在動(dòng)力學(xué)耦合效應(yīng)，因此空間機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)航天器產(chǎn)生的基座反力會(huì)成為姿態(tài)擾動(dòng)力，一方面反作用飛輪的控制力矩有上限，另一方面持續(xù)的姿態(tài)擾動(dòng)可能會(huì)引起反作用飛輪的飽和，飛輪飽和后需要姿控發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行噴氣卸載，而發(fā)動(dòng)機(jī)的控制力矩較大，為避免關(guān)節(jié)受到損壞，因此在噴氣過程中要求機(jī)械臂處于停控狀態(tài)，這勢(shì)必會(huì)增長(zhǎng)機(jī)械臂的任務(wù)時(shí)長(zhǎng)，這也是減少反力、減少擾動(dòng)的意義。于是人們希望通過軌跡規(guī)劃的方式使機(jī)械臂在完成規(guī)定操作的同時(shí)對(duì)平臺(tái)產(chǎn)生的反作用最小，多數(shù)研究者都是在關(guān)節(jié)空間對(duì)機(jī)械臂的路徑進(jìn)行規(guī)劃[2-5]，雖然方法的有效性得到了驗(yàn)證，但是此類方法只適用于空間點(diǎn)到點(diǎn)的任務(wù)情景。當(dāng)機(jī)械臂末端需要進(jìn)行直線或圓弧軌跡跟蹤時(shí)，應(yīng)在笛卡爾空間對(duì)機(jī)械臂的路徑進(jìn)行規(guī)劃。目前機(jī)械臂在笛卡爾空間的軌跡規(guī)劃主要還是基于速度級(jí)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，文獻(xiàn)[6]利用機(jī)械臂的冗余度，對(duì)關(guān)節(jié)力矩和操作靈活性進(jìn)行了綜合優(yōu)化，文獻(xiàn)[7]基于粒子群算法對(duì)冗余機(jī)械臂的自運(yùn)動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行了優(yōu)化，從而使關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩能耗達(dá)到最優(yōu)，但是自運(yùn)動(dòng)項(xiàng)的優(yōu)化能力有限，并不能充分發(fā)揮冗余機(jī)械臂的優(yōu)勢(shì)。

基于速度級(jí)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)得到機(jī)械臂各關(guān)節(jié)速度之后，需要對(duì)關(guān)節(jié)角速度進(jìn)行數(shù)值積分才能得到各關(guān)節(jié)的角位移，而進(jìn)行數(shù)值積分的前提是需要給定七個(gè)關(guān)節(jié)的初始角度值，七關(guān)節(jié)的初始角也稱為機(jī)械臂的初始構(gòu)型，由于七自由度機(jī)械臂存在冗余性，非奇異狀態(tài)下的機(jī)械臂有無數(shù)多種構(gòu)型[8]。當(dāng)機(jī)械臂末端需要沿著某一條路徑進(jìn)行運(yùn)行時(shí)，基于不同的初始構(gòu)型進(jìn)行軌跡規(guī)劃，航天器平臺(tái)受到的反作用也大小不一。因此，針對(duì)任何一種任務(wù)需求，本文期望通過對(duì)比分析得出機(jī)械臂最優(yōu)的初始構(gòu)型，動(dòng)作之前，將機(jī)械臂調(diào)整為最優(yōu)構(gòu)型，能大大減小其在運(yùn)行過程中對(duì)航天器產(chǎn)生的姿態(tài)干擾，同時(shí)使機(jī)械臂的操作效果更好。

1 七自由度機(jī)械臂模型的建立

機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)依賴于軌跡規(guī)劃時(shí)初始構(gòu)型的選擇，所以機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的反力也與初始構(gòu)型密切相關(guān)。因此，建立七自由度機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)模型是后續(xù)分析研究的理論基礎(chǔ)，得到機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)模型后，即可揭示機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)平臺(tái)產(chǎn)生的反作用與機(jī)械臂初始構(gòu)型之間的關(guān)系，基于此，尋求使基座反作用達(dá)到最小的初始構(gòu)型。

1.1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

根據(jù)Denavit和Hartenberg[9]提出的方法(D-H參數(shù)法)建立七自由度機(jī)械臂的坐標(biāo)系及正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，機(jī)械臂的基坐標(biāo)系{0}和各連桿的固連坐標(biāo)系{i}如圖1所示(i= 1, 2, …，7)，其中，各坐標(biāo)系的z軸與關(guān)節(jié)軸共線，x軸與連桿的公垂線重合，y軸根據(jù)右手法則確定。

圖1 空間機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)模型Fig.1 Kinematic model of space manipulator

由D-H參數(shù)法知：4個(gè)參數(shù)可唯一確定相鄰連桿之間的變換通式，七自由度機(jī)械臂的D-H參數(shù)如表1所示。其中，li是從zi到zi+1沿xi測(cè)量的距離，代表著連桿i的長(zhǎng)度；αi是從zi到zi+1繞xi旋轉(zhuǎn)的角度，代表連桿i的扭角；di是從xi-1到xi沿zi測(cè)量的距離，表示相鄰兩連桿之間的偏置；θi是從xi-1到xi繞zi旋轉(zhuǎn)的角度，表示相鄰兩連桿之間的轉(zhuǎn)角。

表1 七自由度機(jī)械臂的D-H參數(shù)Table 1 D-H parameters of 7-DOF manipulator

(1)

式(1)即為機(jī)械臂系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，表示機(jī)械臂末端相對(duì)基座的位姿與機(jī)械臂七個(gè)關(guān)節(jié)角變量θ1，θ2，…，θ7之間的關(guān)系，機(jī)械臂末端位姿可由七個(gè)關(guān)節(jié)角唯一確定。

1.2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

速度級(jí)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)是根據(jù)機(jī)械臂末端的廣義速度求解關(guān)節(jié)空間的角速度，而機(jī)械臂的雅克比矩陣可以將關(guān)節(jié)空間的速度線性映射到末端的操作速度

(2)

七自由度冗余機(jī)械臂在操作空間有無窮多個(gè)逆解，由矩陣?yán)碚撝?2)的逆解為

(3)

J+=JT(JJT+λ2I)-1

(4)

變阻尼系數(shù)λ為

(5)

式中：λ0稱為最大阻尼系數(shù)；σ為雅克比矩陣的最小奇異值，σ0為最小奇異邊界值。

位置級(jí)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)是根據(jù)機(jī)械臂末端位姿求對(duì)應(yīng)的各個(gè)關(guān)節(jié)角，本文通過關(guān)節(jié)角參數(shù)化方法求偏置式七自由度機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，給定關(guān)節(jié)1的角度值，可以獲得8組逆解，由于本文和文獻(xiàn)[8]中機(jī)械臂的初始構(gòu)型有差異，對(duì)于同一末端位姿，本文和文獻(xiàn)[8]中逆解之間的關(guān)系為

(6)

1.3 動(dòng)力學(xué)建模

保持坐標(biāo)軸方向不變，將圖1中坐標(biāo)系平移到各連桿的質(zhì)心處即可得到機(jī)械臂系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)系，根據(jù)多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)理論[10]求各連桿的絕對(duì)角速度和角加速度分別為

(7)

(8)

β=-(pT)T

(9)

σ=-TTh

(10)

(11)

機(jī)械臂系統(tǒng)各連桿的質(zhì)心速度和加速度可表示為

(12)

(13)

根據(jù)式(9)～式(13)求得的角速度、角加速度、質(zhì)心速度和質(zhì)心加速度矢量都是在基坐標(biāo)系中表示的，需要通過相應(yīng)的變換矩陣將其轉(zhuǎn)換到自身坐標(biāo)系下。

根據(jù)牛頓-歐拉方程得到各連桿在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的慣性力和慣性力矩分別為

(15)

式中：mi和ciIi為機(jī)械臂系統(tǒng)第i個(gè)連桿的質(zhì)量和相對(duì)質(zhì)心的慣性張量。遞推(i:7→1)得到七自由度機(jī)械臂的逆動(dòng)力學(xué)方程為

(17)

式中：ifi和ini分別為連桿i-1對(duì)連桿i的力和力矩在連桿坐標(biāo)系{i}中的表示，irci表示連桿i的質(zhì)心在自身坐標(biāo)系下的位置矢量，-0f1和-0n1表示機(jī)械臂對(duì)航天器平臺(tái)的反作用力和力矩，當(dāng)機(jī)械臂末端空載時(shí)，i+1fi+1=i+1ni+1=0。

2 基座反作用求解程序

當(dāng)機(jī)械臂的末端要求按照預(yù)先設(shè)定好的路徑進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)，需要采用笛卡爾空間的軌跡規(guī)劃方法，為保證機(jī)械臂運(yùn)行過程中的連續(xù)性和平穩(wěn)性，末端速度采用基本的梯形速度曲線進(jìn)行規(guī)劃。首先基于不同的初始構(gòu)型規(guī)劃出各關(guān)節(jié)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，然后根據(jù)各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)求解基座所受的反作用力矩，分析比較得出機(jī)械臂的最優(yōu)初始構(gòu)型，具體的算法實(shí)現(xiàn)過程如圖2所示。

圖2 機(jī)械臂基座反作用求解過程Fig.2 Process of solving the base reaction of manipulator

3 仿真分析

3.1 參數(shù)設(shè)置

假設(shè)機(jī)械臂末端由起點(diǎn)(-2,-2,2)到終點(diǎn)(-1.5,-1,1)做直線運(yùn)動(dòng)(相對(duì)于基坐標(biāo)系{0})，同時(shí)運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械臂的姿態(tài)始終保持不變，仿真時(shí)長(zhǎng)為11.5 s，共575步。運(yùn)行過程中機(jī)械臂末端在基座坐標(biāo)系下的姿態(tài)矩陣為

(18)

式中：R0和Rd分別為起始時(shí)刻和結(jié)束時(shí)刻的姿態(tài)矩陣。

七自由度機(jī)械臂的質(zhì)量特性參數(shù)參見文獻(xiàn)[5]，本文針對(duì)負(fù)載為0 kg、300 kg和3000 kg的3種不同工況，研究機(jī)械臂在不同的初始構(gòu)型下沿著直線運(yùn)動(dòng)對(duì)基座產(chǎn)生的反作用大小，假設(shè)將機(jī)械臂末端的負(fù)載視為附加在連桿7質(zhì)心處的質(zhì)量塊，且不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響。由上文知機(jī)械臂的初始構(gòu)型與關(guān)節(jié)角1的選取密切相關(guān)，當(dāng)關(guān)節(jié)角1給定時(shí)能求出八組逆解。采用枚舉法令關(guān)節(jié)角1在0～2π之間取值，間隔為0.1 rad，因此能夠得到512組計(jì)算結(jié)果。此處以基座反作用力矩(3個(gè)方向的合成)的最大值作為評(píng)價(jià)反作用大小的標(biāo)準(zhǔn)，即

(19)

3.2 結(jié)果分析

對(duì)于末端負(fù)載300 kg的工況，按以上程序計(jì)算所有初始構(gòu)型下機(jī)械臂產(chǎn)生的反作用力矩，對(duì)512組計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)：當(dāng)機(jī)械臂的初始構(gòu)型為[-0.48 -0.07 -2.55 1.35 -3.03 4.68 -3.20]T時(shí)，對(duì)基座產(chǎn)生的反作用峰值力矩達(dá)到最大為39.74 Nm，將此構(gòu)型記為構(gòu)型1，基于構(gòu)型1進(jìn)行直線路徑規(guī)劃時(shí)各關(guān)節(jié)的角位移和角速度如圖3所示。

圖3 基于構(gòu)型1的軌跡規(guī)劃Fig.3 Trajectory planning based on configuration 1

當(dāng)機(jī)械臂初始構(gòu)型為[3.80 0.01 -5.14 -1.28 1.05 1.56 -0.01]T時(shí)，反作用力矩峰值達(dá)到最小為18.16 Nm，將此構(gòu)型記為構(gòu)型2，基于構(gòu)型2進(jìn)行路徑規(guī)劃得到的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如圖4所示。

圖4 基于構(gòu)型2的軌跡規(guī)劃Fig.4 Trajectory planning based on configuration 2

兩種初始構(gòu)型下的基座反作用力矩對(duì)比如圖5所示，對(duì)比發(fā)現(xiàn)，按照兩種初始構(gòu)型對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行路徑規(guī)劃時(shí)，兩者在笛卡爾空間的軌跡是完全一樣的，但是在運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械臂的構(gòu)型卻大不相同，對(duì)基座產(chǎn)生的反作用峰值力矩相差近50%，且構(gòu)型1對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)角速度遠(yuǎn)大于構(gòu)型2。仿真表明，按照初始構(gòu)型2進(jìn)行軌跡規(guī)劃的效果優(yōu)于構(gòu)型1。圖6和圖7分別為基于構(gòu)型1和構(gòu)型2規(guī)劃的直線軌跡。

圖5 兩種初始構(gòu)型下的基座反作用力矩對(duì)比Fig.5 Comparison of base reaction moments under two initial configurations

圖6 基于構(gòu)型1規(guī)劃的軌跡Fig.6 Trajectory planning based on configuration 1

圖7 基于構(gòu)型2規(guī)劃的軌跡Fig.7 Trajectory planning based on configuration 2

對(duì)于零負(fù)載和3 t負(fù)載的情況，同樣按照本文第2節(jié)所述的流程進(jìn)行計(jì)算，仿真結(jié)果表明分別基于構(gòu)型1和構(gòu)型2進(jìn)行規(guī)劃會(huì)使反作用力矩峰值達(dá)到最大和最小，兩種構(gòu)型下基座受到的反作用力矩如圖8所示。對(duì)于固定基座和同樣的速度曲線，不同質(zhì)量的負(fù)載只會(huì)引起負(fù)載慣性力的變化，將其解算至各關(guān)節(jié)然后疊加空載關(guān)節(jié)力矩，遞推可得到基座的反作用力矩，因此無論末端負(fù)載多大，基于構(gòu)型2進(jìn)行規(guī)劃產(chǎn)生的反作用力矩峰值均小于構(gòu)型1。

圖8 不同初始構(gòu)型下的基座反作用力矩比較Fig.8 Comparison of base reaction moments under different initial configurations

4 結(jié)束語

基于不同的初始構(gòu)型對(duì)七自由度空間機(jī)械臂進(jìn)行了直線規(guī)劃，研究了機(jī)械臂初始構(gòu)型對(duì)基座反作用力矩的影響。通過仿真得出的結(jié)論為：①對(duì)于笛卡爾空間的某一條規(guī)劃軌跡，通過調(diào)整機(jī)械臂的初始的構(gòu)型,能大幅減小機(jī)械臂在運(yùn)行過程中對(duì)基座產(chǎn)生的反作用力矩。當(dāng)機(jī)械臂末端負(fù)載分別為0、300 kg和3 t時(shí)，通過調(diào)整初始構(gòu)型能使航天器平臺(tái)受到的反作用力矩峰值減小88%、54%和11%。②在工程實(shí)際中，根據(jù)本文方法能夠在機(jī)械臂無數(shù)的初始構(gòu)型中找到一種最優(yōu)的構(gòu)型，基于此構(gòu)型進(jìn)行笛卡爾空間的軌跡規(guī)劃時(shí)，使得機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過程中航天器平臺(tái)受到的反作用力矩峰值最小，因此減小了干擾力矩超出反作用飛輪控制力矩從而造成航天器姿態(tài)失控的風(fēng)險(xiǎn)。