吳 曼，朱紅波

(東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林 長春 130024)

近年來，PT對稱性及與其相關(guān)的動力學(xué)特征引起了廣泛關(guān)注[1-4]，例如單光子的散射問題[2].量子力學(xué)中的PT對稱性很難通過實驗證實[5-9]，但PT對稱的光學(xué)系統(tǒng)，卻可以通過在光學(xué)中采用相等的增益和耗散來實現(xiàn)[10].具有PT對稱性的一維耦合腔陣列體系中的單光子傳輸展示了豐富的特點[11-16].研究光子在耦合諧振器低維陣列中的傳播對實現(xiàn)全光量子器件起著關(guān)鍵作用[17-20].

本文的研究對象為具有PT對稱性的一維無限長耦合腔陣列.調(diào)制體系內(nèi)腔間耦合強度時，討論在腔模失諧情況下單光子散射行為的改變.對比腔模共振情況下的單光子散射，分析失諧對單光子傳輸?shù)挠绊?在制備一個原子在陣列中時，研究了單光子散射的變化.

1 PT對稱腔陣列體系模型

體系模型如圖1所示，這是一個具有PT對稱性的一維無限長耦合腔陣列體系，其中體系的散射核部分由9個腔組成(虛線框部分)，并設(shè)置-4腔為耗散腔，4腔為增益腔.

圖1 散射核設(shè)計為9個腔的PT對稱耦合腔陣列

體系的哈密頓量為

(1)

把單激發(fā)子空間的本征波函數(shù)表達為

(2)

將(2)式代入定態(tài)薛定諤方程H|ψk〉=Ek|ψk〉中，可以得到本征值為Ek=ω+2ξcosk，同時單光子在各腔中傳播的幾率幅之間的關(guān)系為：

ω1Uk(-4)+ξ[Uk(-3)+Uk(-5)]-iγUk(-4)=EkUk(-4)；
ω1Uk(-3)+ξ[Uk(-2)+Uk(-4)]=EkUk(-3)；
ω1Uk(-2)+ξ[Uk(-1)+Uk(-3)]=EkUk(-2)；
ω1Uk(-1)+ξ[Uk(0)+Uk(-2)]=EkUk(-1)；
ω1Uk(0)+ξ[Uk(1)+Uk(-1)]=EkUk(0)；
ω1Uk(1)+ξ[Uk(0)+Uk(2)]=EkUk(1)；
ω1Uk(2)+ξ[Uk(1)+Uk(3)]=EkUk(2)；
ω1Uk(3)+ξ[Uk(2)+Uk(4)]=EkUk(3)；
ω1Uk(4)+ξ[Uk(3)+Uk(5)]+iγUk(4)=EkUk(4).

(3)

結(jié)合單光子從左側(cè)入射時，對應(yīng)的概率幅表達式為

(4)

結(jié)合式(3)、(4)式得到反射系數(shù)rL以及透射系數(shù)tL的表達式，反射率和透射率為

在文獻[21]中，分析了各因素對單光子傳輸?shù)挠绊懸约耙鸬娜瓷洮F(xiàn)象等.本文主要探究當(dāng)散射核腔模頻率與兩側(cè)腔場腔模頻率不同，同時調(diào)制腔之間耦合強度的大小，即失諧情況下單光子散射行為的變化.

2 失諧對PT對稱腔陣列體系單光子散射的影響

2.1 失諧對單光子散射的影響

定義陣列的散射核之外腔的頻率為ω，散射核的各腔頻率為ω1，頻率差值為失諧δ=ω-ω1.在相同的頻率失諧條件下，腔之間的耦合強度不同時，光子的反射和透射有很大不同.例如當(dāng)頻率差δ較小，同時耦合強度不屬于弱耦合范疇時，大失諧條件不一定滿足.只有當(dāng)耦合強度相比δ很小時，大失諧動力學(xué)才滿足，已經(jīng)有很多近似的動力學(xué)解析工作分析了在核外與核內(nèi)腔間頻率失諧取一定值時，單光子的散射和透射與耦合強度之間的關(guān)系.

具有頻率失諧的單光子散射圖如圖2所示(增益(耗散)率為0.02，固定波矢為π/8，頻率失諧量分別取為1.5(紅)和1.7(藍(lán)))，以腔間耦合強度ξ為橫坐標(biāo)，取一定的失諧量δ=ω-ω1，分析具有固定波矢光子的反射和透射行為.

(a)光子的反射率 (b)光子的透射率

為清晰起見，列出圖2的具體參數(shù)，如表1所示.

表1 圖2對應(yīng)的參數(shù)

圖2分別為失諧狀態(tài)下的單光子反射和透射率圖像.由圖2可以看出，增大頻率失諧，反射率與透射率圖像均向左平移，但變化趨勢基本保持不變.因此可以得出失諧大小的改變并不影響反射率與透射率圖像變化趨勢，但可以通過調(diào)節(jié)頻率失諧來實現(xiàn)反射率與透射率圖像的水平遷移.當(dāng)頻率失諧增大時，滿足相同的失諧條件的耦合強度ξ的值可以相對增大，或者對耦合強度要求條件會放寬.體現(xiàn)為無論對反射還是透射來說，當(dāng)頻率的失諧改變時，圖像均同向平移.

同時可以看出，隨著失諧的增加，能夠?qū)崿F(xiàn)全反射零透射的區(qū)域變寬.隨著耦合強度的增加，反射率的峰值逐漸增大，透射率的峰值基本保持不變.當(dāng)耦合強度增加到一定值時，反射率與透射率均不改變.

2.2 正負(fù)失諧對單光子散射的影響

正負(fù)失諧就是說對于一個δ=ω-ω1來說，可以調(diào)制相反的失諧量，也就是ω-ω1=-δ.可以對比一下剛好相反的頻率失諧的影響.正負(fù)失諧對單光子散射的影響見圖3，其中增益(耗散)率為0.02，固定波矢為π/8，頻率失諧量分別為2.5(紅)和-2.5(紫).正負(fù)失諧對單光子散射行為的影響見圖4，其中耦合強度ξ取定，不同波矢的光的反射和透射不同.增益(耗散)率取0.1，固定耦合強度ξ=2，頻率失諧量分別為0.5(黃)和-0.5(藍(lán)).

(a)光子的反射 (b)光子的透射

(a)光子的反射 (b)光子的透射

將圖3和4的參數(shù)進行對比，如表2所示.圖3是以耦合強度ξ為橫坐標(biāo)，正負(fù)失諧的反射率透射率圖像.當(dāng)失諧大小相同時，正負(fù)失諧的反射透射行為完全對稱.圖4是以波矢量為橫坐標(biāo)，正負(fù)失諧的反射率透射率圖像.當(dāng)失諧大小相同時，正負(fù)失諧的散射行為不再對稱.正失諧時反射率與透射率的峰值均略大于負(fù)失諧時的峰值.說明一維無限長耦合腔陣列中的散射核就像一個光子開關(guān)，適當(dāng)?shù)恼{(diào)控散射核的參數(shù)可以控制單光子在一維耦合腔陣列中的傳輸行為.

表2 圖3和圖4對應(yīng)的參數(shù)

對比頻率失諧剛好相反時，分析了耦合強度單光子散射的影響以及不同波矢的單光子散射.結(jié)果顯示，單光子散射與耦合強度和光的波矢密切相關(guān).這些討論都基于整個陣列的腔的耦合均一，也就是說散射核的耦合與核外兩個半無限長陣列的耦合強度完全相同.與之前的工作采取類似的調(diào)制方式[21]，我們設(shè)計散射核內(nèi)部腔之間和核外的腔之間程度不同時，分析失諧情況下光子的反射和透射特點.

2.3 調(diào)制散射核的耦合強度對單光子散射的影響

本節(jié)分析了散射核內(nèi)部腔之間耦合強度與核外腔間耦合強度不同時，對比二者頻率共振與失諧兩種情況下的反射率和透射率行為.也就是分析耦合強度不一致時，單光子散射行為隨波矢量的變化情況以及改變散射核耦合強度對單光子散射的影響.因為需要調(diào)制散射核的耦合強度，所以將散射核兩側(cè)陣列的腔之間耦合強度用β表示，β固定為2，本征值方程變?yōu)镋k=ω+2βcosk

相同的頻率失諧δ=ω-ω1=0.5，不同的散射核耦合強度下的單光子散射見圖5，其中增益(耗散)率為0.1，頻率失諧量為0.5，散射核耦合強度為2(紅)和1(紫).共振時改變散射核的耦合系數(shù)，單光子散射行為的變化圖像見圖6，其中增益(耗散)率為0.1，頻率失諧量為δ=ω-ω1=0，散射核耦合強度為2(藍(lán))和1(黃).頻率共振時，減小散射核的耦合系數(shù)，在波矢k=0附近，反射率與透射率峰值明顯增大，但反射率為0的區(qū)域變窄.說明共振狀態(tài)下，腔間耦合作用減弱，單光子散射性能增強.

失諧狀態(tài)下，減小散射核的耦合強度，反射率與透射率的峰值增加，但比共振時增加的少.說明失諧可以從一定程度上抑制耦合作用，減弱所產(chǎn)生的散射性能.從動力學(xué)分析來說，當(dāng)頻率失諧減小，同時耦合強度減弱時，整個失諧條件不一定會加強，也就是單純耦合減弱所帶來的必然效應(yīng)不太強.這是本文考慮頻率失諧的同時必須結(jié)合耦合強度來進行分析的主要原因.共振時，除了在相變點附近，其他位置均為全透射零反射.但由于失諧的存在，單光子出現(xiàn)了反射行為，但反射能力較透射能力弱.圖5和6對應(yīng)的參數(shù)見表3.

(a)光子的反射率 (b)光子的透射率

(a)光子的反射率 (b)光子的透射率.

顏色增益率γ兩側(cè)腔的耦合強度失諧δ=ω-ω1散射核耦合強度紅線0.120.52紫線0.120.51藍(lán)線0.120.02黃線0.120.01

2.4 失諧時增益/耗散對單光子散射的影響

本文的散射核部分存在增益和耗散，探討了保持耦合強度不變，改變增益與耗散的程度，頻率失諧和共振情況下單光子的散射的規(guī)律.分析增益/耗散對單光子散射的影響，整個腔陣列的鄰腔耦合強度統(tǒng)一為2.頻率失諧與共振時增益對單光子的反射與透射的影響見圖7，其中保持耦合強度不變，改變增益(耗散)率和頻率失諧.圖7對應(yīng)參數(shù)見表4.

表4 圖7對應(yīng)的參數(shù)

圖7(a)和(b)為頻率失諧時改變散射核增益(耗散)率的單光子的反射和透射率.圖7(c)和(d)為頻率共振時改變散射核的增益(耗散)率的單光子反射和透射率.共振時，增大散射核的增益(耗散)率，反射率透射率的峰值明顯增加.可見共振狀態(tài)下，增益(耗散)率增大，單光子散射性能增強.并且共振狀態(tài)下單光子透射具有波矢對稱性.失諧狀態(tài)下，增大散射核的增益(耗散)率，反射率的峰值增加，但增加不明顯，透射率基本保持不變.說明失諧狀態(tài)可以從一定程度上抑制增益增強所產(chǎn)生的散射性能.

(a)光子反射率，頻率失諧δ=0.5，增益(耗散)率γ=0.13(紅)，γ=0.1(紫)；(b)光子透射率，頻率失諧δ=0.5，增益(耗散)率γ=0.13(紅)，γ=0.1(紫)；(c)光子反射率，增益(耗散)率γ=0.13(藍(lán))，γ=0.1(黃)；(d)光子透射率.增益(耗散)率γ=0.13(藍(lán))，γ=0.1(黃)

3 總結(jié)

本文在散射核與兩側(cè)陣列腔之間頻率失諧情形下，研究了單光子在具有PT對稱性的一維無限長腔陣列中的傳播，并與頻率共振條件下的單光子散射行為進行了對比.

對于固定波矢的光來說，頻率失諧會造成反射與透射圖像隨著耦合強度的平移.這是與動力學(xué)失諧條件相符的.同時，隨著失諧增加，在耦合強度域里全反射區(qū)域會變寬.而正失諧時反射率與透射率的峰值均略大于負(fù)失諧時的峰值.這說明一維無限長耦合腔陣列中的散射核就像一個光子開關(guān)，適當(dāng)?shù)恼{(diào)制散射核的參數(shù)可以控制單光子在一維耦合腔陣列中的傳輸行為.同時可以改變增益/耗散腔的位置進行協(xié)助調(diào)控.調(diào)整散射核內(nèi)與核外陣列腔內(nèi)的耦合強度，觀察到光的反射率隨散射核內(nèi)耦合強度減弱而增大的特點.在頻率失諧情況下，增大散射核的增益(耗散)率，光的反射會發(fā)生較小的增強.

失諧對單光子反射透射行為的影響分析可以幫助我們更好地調(diào)控單光子在一維耦合腔的傳輸過程，為量子開關(guān)的實現(xiàn)提供科學(xué)幫助.可以預(yù)見，當(dāng)在這個陣列中制備一個或多個原子時，體系會展示出更豐富的動力學(xué)，以及有更廣泛的應(yīng)用.