張 晶，劉雨東，王 皓，蘇 巖，朱欣華

（南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094）

靜電負(fù)剛度調(diào)諧加速度計(jì)（Electrostatic Negative Stiffness Frequency Modulation Accelerometer, EFMA）基于硅微機(jī)械加工工藝制作而成，通過加速度產(chǎn)生的位移引起諧振器與靜電調(diào)諧電極間的電容變化，利用靜電負(fù)剛度軟化諧振器固有頻率的原理實(shí)現(xiàn)了加速度的頻率調(diào)制，通過檢測敏感質(zhì)量塊自身諧振頻率的變化來感測加速度[1,2]，實(shí)現(xiàn)了加速度a—位移x—頻率f的傳遞。該原理結(jié)合了諧振式加速度計(jì)[3-5]的頻率檢測不易受電路噪聲干擾與電容式加速度計(jì)[6-8]靜電梳齒位移變化的溫度系數(shù)較低的特點(diǎn)，使EFMA 具有兼顧兩種加速度計(jì)相關(guān)優(yōu)點(diǎn)的潛力。目前沒有專門針對EFMA 測控電路的報(bào)道，一般采用類似諧振式加速度計(jì)的自激振蕩閉環(huán)驅(qū)動(dòng)和高精度測頻電路的測控電路，開環(huán)檢測頻率的方式讀取信號[3,9,10]；相比于同是頻率檢測的諧振式加速度計(jì)，EFMA 諧振器的溫度特性更接近于硅材料的溫度特性，易于補(bǔ)償[11]，但該方案為了實(shí)現(xiàn)靜電調(diào)諧，通常需要在諧振器上設(shè)計(jì)大量平板電容以提高標(biāo)度因數(shù)，因此相比于諧振式加速度計(jì)，EFMA 的諧振器在開環(huán)檢測狀態(tài)下的電容變化極易受到非線性影響，很大程度上限制其量程的進(jìn)一步提升，只能在±1 g 的量程內(nèi)實(shí)現(xiàn)較好的線性度，制約其應(yīng)用范圍[9,12]。

早期的電容式加速度計(jì)也存在量程小的問題，通過力平衡閉環(huán)檢測的控制方式將結(jié)構(gòu)的平衡位置鎖定在初始位置，將位移量轉(zhuǎn)換為電壓作為控制量反饋的輸入端，平衡外界輸入加速度產(chǎn)生的慣性力，以避免靜電負(fù)剛度效應(yīng)引起較大的非線性，實(shí)現(xiàn)大的量程和高線性的標(biāo)度因數(shù)，從而提升整表性能，有效降低平板電容非線性效應(yīng)的影響[13,14]。然而相比于電容式加速度計(jì)，EFMA 是頻率檢測，無法直接檢測質(zhì)量塊的位移量，若想實(shí)現(xiàn)力平衡則需根據(jù)其靜電負(fù)剛度調(diào)諧原理選取包含諧振頻率的力平衡控制量；而采用頻率值作為反饋量，則測頻電路也需納入閉環(huán)控制環(huán)路，其性能將直接影響整體環(huán)路的性能。因此，在合理選取力平衡控制量、保證測頻精度的同時(shí)，也需要提升測頻電路的線性、實(shí)時(shí)性等性能。

針對現(xiàn)有研究中存在的不足，本文根據(jù)EFMA 靜電調(diào)諧的原理，推導(dǎo)獲取實(shí)際可行的力平衡控制量，提出EFMA 專用的力平衡控制方法，并實(shí)現(xiàn)了對應(yīng)力平衡檢測電路的設(shè)計(jì)；最后搭建了EFMA 實(shí)驗(yàn)室樣機(jī)及測試系統(tǒng)，完成關(guān)鍵性能的測試，對比了開環(huán)檢測和力平衡閉環(huán)檢測電路的量程與標(biāo)度因數(shù)非線性，驗(yàn)證了該力平衡控制方法的可行性與優(yōu)勢。

1 EFMA 靜電負(fù)剛度調(diào)諧原理

如圖1(a)所示，EFMA 敏感結(jié)構(gòu)由兩個(gè)相似的諧振器組成，每個(gè)諧振器由兩個(gè)敏感質(zhì)量塊以及一些連接梁（錨點(diǎn)與質(zhì)量塊的支撐梁、質(zhì)量塊之間的諧振連接梁）組成；每個(gè)敏感質(zhì)量塊包括一對差分驅(qū)動(dòng)梳齒，一對差分檢測梳齒和用于靜電調(diào)諧的平行板電容組成。兩個(gè)質(zhì)量塊構(gòu)成一個(gè)諧振器，這兩個(gè)質(zhì)量塊的同向運(yùn)動(dòng)模態(tài)為加速度敏感模態(tài)（如圖1(b)），兩質(zhì)量塊的反向振動(dòng)模態(tài)為加速度調(diào)制模態(tài)（如圖1(c)）。在設(shè)計(jì)的過程中，反向模態(tài)（加速度調(diào)制）高Q 值，降低機(jī)械噪聲，實(shí)現(xiàn)較高的分辨率；同向模態(tài)（加速度敏感）低Q 值，保證結(jié)構(gòu)的機(jī)械帶寬[15]。

圖1 EFMA 敏感結(jié)構(gòu)及諧振器振動(dòng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of EFMA structure and resonator vibration

EFMA 的諧振器靜電負(fù)剛度調(diào)諧原理簡化為質(zhì)量-彈簧-阻尼二階線性系統(tǒng)，如圖2 所示。

圖2 簡化的EFMA 諧振器動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Simplified EFMA resonator dynamic model

當(dāng)有外界加速度加在EFMA 上時(shí)，質(zhì)量塊會(huì)受到慣性力而發(fā)生偏移，受力平衡如下：

其中，x 為質(zhì)量塊的位移，m 為質(zhì)量塊質(zhì)量，c 為系統(tǒng)阻尼，k 為等效剛度，電力Fe的大小可以表示為[15]：

其中，C 為極板之間電容，V 為調(diào)諧電壓。

EFMA 是變間距電容檢測，一個(gè)諧振器的極板總電容計(jì)算為[11]：

其中C1和C2為可動(dòng)極板和兩端固定極板形成的平板電容，ε0為相對介電常數(shù)，N 為電極對數(shù)，d1和d2為調(diào)諧電極左右極板分別與質(zhì)量塊極板的間距，S 為極板之間正對的面積。

將式(3)代入式(2)可得靜電力Fe為：

靜電力Fe會(huì)使得系統(tǒng)穩(wěn)定在一個(gè)新的平衡位置，進(jìn)一步引起靜電剛度ke發(fā)生改變。由于ke會(huì)軟化系統(tǒng)等效剛度k，所以稱其為靜電負(fù)剛度，可以通過計(jì)算單位位移上靜電力變化量獲得：

系統(tǒng)的固有諧振角頻率可以表示為[9]：

開環(huán)檢測模式下，EFMA 的標(biāo)度因數(shù)為：

2 EFMA 力平衡控制方法理論分析

靜電負(fù)剛度的非線性效應(yīng)導(dǎo)致加速度計(jì)標(biāo)度因數(shù)非線性過大，量程難以提升；而力平衡閉環(huán)控制可以通過對調(diào)諧電壓進(jìn)行調(diào)控（開環(huán)檢測模式下調(diào)諧電壓恒定），能夠讓質(zhì)量塊一直穩(wěn)定在初始位置，最大限度減弱靜電負(fù)剛度非線性效應(yīng)的影響[16]。但由于EFMA 不是位移檢測的模式，很難直接控制位移實(shí)現(xiàn)力平衡，因此，本文從力平衡的最終目標(biāo)出發(fā)，基于EFMA 頻率輸出的特點(diǎn)推導(dǎo)與頻率相關(guān)的力平衡控制量，以實(shí)現(xiàn)質(zhì)量塊穩(wěn)定在初始位置的根本目的。

2.1 EFMA 的力平衡控制量選取與模型搭建

實(shí)現(xiàn)EFMA 的力平衡需保證質(zhì)量塊維持在初始平衡位置，即d1和d2的距離不發(fā)生改變，位移x 為零，假設(shè)初始調(diào)諧電壓為V0，則由式(4)可得初始靜電力Fe0為：

同時(shí)，式(5)可以簡化為：

將式(9)代入式(6)可得：

其中令

將式(11)代入式(10)可以簡化表達(dá)為：

其中α 、β 是只與結(jié)構(gòu)相關(guān)的參數(shù)。

因此，可以通過控制諧振角頻率ωn和調(diào)諧電壓V 使其滿足式(12)中的固定關(guān)系，即可實(shí)現(xiàn)敏感結(jié)構(gòu)的力平衡狀態(tài)，保證質(zhì)量塊能夠一直穩(wěn)定在初始位置不變化。搭建如圖3 所示的力平衡閉環(huán)檢測系統(tǒng)反饋環(huán)路理論模型，根據(jù)輸入的角頻率值ωn產(chǎn)生對應(yīng)的調(diào)諧電壓V 控制敏感結(jié)構(gòu)質(zhì)量塊的位置。

圖3 力平衡閉環(huán)檢測電路理論框圖Fig.3 Theoretical block diagram of force balance closed loop detection circuit

2.2 EFMA 力平衡控制的標(biāo)度因數(shù)分析

當(dāng)有加速度a 輸入的情況下，改變調(diào)諧電壓Vt即可改變靜電力，從而平衡質(zhì)量塊在加速度環(huán)境中產(chǎn)生的慣性力ma：

由式(13)可得調(diào)諧電壓V 和加速度a 的關(guān)系為：

代入式(10)，加速度a 與諧振角頻率ωn的關(guān)系為：

其中令：

將式(16)代入式(15)化簡得到閉環(huán)檢測控制中加速度a與諧振頻率ωn的物理關(guān)系：

式中φ、φ 為只與結(jié)構(gòu)相關(guān)的參數(shù)。進(jìn)一步可得力平衡檢測模式下EFMA 的標(biāo)度因數(shù)SFcl：

將本課題組設(shè)計(jì)的EFMA 結(jié)構(gòu)參數(shù)分別代入式(7)和式(18)，改變圖1 所示調(diào)諧電容間距d1，繪制開環(huán)檢測和閉環(huán)檢測模式下標(biāo)度因數(shù)與d1之間的曲線，如圖4 所示。

圖4 開環(huán)、閉環(huán)檢測模式標(biāo)度因數(shù)對比Fig.4 Comparison of scale factors in open-loop and closed-loop detection modes

分析可知，在力平衡閉環(huán)檢測模式下，標(biāo)度因數(shù)與電容間距d1非線性正相關(guān)（同理適用于電容間距d2），標(biāo)度因數(shù)能達(dá)到的最大值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于開環(huán)檢測模式，力平衡閉環(huán)檢測模式下標(biāo)度因數(shù)有更大的提升空間。為避免靜電吸合，本結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)最終選取d1=12 μm，開環(huán)檢測的標(biāo)度因數(shù)為5 Hz/g，閉環(huán)標(biāo)度因數(shù)提升到24.5 Hz/g。

3 力平衡閉環(huán)檢測電路設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

如圖3 所示的力平衡環(huán)路模型中有平方模塊，因此反饋環(huán)路為非線性系統(tǒng)，其分析方法是在其穩(wěn)定點(diǎn)附近進(jìn)行線性展開[17]，即調(diào)諧電壓Vt的平方模塊進(jìn)行線性展開，設(shè)置平衡點(diǎn)的調(diào)諧電壓值Vt0為10 V，相當(dāng)于一個(gè)固定的增益值Ks=10。此時(shí)閉環(huán)反饋的環(huán)路增益為Kf=KeKSβ。力平衡閉環(huán)檢測系統(tǒng)線性化為一階系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)Hf(s)可以表示為：

經(jīng)過simulink 仿真與實(shí)際調(diào)試，確定最終參數(shù)如表1 所示。利用FPGA 數(shù)字電路模塊實(shí)現(xiàn)力平衡檢測電路，硬件平臺使用Digilent 公司的Nexys4 DDR 開發(fā)板，開發(fā)板上搭載了Xilinx 公司的Artix-7 FPGA 芯片。在Vivado 中搭建了如圖5 所示的力平衡檢測電路，其中平方模塊和閉環(huán)驅(qū)動(dòng)電路中的解調(diào)乘法模塊類似，均利用乘法器實(shí)現(xiàn)。

表1 閉環(huán)檢測電路參數(shù)值Tab.1 Closed loop detection circuit parameter value

與開環(huán)檢測不同，力平衡閉環(huán)檢測控制電路采用測量頻率值作為反饋量，測頻電路處在閉環(huán)控制環(huán)路中，其性能直接影響著整體環(huán)路的性能。對于測頻電路的性能要求不僅僅要保證測頻精度，同時(shí)對線性、實(shí)時(shí)性等性能也有要求。因此，圖3 所示的測頻電路采用基于鎖相環(huán)（Phase locked loop, PLL）的測頻環(huán)路，它既能在閉環(huán)驅(qū)動(dòng)電路中鎖定EFMA 諧振器的固有諧振頻率，提供電路中的解調(diào)參考信號，又能為力平衡檢測環(huán)路能夠直接輸出精確的頻率值。其數(shù)字振蕩器與頻率成線性關(guān)系，可以根據(jù)需要調(diào)節(jié)時(shí)鐘頻率達(dá)到很高的實(shí)時(shí)性。

圖6 為EFMA 整體數(shù)字電路RTL 總視圖，PLL作為閉環(huán)驅(qū)動(dòng)電路的反饋端也作為力平衡頻率信號的輸入端。最終搭建如圖7 所示的力平衡閉環(huán)檢測電路系統(tǒng)，信號發(fā)生器產(chǎn)生一組不同頻率的正弦波信號，信號直接通過模/數(shù)轉(zhuǎn)換器ADC 進(jìn)入數(shù)字力平衡環(huán)路中，經(jīng)過如圖5 所示的力平衡閉環(huán)控制與信號處理，即可在數(shù)/模轉(zhuǎn)換器DAC 的輸出端采集調(diào)諧電壓信號，如表2 所示?？梢钥闯鰯?shù)字力平衡環(huán)路的控制精度優(yōu)于千分之一，驗(yàn)證了力平衡控制環(huán)路的正確性，環(huán)路可以完成精確測頻以及產(chǎn)生正確的調(diào)諧電壓保證ωn2+βVt2為常數(shù)。

圖5 力平衡數(shù)字閉環(huán)檢測電路RTL 視圖Fig.5 RTL view of force balance digital closed loop detection circuit

圖6 整體數(shù)字電路RTL 視圖Fig.6 RTL view of the overall digital circuit

圖7 力平衡閉環(huán)檢測電路驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)設(shè)備圖Fig.7 Force balance closed-loop detection circuit verification experimental equipment diagram

表2 力平衡反饋環(huán)路驗(yàn)證試驗(yàn)采集結(jié)果Tab.2 Force balance feedback loop verification test results

4 EFMA 樣機(jī)性能測試及分析

根據(jù)EFMA 的工作原理及開環(huán)檢測和力平衡閉環(huán)檢測電路兩種檢測模式，構(gòu)建EFMA 實(shí)驗(yàn)樣機(jī)。圖8 為MEMS 結(jié)構(gòu)芯片經(jīng)陶瓷管殼封裝完后的加速度計(jì)表頭，將其焊接在模擬電路PCB 上，模擬電路、ADC電路、DAC 電路通過PCB 實(shí)現(xiàn)，閉環(huán)驅(qū)動(dòng)與檢測控制電路在FPGA 中實(shí)現(xiàn)，如圖9 為實(shí)驗(yàn)室樣機(jī)實(shí)物。

圖8 陶瓷管殼封裝的EFMA 結(jié)構(gòu)芯片F(xiàn)ig.8 EFMA die in ceramic package

圖9 EFMA 實(shí)驗(yàn)樣機(jī)實(shí)物圖Fig.9 The Experimental prototype of EFMA

依據(jù)《IEEE 線性、單軸、無回旋裝置加速度計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范格式指南和試驗(yàn)規(guī)程》，分別在開環(huán)和閉環(huán)檢測模式下對EFMA 樣機(jī)進(jìn)行標(biāo)度因數(shù)、標(biāo)度因數(shù)穩(wěn)定性、零偏穩(wěn)定性、量程和標(biāo)度因數(shù)非線性測試（測試環(huán)境如圖10 所示）。圖11 為開環(huán)檢測模式和閉環(huán)檢測模式的輸出頻率f-加速度a 曲線圖。

圖10 EFMA 關(guān)鍵性能測試環(huán)境Fig.10 EFMA key performance test environment

圖11 兩種檢測模式下輸出頻率f-加速度a 關(guān)系曲線圖Fig.11 The prototype’s f-a curve in two detection modes

結(jié)果表明，開環(huán)檢測模式下EFMA 測量加速度量程為±1.6 g 時(shí)標(biāo)度因數(shù)非線性小于1000 ppm；如果將量程擴(kuò)大到±5 g，則標(biāo)度因數(shù)非線性高達(dá)3452 ppm，繼續(xù)增大量程樣機(jī)會(huì)因靜電力吸合效應(yīng)造成電路短路現(xiàn)象無法正常工作；而閉環(huán)檢測模式下EFMA 量程可以達(dá)到±25g，標(biāo)度因數(shù)非線性為953 ppm。

分別對兩種不同檢測方式下加速度計(jì)的輸出信號進(jìn)行采集，1 小時(shí)零偏數(shù)據(jù)的噪聲功率譜密度如圖12 所示，由此可讀取開環(huán)和閉環(huán)檢測模式下的樣機(jī)本底噪聲。兩種檢測方式對應(yīng)的6 項(xiàng)性能測試結(jié)果見表3?？梢钥闯?，本文提出的力平衡閉環(huán)檢測控制方法在不影響EFMA零偏穩(wěn)定性以及標(biāo)度因數(shù)穩(wěn)定性的前提下，大大提升了EFMA 的標(biāo)度因數(shù)和量程，改善了標(biāo)度因數(shù)非線性，從而驗(yàn)證了力平衡閉環(huán)檢測控制方式的可行性和優(yōu)越性。

圖12 開環(huán)檢測和閉環(huán)檢測模式噪聲功率譜密度對比分析Fig.12 Comparasion of noise power spectrum density between open loop and closed loop detection mode

表3 開環(huán)、閉環(huán)檢測對應(yīng)的EFMA 性能Tab.3 EFMA performance corresponding to open loop and closed loop detection

5 結(jié) 論

本文針對靜電負(fù)剛度調(diào)諧加速度計(jì)（EFMA）標(biāo)度因數(shù)非線性差、量程低的特點(diǎn)，開展其專用力平衡閉環(huán)檢測控制方法研究。首先闡述了EFMA 的敏感結(jié)構(gòu)及工作原理，著重介紹了新型EFMA 閉環(huán)檢測電路的力平衡控制量選取，并對比了開環(huán)、閉環(huán)兩種頻率檢測模式對標(biāo)度因數(shù)的影響。在此基礎(chǔ)上搭建力平衡控制電路理論模型并對復(fù)雜模型進(jìn)行簡化，根據(jù)電路性能要求設(shè)計(jì)電路參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了新型閉環(huán)檢測電路。通過性能實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，在保證EFMA 零偏穩(wěn)定性、標(biāo)度因數(shù)穩(wěn)定性不受影響的情況下，將其標(biāo)度因數(shù)從5 Hz/g 提升到了24.5 Hz/g，量程從±1g 提升到了±25g，驗(yàn)證了該控制方法的可行性與優(yōu)勢。該研究針對頻率檢測探討適合的閉環(huán)控制方法，為EMFA 增大量程應(yīng)用范圍提供了一種可行的技術(shù)途徑，同時(shí)對于其他諧振式器件的閉環(huán)檢測也有一定參考意義。