周燁

（常州劉國鈞高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校，江蘇 常州 213000）

1 概述

數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)工具如MATLAB 現(xiàn)已滲透到各個(gè)工程領(lǐng)域并開展了廣泛深入的應(yīng)用，正是這些應(yīng)用的廣泛和深入推廣，推動(dòng)了工程領(lǐng)域的高速發(fā)展。在工程領(lǐng)域，全向移動(dòng)機(jī)器人具有平面內(nèi)三個(gè)自由度（即具有全向移動(dòng)性），適合在狹小的工作空間內(nèi)移動(dòng)[1]。經(jīng)查閱文獻(xiàn)，國內(nèi)對主動(dòng)腳輪研究甚少，僅在文獻(xiàn)[2]中進(jìn)行了研究，其研究方向側(cè)重于控制算法研究[2]。同時(shí)，文獻(xiàn)[3]表明主動(dòng)腳輪是全向移動(dòng)機(jī)器人的理想行走機(jī)構(gòu)。因此，本文對機(jī)器人腳輪展開研究，利用腳輪基本的幾何和運(yùn)動(dòng)關(guān)系，構(gòu)建并推導(dǎo)了腳輪速度的數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)式及運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型，同時(shí)進(jìn)一步采用數(shù)學(xué)仿真工具M(jìn)ATLAB 對其進(jìn)行仿真計(jì)算，獲得了該腳輪的運(yùn)動(dòng)學(xué)解，驗(yàn)證了本文所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型的正確性，為機(jī)器人腳輪及相近領(lǐng)域提供一定的分析參考。

2 移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 移動(dòng)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)簡述

機(jī)器人主動(dòng)腳輪具有驅(qū)動(dòng)能力，主動(dòng)腳輪具有驅(qū)動(dòng)電機(jī)和轉(zhuǎn)向電機(jī)兩個(gè)電機(jī)同時(shí)驅(qū)動(dòng)。其結(jié)構(gòu)有驅(qū)動(dòng)電機(jī)、齒輪、皮帶等。

2.2 機(jī)器人腳輪滑動(dòng)的數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)

2.3 腳輪運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建立

根據(jù)兩腳輪的幾何關(guān)系，同時(shí)對角度以時(shí)間進(jìn)行求導(dǎo)，得出兩輪子作用到移動(dòng)機(jī)器人幾何中心的速度為：

整理成矩陣形式腳輪1 的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為：

3 仿真求解與軌跡規(guī)劃

3.1 軟件仿真求解結(jié)果

采用數(shù)學(xué)工具M(jìn)ATLAB 軟件對上述模型進(jìn)行求解，將模型的尺寸參數(shù)、電機(jī)轉(zhuǎn)速參數(shù)作為輸入條件，其中結(jié)構(gòu)參數(shù)為：m=692.82mm，r=b=50mm。在軟件中獲取機(jī)器人進(jìn)行原地轉(zhuǎn)向1s后，得到機(jī)器人的各運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)數(shù)據(jù)如圖2 所示。

圖2 腳輪軟件求解結(jié)果曲線

3.2 移動(dòng)機(jī)器人腳輪軌跡規(guī)劃

軌跡規(guī)劃是移動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制的關(guān)鍵步驟，是分析計(jì)算的目的和意義所在。軌跡規(guī)劃發(fā)方法很多，目前普遍的是多項(xiàng)式法。由于采用五次多項(xiàng)式進(jìn)行插值能保證位置、速度、加速度以及加價(jià)速度的曲線平滑，因此本文采用五次多項(xiàng)式法進(jìn)行軌跡規(guī)劃。在XY 平面用五次樣條曲線對移動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行軌跡規(guī)劃后得到的位置（P），速度（V），加速度（a）曲線值如圖3 所示。

圖3 機(jī)器人的位置、速度、加速度曲線圖

從仿真結(jié)果來看：對于移動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行速度規(guī)劃，令移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡為一個(gè)矩形；移動(dòng)機(jī)器人以0.25m/s2的加速度加速2s 后，以0.5m/s 的速度勻速行駛4s，最終以0.25m/s2的加速度減速到靜止；移動(dòng)機(jī)器人以-0.25m/s2的加速度加速2s 后，以0.5m/s 的速度實(shí)現(xiàn)倒行，最終以0.25m/s2的加速度減速到停止；移動(dòng)機(jī)器人以0.25m/s2的加速度加速2s 后，實(shí)現(xiàn)以0.5m/s的速度勻速側(cè)向移動(dòng)4s，最終以0.25m/s2的加速度減速到靜止。移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)仿真與預(yù)期規(guī)劃好的運(yùn)動(dòng)軌跡完全吻合，文中所建立的移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型合理。

4 結(jié)論

采用數(shù)學(xué)及其數(shù)學(xué)工具，針對一種機(jī)器人腳輪展開分析，利用腳輪基本的幾何和運(yùn)動(dòng)關(guān)系構(gòu)建并推導(dǎo)了腳輪速度的數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)式及運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步對其仿真求解驗(yàn)證了模型的正確性；并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步采用五次多項(xiàng)式進(jìn)行了軌跡規(guī)劃，獲得了較好的控制目標(biāo)，能夠?yàn)闄C(jī)器人腳輪的設(shè)計(jì)計(jì)算提供一定參考和借鑒。