張靜 陶彬彬

摘要：信號(hào)與系統(tǒng)這門課程抽象、理論性強(qiáng)、基本概念、數(shù)學(xué)公式及推導(dǎo)較多，學(xué)生不容易理解，容易望而生畏，學(xué)習(xí)起來(lái)倍加困難，但是好的方法可以使信號(hào)的學(xué)習(xí)效果達(dá)到事半功倍。比較法是一種特別適合于信號(hào)與系統(tǒng)課程的教學(xué)方法，將比較法用于實(shí)際的教學(xué)，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提升學(xué)習(xí)效果，而且可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

關(guān)鍵詞：連續(xù)系統(tǒng);離散系統(tǒng);卷積;傅里葉變換;拉普拉斯變換

中圖分類號(hào)：G642.4? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2021）26-0261-03

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

1 背景

信號(hào)與系統(tǒng)課程是電子信息類專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，該課程是一門承上啟下的課程，其先修課程為高等數(shù)學(xué)、電路原理、復(fù)變函數(shù)等，其后續(xù)課程有自動(dòng)控制原理、高頻電子線路、通信原理、數(shù)字信號(hào)處理等[1-2]。該課程理論性較強(qiáng)，數(shù)學(xué)公式頗多、基本概念、基本分析方法很重要，并且因?yàn)閿?shù)學(xué)頗多、理論性強(qiáng)、比較抽象，所以學(xué)好信號(hào)這門課程需要花費(fèi)很多的精力。因此，好的學(xué)習(xí)法對(duì)于信號(hào)與系統(tǒng)課程的學(xué)習(xí)，不僅可以事半功倍，而且可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，進(jìn)而提升信號(hào)的學(xué)習(xí)效果，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)以及考研打下牢固良好的基礎(chǔ)。

信號(hào)與系統(tǒng)課程主要包括：連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析、離散系統(tǒng)的時(shí)域分析、傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析、連續(xù)系統(tǒng)的s域分析、離散系統(tǒng)的z域分析、系統(tǒng)函數(shù)及狀態(tài)變量等[3]。本文以信號(hào)與系統(tǒng)前6章的內(nèi)容為例，將比較法用于其中。通過(guò)比較法不僅將連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)時(shí)域內(nèi)的基本信號(hào)與性質(zhì)、卷積、響應(yīng)的求解進(jìn)行比較，而且將三大變換域-頻域、復(fù)頻域、z域進(jìn)行比較。通過(guò)比較法發(fā)現(xiàn)相似規(guī)律及差異，進(jìn)而可以更好地掌握信號(hào)系統(tǒng)的基本理論，構(gòu)建系統(tǒng)性的知識(shí)體系。

2 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的基本信號(hào)及性質(zhì)的比較

連續(xù)系統(tǒng)及離散系統(tǒng)中有一些基本的信號(hào)，基本信號(hào)有其獨(dú)特的性質(zhì)以及響應(yīng)，他們有很多相似的地方，可以對(duì)比掌握?；拘盘?hào)的波形圖如圖1～圖4所示?；拘盘?hào)、響應(yīng)、關(guān)系及性質(zhì)如表1所示。

2 卷積積分和卷積和的比較

2.1 定義式

卷積積分：

[ft=f1t*f2t=-∞+∞f1τ?f2t-τdτ]? ? ? ? ? ? ?（1）

卷積和：

[fk=f1k*f2k=-∞+∞f1i?f2k-i]? ? ? ? ? ? ? ?（2）

無(wú)論卷積積分還是卷積和都分為5步走，即：換元、反轉(zhuǎn)、右移、相乘、積分（求和），唯一不同的是連續(xù)信號(hào)的積分對(duì)應(yīng)離散信號(hào)的求和。

2.2 卷積積分和卷積和的性質(zhì)

卷積積分和卷積和有很多重要的性質(zhì)，靈活的運(yùn)用性質(zhì)可以簡(jiǎn)化卷積的運(yùn)算[4]。表2為卷積積分和卷積和的性質(zhì)，他們有著相似之處，運(yùn)用比較法可以幫助理解、記憶、掌握。

從表2可以發(fā)現(xiàn)卷積積分和卷積和的性質(zhì)類似，區(qū)別在于前者為連續(xù)變量，后者為離散變量。連續(xù)信號(hào)里面求原函數(shù)的積分對(duì)應(yīng)離散信號(hào)求迭分，連續(xù)系統(tǒng)的微分對(duì)應(yīng)于離散系統(tǒng)的差分。

2.3 卷積的求解方法

卷積積分的求解方法有：1）定義式法;2）圖解法：3）性質(zhì)法。

卷積和的求解方法有：1）定義式法;2）圖解法：3）性質(zhì)法 ;4）不進(jìn)位乘法求卷積和;5）列表法。

2.4 卷積法求零狀態(tài)響應(yīng)

連續(xù)系統(tǒng)，對(duì)于任意[ft]通過(guò)LTI系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)等于其卷積該系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)，即：[yzst=ft*ht];

離散系統(tǒng)，對(duì)于任意[fk]通過(guò)LTI系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)等于其卷積該系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)，即：[yzsk=fk*hk];

只要知道系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)[ht]或者單位序列響應(yīng)[hk]，對(duì)于任意信號(hào)[ft]或[fk]，就可以求出他們的零狀態(tài)響應(yīng)[yzst]或[yzsk]。

3 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)求解響應(yīng)的比較

連續(xù)系統(tǒng)的全響應(yīng)：

[yt=yht+ypt=yxt+yft]，連續(xù)系統(tǒng)全響應(yīng)分為自由響應(yīng)[yht]和強(qiáng)迫響應(yīng)[ypt]，也可以分為零輸入響應(yīng)[yxt]和零狀態(tài)響應(yīng)[yft]。

離散系統(tǒng)的全響應(yīng)：

[yk=yhk+ypk=yxk+yfk]，離散系統(tǒng)全響應(yīng)分為自由響應(yīng)[yhk]和強(qiáng)迫響應(yīng)[ypk]，也可以分為零輸入響應(yīng)[yxk]和零狀態(tài)響應(yīng)[yfk]。

無(wú)論是求解連續(xù)系統(tǒng)的微分方程還是求解離散系統(tǒng)的差分方程相同的是都包含以下幾個(gè)步驟：1）特征方程的求解 ;2）求初始值 ;3）求齊次解; 4）求特解 ;5）通過(guò)初始值求待定系數(shù)等。也就是說(shuō)求解思路是一樣的。所不同的是，求初始值的方法不同，前者初始值用積分求，后者的初始值用遞推;齊次解的表達(dá)式也不一樣，前者，特征根在指數(shù)上，后者特征根在底部。

4 傅里葉變換與拉普拉斯變換、z變換的比較

4.1 三者之間的關(guān)系[3]

[ft]的傅里葉變換為[Fjω]，簡(jiǎn)記作[ft?Fjω]，[Fft=Fjω]，

[Fjω=-∞+∞fte-jωtdt]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

傅里葉逆變換為：

[F-1Fjω=ft=-∞+∞Fjωejωtdω]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）