曹佳會(huì)，李 莉

(山西大學(xué) a.復(fù)雜系統(tǒng)研究所; b.計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院， 太原 030000)

1 研究現(xiàn)狀

近幾十年來(lái)，我國(guó)干旱半干旱地區(qū)荒漠化現(xiàn)象越來(lái)越嚴(yán)重，保護(hù)植被系統(tǒng)刻不容緩。植被由于具有固沙、固碳、固水和釋放氧氣等多種生態(tài)功能而被譽(yù)為“生態(tài)系統(tǒng)工程師”[1]。植被的生長(zhǎng)狀況和覆蓋率會(huì)受自然環(huán)境條件或人類活動(dòng)的影響，如水、光照、降雨、風(fēng)速、放牧等[2-4]。這些因素相互作用或單獨(dú)作用將導(dǎo)致不同的現(xiàn)象。因此，關(guān)注這一主題將有助于更好地理解植被系統(tǒng)的發(fā)展演化規(guī)律。在空間或時(shí)間上具有某種規(guī)律性的非均勻宏觀植被結(jié)構(gòu)稱為植被斑圖[5]。特殊的植被斑圖結(jié)構(gòu)(如點(diǎn)狀斑圖)已經(jīng)成為荒漠化預(yù)警的一個(gè)重要指標(biāo)，因此明確植被斑圖如何產(chǎn)生及其相變規(guī)律將為荒漠化的防治提供理論依據(jù)。

Klausmeier[6]于1999年首次提出了植被與土壤水相互作用的動(dòng)力學(xué)模型，包括植被生物量和土壤水密度，并發(fā)現(xiàn)圖靈失穩(wěn)導(dǎo)致規(guī)則植被斑圖結(jié)構(gòu)產(chǎn)生，而微小的小尺度地形的變化可能會(huì)引起不規(guī)則植被斑圖結(jié)構(gòu)出現(xiàn)。Rietkerk等[1]在Klausmeier模型中引入地表水，建立了包含植被、地表水和土壤水的三變量植被模型，并指出半干旱地區(qū)植被斑圖結(jié)構(gòu)的形成主要取決于植被密度和地表水滲透之間存在的正反饋以及徑流水在空間上的重新分配機(jī)制。

Meron等[7]建立了考慮水資源有限的植被模型，發(fā)現(xiàn)隨著降雨量的增加，植被的空間分布結(jié)構(gòu)經(jīng)歷了裸露的土地、點(diǎn)狀、條狀、間隙狀等中間態(tài)，當(dāng)降水量比較高時(shí)形成了均勻植被結(jié)構(gòu)。隨后，植被斑圖形成的內(nèi)在機(jī)制受到越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注[8-10]，許多重要的數(shù)學(xué)模型被提出，用來(lái)解釋自然界中廣泛存在的各種植被斑圖現(xiàn)象[11-14]。鑒于水資源在植被的生長(zhǎng)和定植中起著重要作用，目前大部分的植被模型僅考慮水的影響。

事實(shí)上，其他因素也會(huì)影響植被斑圖結(jié)構(gòu)的形成機(jī)制，例如風(fēng)、地形(坡度)、動(dòng)物棲息等[12，15-18]。一些研究者發(fā)現(xiàn)，在干旱和半干旱的多風(fēng)沙地區(qū)觀察到垂直于主導(dǎo)風(fēng)方向的帶狀植被斑圖，如毛里塔尼亞、澳大利亞和馬里等地區(qū)[16-18]。不同于無(wú)風(fēng)條件下的植被，當(dāng)風(fēng)作為驅(qū)動(dòng)力時(shí)，植被的生長(zhǎng)會(huì)受到沙粒運(yùn)動(dòng)的劇烈影響。具體而言，即風(fēng)沙的輸移和沙丘會(huì)入侵植被區(qū)域，從而影響植被的生長(zhǎng)。White等[19-20]認(rèn)為風(fēng)可能是帶狀斑圖出現(xiàn)的驅(qū)動(dòng)因素，而且孤立植被周圍風(fēng)吹物質(zhì)的積累可能是植被帶外擴(kuò)的核心。Zhang等[21]基于反應(yīng)擴(kuò)散對(duì)流方程建立了一個(gè)植被-沙動(dòng)力學(xué)模型，其中盛行風(fēng)和非盛行風(fēng)分別通過(guò)對(duì)流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)刻畫，通過(guò)數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)在不考慮盛行風(fēng)的情況下形成了迷宮狀植被斑圖，而在考慮盛行風(fēng)的情況下最終形成的帶狀植被斑圖垂直于盛行風(fēng)的方向，這一結(jié)果揭示了澳大利亞西部皮爾巴拉中部地區(qū)迷宮和帶狀植被斑圖的產(chǎn)生機(jī)制。Zhang等[22]的模型考慮了植被對(duì)沙的聚集效應(yīng)會(huì)隨著植被生物量的的增加而減少，直到植被生物量達(dá)到確定值，聚集效應(yīng)將達(dá)到最低。事實(shí)上，在一些多風(fēng)沙的地區(qū)，植被對(duì)沙的聚集效應(yīng)會(huì)隨著植被生物量的增加而增加，因此，在本文中主要考慮一種線性作用項(xiàng)的聚集效應(yīng)機(jī)制，從多種形式的植被-沙模型方面更清楚地理解植被與沙的相互作用機(jī)制，進(jìn)一步從理論的角度尋找植被斑圖產(chǎn)生的內(nèi)在機(jī)制。

2 數(shù)學(xué)模型

基于Zhang等[22]提出的包含植被生物量(V)和沙丘高度(S)的植被-沙模型：

(1)

不同于Zhang等[22]考慮的植被對(duì)沙的聚集效應(yīng)會(huì)隨著植被生物量的增加而減少且植被生物量到達(dá)一定程度時(shí)會(huì)降到最低，這里考慮一種線性作用項(xiàng)的聚集效應(yīng)機(jī)制，對(duì)應(yīng)的模型(1)改進(jìn)為：

(2)

為便于分析上述模型的動(dòng)力學(xué)行為，通過(guò)對(duì)上述系統(tǒng)進(jìn)行無(wú)量綱化處理，得到如下的系統(tǒng)：

(3)

這里，

3 穩(wěn)態(tài)的存在性和穩(wěn)定性分析

首先，系統(tǒng)(3)對(duì)應(yīng)的常微分系統(tǒng)為：

(4)

定義：

通過(guò)求解F(s，v)=0和G(s，v)=0，可以得到系統(tǒng)(3)存在如下平衡點(diǎn)：① 當(dāng)v=0時(shí)，s=1時(shí)，系統(tǒng)(3)總是存在1個(gè)裸沙態(tài)平衡點(diǎn)E0=(1，0)；② 當(dāng)v≠0 時(shí)，可以推導(dǎo)出1個(gè)關(guān)于變量v的一元二次方程：

(5)

令

顯然，系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)取決于上述恒等式中各參數(shù)之間的關(guān)系。由參數(shù)的生物學(xué)意義可知b1=-ch/vm<0，進(jìn)一步分為以下幾種情形討論：

1) 當(dāng)參數(shù)滿足條件

時(shí)，式(5)有2個(gè)正根：

因此，有s11=1+v11，s12=1+v12?？梢缘玫较到y(tǒng)(3)有2個(gè)均勻植被平衡點(diǎn)E11=(s11，v11)，E12=(s12，v12)。

2) 當(dāng)參數(shù)滿足條件

時(shí)，式(5)具有唯一的正根：v2=-b2/2b1，同時(shí)s2=1+v2。因此，系統(tǒng)(3)具有平衡點(diǎn)E2=(s2，v2)。

3) 當(dāng)參數(shù)滿足條件

時(shí)，則式(5)不具有任何實(shí)根，表明系統(tǒng)(3)不存在平衡點(diǎn)。

為了討論上述平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，對(duì)系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)E*=(s*，v*)附近進(jìn)行線性化：

(6)

其中：

于是得雅可比矩陣：

綜上所述，護(hù)理臨床帶教中實(shí)施分層次教學(xué)目標(biāo)管理，應(yīng)用價(jià)值較高，可有效提供帶教效果，為實(shí)習(xí)生日后工作奠定良好基礎(chǔ)，利于醫(yī)療事業(yè)良性發(fā)展。

特征方程為：

對(duì)于裸沙態(tài)平衡點(diǎn)E0=(1，0)，可以得到：

λ2+(1-h+p)λ+p-h=0

當(dāng)h

結(jié)合平衡點(diǎn)的生物學(xué)意義，應(yīng)關(guān)注均勻植被平衡點(diǎn)E2。對(duì)于均勻植被平衡點(diǎn)E2，需討論它的局部漸近穩(wěn)定性。如果有以下條件

(7)

成立，對(duì)于系統(tǒng)(3)，通過(guò)線性穩(wěn)定性分析，可知平衡點(diǎn)E2是局部漸近穩(wěn)定的。

4 圖靈不穩(wěn)定性

4.1 線性穩(wěn)定性分析

c.c.+o(ε2)

(8)

把式(8)代入線性化系統(tǒng)(6)，得到如下特征方程：

(9)

化簡(jiǎn)得到：

λ2-trkλ+Δk=0

(10)

其中：

trk=a11+a22-(a1+a2)ki-(1+d)k2=

tr0-(a1+a2)ki-(1+d)k2

Δk=a11a22-a12a21-

(a11d+a22+a1a2)k2+dk4+(

a2k3+a1dk3-a22a1k-a11a2k)

通過(guò)分析，可得到特征值

(11)

這里，

φ=(a11-a22-(1-d)k2)2-

(a1-a2)2k2+4a12a21)

ψ=-2(a11+a22)(a1+a2)k+

(1+d)(a1+a2)k3-4(a2k3-

a1dk3-a22a1k)

通過(guò)將特征值的實(shí)部與虛部分離，得到λk的實(shí)部和虛部分別為：

(12)

(13)

其中j=±1。

因此得到圖靈斑圖存在的條件為：沒(méi)有擴(kuò)散時(shí)滿足

(14)

可使得特征值都具有負(fù)實(shí)部，即常微分系統(tǒng)(4)的均勻植被平衡點(diǎn)E2是局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)加入擴(kuò)散后滿足

(15)

則存在一些k使特征值實(shí)部大于0，即擴(kuò)散系統(tǒng)(3)的均勻植被平衡點(diǎn)E2變得不穩(wěn)定。因此，當(dāng)同時(shí)滿足條件(14)與(15)時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生圖靈不穩(wěn)定性，進(jìn)而產(chǎn)生圖靈斑圖。

4.2 對(duì)流誘導(dǎo)圖靈不穩(wěn)定性

根據(jù)式(12)，圖1展示了特征方程(10)的特征值實(shí)部與對(duì)流率a1的色散關(guān)系。顯然，特征值的實(shí)部可以表示為波數(shù)k的函數(shù)。黑色曲線表示系統(tǒng)無(wú)對(duì)流項(xiàng)時(shí)特征值實(shí)部與波數(shù)之間的關(guān)系，并且隨著波數(shù)的變化實(shí)部均小于零，表明平衡點(diǎn)E*=(s*，v*)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。然而，當(dāng)固定a2=0.01并使a1逐漸增大時(shí)，從3條不同的曲線(綠色、藍(lán)色和紅色)可以看出：隨著沙的對(duì)流率a1增大，對(duì)應(yīng)特征值實(shí)部由負(fù)變?yōu)檎?，表明了平衡點(diǎn)E*=(s*，v*)由穩(wěn)定變得不穩(wěn)定，進(jìn)一步說(shuō)明系統(tǒng)(3)出現(xiàn)了Turing失穩(wěn)現(xiàn)象。

圖1 特征方程(10)中特征值實(shí)部關(guān)于對(duì)流率a1的色散關(guān)系(h=2.6，vm=15，p=3.83，c=2.97)

5 數(shù)值結(jié)果

對(duì)系統(tǒng)(3)展開(kāi)數(shù)值模擬分析。取參數(shù)a1=0，a2=0(其他參數(shù)詳見(jiàn)表1)，也就是說(shuō)，主要模擬系統(tǒng)(3)無(wú)對(duì)流項(xiàng)時(shí)的斑圖現(xiàn)象。

表1 植被-沙(V-S)模型中的參數(shù)含義及取值

在模擬過(guò)程中，設(shè)置邊界條件為Neumann型，選取200×200的空間格子，空間步長(zhǎng)為dx=1，時(shí)間步長(zhǎng)為dt=0.001，沙與植被的初始分布如下：

其中ξi(i=1，2)是微小的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。采用向前差分格式對(duì)系統(tǒng)(3)進(jìn)行數(shù)值模擬，直到斑圖結(jié)構(gòu)不再發(fā)生改變，模擬結(jié)束。

5.1 擴(kuò)散誘導(dǎo)的斑圖

當(dāng)選擇參數(shù)h=2.56，vm=4，p=3.83，c=2.97，d=0.01時(shí)，沙和植被隨時(shí)間在空間上的分布演化過(guò)程如圖2、3所示。

圖2 沙在不同時(shí)刻的斑圖結(jié)構(gòu)演化圖(其中h=2.56，vm=4，p=3.83，c=2.97，d=0.01)

圖3 植被在不同時(shí)刻的斑圖結(jié)構(gòu)演化圖(選取h=2.56，vm=4，p=3.83，c=2.97，d=0.01)

圖2展示了沙最終在空間上形成不規(guī)則斑紋，且由低體積和高體積沙構(gòu)成。如圖3所示，可觀察到植被具有與沙類似的空間演變規(guī)律。在階段性演化過(guò)程中，通過(guò)比較植被與沙的斑圖結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)植被密度與沙密度呈正相關(guān)。也就是說(shuō)，如果沙的密度大，植被生物量就會(huì)高，這是因?yàn)樯呈侵脖簧L(zhǎng)所需要的基本物質(zhì)，為植被生長(zhǎng)提供所必需的營(yíng)養(yǎng)和水分。因此，對(duì)于相同的沙，體積越大，植物吸收營(yíng)養(yǎng)的機(jī)會(huì)越大，植被生物量也會(huì)相應(yīng)增加。

進(jìn)一步研究植被的內(nèi)稟增長(zhǎng)率h對(duì)于植被斑圖的影響。接下來(lái)，給出不同參數(shù)h值對(duì)應(yīng)的植被斑圖結(jié)構(gòu)。從圖4中觀察到：當(dāng)h從2.56增加到2.8時(shí)，即從圖4(a)～(c)，藍(lán)色區(qū)域變小，說(shuō)明植被平均密度逐漸增大，植被趨于均勻分布。這表明在其他環(huán)境條件相同的情況下，植被的內(nèi)稟增長(zhǎng)率越大，植物生長(zhǎng)速度越快，相應(yīng)的植被密度越大。

圖4 不同h值下植被斑圖結(jié)構(gòu)圖(其他參數(shù)取值為：vm=4，p=3.83，c=2.97，d=0.01)

5.2 對(duì)流誘導(dǎo)的斑圖

通過(guò)對(duì)比5.1節(jié)的模擬結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)加入對(duì)流項(xiàng)后，植被和沙的斑圖結(jié)構(gòu)發(fā)生了明顯變化，由原來(lái)的不規(guī)則斑紋(圖2與圖3)轉(zhuǎn)變成規(guī)則的條狀斑圖(圖5與圖6)。也就是說(shuō)，對(duì)流是誘導(dǎo)斑圖相變的一個(gè)主要機(jī)制，這對(duì)于明確植被斑圖產(chǎn)生機(jī)制以及斑圖如何發(fā)生相變非常必要。植被斑圖相變可能會(huì)導(dǎo)致荒漠化的出現(xiàn)[22]，因此本文中發(fā)現(xiàn)的沙的對(duì)流率可能是植被斑圖產(chǎn)生的另外一種機(jī)制。

圖5 加入對(duì)流后，沙在不同時(shí)刻的斑圖結(jié)構(gòu)演化圖(參數(shù)選擇為：h=2.56，vm=4，p=3.83，c=2.97，d=0.01，a1=10和a2=0.01)

圖6 加入對(duì)流后，植被在不同時(shí)刻斑圖結(jié)構(gòu)的演化圖(參數(shù)選擇為：h=2.56，vm=4，p=3.83，c=2.97，d=0.01，a1=10和a2=0.01)

6 結(jié)論

1) 通過(guò)數(shù)值模擬展示了擴(kuò)散誘導(dǎo)植被和沙最終形成不規(guī)則斑紋，然而沙的對(duì)流引起植被和沙最終形成條狀斑圖結(jié)構(gòu)，表明在沙漠地區(qū)盛行風(fēng)更利于植被形成規(guī)則的空間分布結(jié)構(gòu)。

2) 增加植被的內(nèi)稟增長(zhǎng)率有助于植被最終形成空間均勻的分布結(jié)構(gòu)，在現(xiàn)實(shí)世界中，如果可以采取一些措施來(lái)保護(hù)植被，例如，避免過(guò)度放牧、隨意伐木，植被整體密度會(huì)更高。

3) 荒漠化正變得越來(lái)越嚴(yán)重，更好地保護(hù)環(huán)境將有利于植被多樣性和沙化土壤穩(wěn)定性的保持，研究植被-沙模型非常必要且具有現(xiàn)實(shí)意義。