鐘 巍， 田 宙， 壽列楓,3

(1.西北核技術(shù)研究所， 西安 710024； 2.北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 北京 100871； 3.北京理工大學(xué)爆炸科學(xué)與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100081)

近幾十年來(lái)，復(fù)雜城市環(huán)境和地下空間等的爆炸沖擊波傳播和毀傷研究受到學(xué)者們極大的重視[1-6]，這實(shí)際上是爆炸沖擊波在復(fù)雜幾何布局條件下的傳播問(wèn)題[7-9]，為此，學(xué)者們通常將城市環(huán)境或地下空間等簡(jiǎn)化為各種復(fù)雜的幾何布局進(jìn)行研究，如長(zhǎng)直坑道、十字坑道等[10-11]，針對(duì)這類問(wèn)題主要采用數(shù)值模擬[12-16]和實(shí)驗(yàn)方法[10, 17-19]，解析方法研究主要集中在自由場(chǎng)爆炸沖擊波傳播方面[20-25]，對(duì)于簡(jiǎn)單的坑道模型有學(xué)者基于數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過(guò)數(shù)據(jù)擬合得到了解析計(jì)算公式[26]。何翔等[27-28]評(píng)估了磚隔墻毀傷后的沖擊波破壞效應(yīng)，對(duì)有無(wú)磚隔墻空氣沖擊波實(shí)測(cè)波形進(jìn)行了分析，得到了合理設(shè)置磚隔墻有利于提高防爆性能的結(jié)論。駱浩浩等[29]開(kāi)展了井下爆破直通巷道沖擊波超壓的預(yù)測(cè)研究，給出了超壓峰值預(yù)測(cè)公式適用于預(yù)測(cè)井下直通巷道的沖擊波超壓峰值。孫中博等[30]開(kāi)展了豎井橫通道爆炸沖擊波傳播規(guī)律的試驗(yàn)研究，分析了豎井橫通道炸藥爆炸試驗(yàn)的實(shí)測(cè)沖擊波數(shù)據(jù)特征，對(duì)于研究受限空間內(nèi)爆炸沖擊波的傳播規(guī)律具有借鑒意義。鄧照玉[31]采用數(shù)值模擬手段對(duì)瓦斯爆炸對(duì)巷道壁面損傷破壞情況進(jìn)行了研究，結(jié)果表明整體超壓峰值在巷道內(nèi)會(huì)出現(xiàn)振蕩波動(dòng)，并且瓦斯區(qū)壁面承受的載荷最大，研究結(jié)果可為優(yōu)化巷道結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供參考。萬(wàn)宇等[32]利用機(jī)器學(xué)習(xí)和特征優(yōu)化算法提出了信息增益與支持向量機(jī)的組合模型預(yù)測(cè)瓦斯爆炸的風(fēng)險(xiǎn)，其正確率高于其他預(yù)測(cè)模型，證明了其優(yōu)越性。

在許多工程實(shí)際應(yīng)用中，常常需要快速估算某些復(fù)雜幾何布局條件下的爆炸沖擊波參數(shù)，甚至可以適當(dāng)降低對(duì)計(jì)算精度的要求，而數(shù)值模擬從幾何建模、網(wǎng)格劃分、數(shù)值計(jì)算到結(jié)果后處理等常常需要花費(fèi)大量的時(shí)間，實(shí)驗(yàn)研究周期更長(zhǎng)且需要更大的經(jīng)濟(jì)和人力成本。此時(shí)，對(duì)復(fù)雜幾何條件下爆炸沖擊波參數(shù)的解析計(jì)算具有重要意義。

為此，基于量綱分析和Taylor展開(kāi)，將對(duì)空中爆炸自由場(chǎng)沖擊波超壓峰值計(jì)算公式進(jìn)行嚴(yán)格的推導(dǎo)，基于推導(dǎo)過(guò)程引入能量密度因子方法，將自由場(chǎng)沖擊波超壓峰值計(jì)算公式推廣到復(fù)雜幾何布局情形。最后通過(guò)與剛性地面爆炸沖擊波超壓峰值計(jì)算經(jīng)驗(yàn)公式、兩端開(kāi)放無(wú)限長(zhǎng)坑道爆炸沖擊波超壓峰值實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，對(duì)所推導(dǎo)的解析計(jì)算公式進(jìn)行驗(yàn)證。

1 自由場(chǎng)超壓峰值解析公式推導(dǎo)

1.1 超壓峰值計(jì)算公式

關(guān)于確定爆炸沖擊波參數(shù)不同學(xué)者開(kāi)展了大量研究工作，得到了大量的解析計(jì)算公式、圖表[21, 23,33-36]，這些公式或者圖表主要是基于對(duì)各種各樣的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析獲得的。在處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，通常采用的方法是將沖擊波參數(shù)表示為比例距離的函數(shù)，比例距離定義為

(1)

式(1)中：R為爆心距離，m，量綱為L(zhǎng)；W為等效TNT爆炸當(dāng)量，kg，量綱為M。

(1)Brode[33-34]沖擊波超壓峰值表達(dá)式為

(2)

式(2)中：Δp為超壓峰值， MPa，量綱為ML-1T-2。

(2)Henrych[35]沖擊波超壓峰值表達(dá)式為

(3)

(3)Naumyenko等[36]沖擊波超壓峰值表達(dá)式為

(4)

(4)張守中[37]沖擊波超壓峰值表達(dá)式為

1 m/kg1/3≤Z≤15 m/kg1/3

(5)

1.2 基于量綱分析和Taylor展開(kāi)的公式推導(dǎo)

觀察沖擊波超壓峰值計(jì)算公式[式(2)～式(5)]可知，式(2)～式(5)都是關(guān)于比例爆心距離Z的倒數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)，不同之處在于各個(gè)公式的適用范圍和多項(xiàng)式系數(shù)不相同?；诹烤V分析和Taylor展開(kāi)對(duì)沖擊波超壓峰值計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo)，并利用推導(dǎo)過(guò)程解釋上述現(xiàn)象。

1.2.1 基于量綱分析推導(dǎo)定性函數(shù)表達(dá)式

將自由場(chǎng)爆炸近似看作是點(diǎn)爆炸，則爆炸后會(huì)產(chǎn)生向外擴(kuò)展的球形沖擊波，決定沖擊波強(qiáng)度特征的參量主要來(lái)自以下三個(gè)方面。

(1)炸藥屬性：W為等效TNT爆炸當(dāng)量，kg；ρe為裝藥密度，kg/m3，量綱為ML-3；單位質(zhì)量炸藥爆炸釋放的能量為Ee，J/kg，量綱為L(zhǎng)2T-2；爆炸產(chǎn)物的膨脹指數(shù)為γe，SI，量綱為S。

(2)空氣屬性：pa為初始?jí)毫?，Pa，量綱為ML-1T-2；初始密度ρa(bǔ)，kg/m3，量綱為ML-3；絕熱指數(shù)γa，SI，量綱為SI。

(3)爆心距離：R為爆心距離，m，量綱為 L；用沖擊波超壓峰值Δp來(lái)表征沖擊波的強(qiáng)度，則可表示為物理量的函數(shù)：

Δp=Ψ(W,ρe,Ee,γe;pa,ρa(bǔ),γa;R)

(6)

式(6)涉及的物理量總數(shù)為9個(gè)，共有3個(gè)基本量，分別為質(zhì)量、長(zhǎng)度、時(shí)間，對(duì)應(yīng)的基本量綱為M、L、T。因此，根據(jù)定理[38]可知。式(6)可表示為6個(gè)無(wú)量綱量的函數(shù)形式。通過(guò)量綱分析[39]，可以得到這6個(gè)無(wú)量綱量為

(7)

則可得無(wú)量綱函數(shù)關(guān)系式為

(8)

對(duì)于一般空氣條件下同種類型炸藥爆炸，存在

(ρe,Ee,γe;pa,ρa(bǔ),γe)=const

(9)

式(9)中：const為常數(shù)。

去掉無(wú)量綱常量后，式(8)可化簡(jiǎn)為

(10)

在約定好單位后，可以繼續(xù)去掉式(10)中的常量，即式(10)可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(11)

式(11)表明，自由場(chǎng)空氣爆炸沖擊波超壓峰值可以表示為比例距離的函數(shù)關(guān)系式。

1.2.2 利用Taylor展開(kāi)得到多項(xiàng)式形式函數(shù)表達(dá)式

爆心距離越大，超壓峰值越??；爆炸當(dāng)量越大，超壓峰值越大，即“超壓峰值與爆心距離成反比，與爆炸當(dāng)量成正比”。為了體現(xiàn)這一物理性質(zhì)，記

(12)

將式(11)改寫(xiě)為

(13)

從大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[40]觀測(cè)到自由場(chǎng)空氣中爆炸沖擊波超壓峰值隨比例距離的衰減規(guī)律，如圖1所示。

t1、t2、t3表示3個(gè)不同時(shí)刻圖1 自由場(chǎng)爆炸沖擊波超壓峰值曲線Fig.1 The overpressure-time curve of free-field explosion

根據(jù)圖1，假設(shè)函數(shù)f(Z)是充分光滑的，即在數(shù)學(xué)上假設(shè)f(Z)∈C∞(Z)，其中C∞(Z)表示在定義域Z上足夠光滑，則在Z∈(0,+∞)區(qū)間內(nèi)關(guān)于w的函數(shù)g(ω)滿足g(ω)∈C∞(ω)，對(duì)式(13)作Taylor展開(kāi)得

hk(ω0)(Δω)n+1

(14)

式(14)中：Δω=ω-ω0；ω0=1/Z0，其中Z0為指定值，余項(xiàng)為高階項(xiàng)。因此，可以忽略式(14)中的高階小量，化簡(jiǎn)為

(15)

式(15)中:g(k)(ω0)表示在ω0處的k階導(dǎo)數(shù)。進(jìn)一步可將式(15)寫(xiě)為

(16)

式(16)中：χi為常系數(shù)，i=0,1,…，N為足夠大的正整數(shù)。

于是式(16)給出了自由場(chǎng)空氣中爆炸沖擊波超壓峰值關(guān)于比例距離的多項(xiàng)式函數(shù)關(guān)系式。顯然，式(2)～式(5)均滿足式(16)的形式。正如式(2)～式(5)所表現(xiàn)出來(lái)的一樣，截至目前，尚未有學(xué)者從理論上提出式(16)中常系數(shù)χi(i=0,1,…,N)的計(jì)算方法，因此，工程上學(xué)者們通常是基于式(16)的形成利用實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合得到一定范圍內(nèi)的系數(shù)χi(i=0,1,…,N)，而由于實(shí)驗(yàn)受到各種條件的影響，每個(gè)研究者所掌握的實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在差異，從而擬合出的系數(shù)也差別較大，這也是目前存在許多不同自由場(chǎng)空氣中爆炸沖擊波超壓峰值計(jì)算公式的原因。

2 能量密度因子方法與自由場(chǎng)爆炸沖 擊波超壓峰值解析計(jì)算公式的推廣

2.1 方法描述

式(16)是通過(guò)量綱分析和Taylor展開(kāi)得到的，而量綱分析的結(jié)果是物理本質(zhì)的體現(xiàn)，Taylor展開(kāi)屬于嚴(yán)密的數(shù)學(xué)處理，即式(16)是符合物理規(guī)律的。進(jìn)一步考慮式(16)中的無(wú)量綱變量Z，從能量的角度來(lái)考慮它的定義[式(1)]，容易發(fā)現(xiàn)無(wú)量綱變量Z本質(zhì)上反映的是體積能量密度，即爆炸沖擊波超壓峰值是關(guān)于體積能量密度的形如式(16)所示的多項(xiàng)式函數(shù)。因此，如果體積能量密度相同，則按式(16)計(jì)算得到的超壓峰值相等。

基于上述原理，對(duì)于非自由場(chǎng)空氣中的爆炸，如復(fù)雜幾何布局條件下的爆炸等，可以通過(guò)某種合理的方法轉(zhuǎn)換為體積能量密度相等的自由場(chǎng)空氣中爆炸，然后使用已有的自由場(chǎng)空氣中爆炸沖擊波超壓峰值計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算，而這種合理的轉(zhuǎn)換方法即為這里所提的能量密度因子方法。

如圖2所示，以一端封閉一端開(kāi)放坑道內(nèi)爆炸為例給出能量密度因子的定義。已知爆炸TNT當(dāng)量為W，假設(shè)圖2中T點(diǎn)處的超壓達(dá)到峰值時(shí)爆炸沖擊波擴(kuò)散到的空間為圖2中灰色圓柱體區(qū)域，該區(qū)域顯然不是自由空間，而是一端開(kāi)放一端封閉的約束空間，這里仍稱為坑道(實(shí)際上只是坑道的一段)。記該坑道體積為V，則T處的體積能量密度為

圖2 一端封閉一端開(kāi)放坑道內(nèi)爆炸示意圖Fig.2 Sketch map of explosion for the one closed-end tunnel

(17)

以爆心為球心，以爆心到T點(diǎn)的距離R為半徑作一個(gè)球體，若在球心處以W*為T(mén)NT當(dāng)量發(fā)生的自由空間爆炸沖擊波傳播到T點(diǎn)時(shí)的體積能量密度也為ωT，則按式(16)計(jì)算得到的自由場(chǎng)空氣中以W*為T(mén)NT當(dāng)量爆炸距離R處的超壓峰值即為所要求的坑道中T點(diǎn)的超壓峰值。于是，主要問(wèn)題是求出W*。

顯然，對(duì)于等效的自由場(chǎng)爆炸易得其體積能量密度為

(18)

由式(17)、式(18)可得

(19)

(20)

VECF是從空間體積的影響這個(gè)角度考慮的，將這種思路推廣到能量密度因子(energy concentration factor，ECF)，則還可以將其他影響因素考慮進(jìn)來(lái)。如考慮介質(zhì)特性的影響，顯然對(duì)于地面爆炸絕對(duì)剛性地面(地面是鋼板、混凝土、硬巖等情況)和非絕對(duì)剛性地面(地面是沙、黏土、軟巖等情況)對(duì)爆炸能量的吸收和反射是不一樣的，經(jīng)過(guò)相關(guān)處理，這種差別也可以體現(xiàn)到能量密度中去，從而得到對(duì)應(yīng)這種處理的ECF；又如可以從面積能量密度的角度提出面能量密度因子(surface energy concentration factor，SECF)，可表示為

(21)

式(21)中：SSph為等效球體的球面面積，SSph=4πR2；S為實(shí)際情況下爆炸沖擊波與靜止空氣接觸界面的表面積。文獻(xiàn)[36]中給出的坑道內(nèi)爆炸沖擊波超壓峰值計(jì)算公式本質(zhì)上是利用面能量密度因子方法所得。

盡管上述面能量密度因子在工程應(yīng)用上來(lái)講不會(huì)有大的問(wèn)題，但結(jié)合第1節(jié)推導(dǎo)過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，按式(20)定義的體能量密度因子是完全符合物理本質(zhì)的，也應(yīng)該更符合實(shí)際物理現(xiàn)象，這一點(diǎn)將在后文的算例分析中得到驗(yàn)證。因此，采用體能量密度因子。

將式(19)代入式(16)即得基于自由場(chǎng)公式推廣的沖擊波超壓峰值解析計(jì)算公式，可表示為

(22)

式(22)中：Z*為等效比例距離。

(23)

式(23)中：W為實(shí)際TNT爆炸當(dāng)量；R為實(shí)際的爆心距離；VECF為體能量密度因子。

2.2 幾種典型幾何布局的能量密度因子

比較常見(jiàn)復(fù)雜幾何布局條件下的體能量密度因子和面能量密度因子。同樣，假設(shè)示意圖(圖3、圖4)中T點(diǎn)處的超壓達(dá)到峰值時(shí)爆炸沖擊波擴(kuò)散到的空間為圖3、圖4中灰色區(qū)域，同樣的，這些區(qū)域顯然不是自由空間。

(1)剛性地面爆炸，如圖3所示。

圖3 剛性地面爆炸示意圖Fig.3 Sketch map for the rigid ground explosion

(24)

(25)

(2)兩端開(kāi)放通道爆炸，如圖4所示。

圖4 兩端開(kāi)放通道爆炸示意圖Fig.4 Sketch map for the two open-end tunnel explosion

(26)

(27)

式中：VTun_Open為開(kāi)放坑道的體積；STun_Open為坑道開(kāi)放端與空氣接觸表面的面積。

(3)一端封閉一端開(kāi)放通道爆炸，如圖2所示。

(28)

(29)

式中:VTun_Close-end為一端封閉一端開(kāi)放坑道的體積；STun_Close-end為該坑道開(kāi)放端與空氣接觸表面的面積。

(4)圓柱形截面十字通道爆炸，如圖5所示。

(30)

(31)

式中:VTun_Crossed為十字交叉坑道的體積；STun_Crossed為該坑道開(kāi)放端與空氣接觸表面的總面積。

(5)四周開(kāi)放的兩剛性?shī)A層間爆炸，如圖6所示，兩剛性?shī)A層間距為H。

(32)

(33)

式中:VCyl為圖6中灰色圓柱體的體積；SCyl為該圓柱體側(cè)面(即與空氣接觸表面)的面積。

圖6 四周開(kāi)放的建筑層間爆炸示意圖Fig.6 Sketch map for the explosion of the open-sided multi-storey buildings

3 算例和驗(yàn)證分析

3.1 與解析公式對(duì)比驗(yàn)證

文獻(xiàn)[37]中給出的位于鋼板、混凝土、巖石等剛性地面的爆炸沖擊波超壓峰值計(jì)算公式為

(34)

式(34)中：1.259 m/kg1/3≤Z≤18.899 m/kg1/3。

由式(24)可知，此時(shí)VECF=2，將其代入式(23)，再用式(23)計(jì)算得到的等效比例距離Z*代替文獻(xiàn)[37]中給出的自由場(chǎng)空氣中爆炸沖擊波超壓峰值計(jì)算公式，即式(5)中的Z，可得

(35)

式(35)中：1.259 9 m/kg1/3≤Z≤18.898 8 m/kg1/3。比較式(34)、式(35)，發(fā)現(xiàn)它們是高度一致的，只是在小數(shù)位數(shù)上存在細(xì)微的差別，這表明使用體能量密度因子方法推導(dǎo)得到的剛性地面爆炸沖擊波超壓峰值計(jì)算公式是合理的。

文獻(xiàn)[35,37]指出在計(jì)算地面接觸爆炸的沖擊波超壓峰值時(shí)，采用自由場(chǎng)空氣中爆炸沖擊波超壓峰值公式，將式中當(dāng)量乘以2即可。這種處理本質(zhì)上是利用了“能量密度”概念，引入體能量密度因子方法給出了比較規(guī)范的物理和數(shù)學(xué)推導(dǎo)與證明。

3.2 與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證

文獻(xiàn)[26]中給出了250 kg TNT裝藥在截面面積為 10 m2的坑道內(nèi)爆炸時(shí)不同位置處的沖擊波超壓峰值實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果和數(shù)值計(jì)算結(jié)果，如表1所示。

表1 不同位置處沖擊波超壓峰值實(shí)驗(yàn)結(jié)果[26]Table 1 Experimental results of shock wave overpressure peak at different positions[26]

文獻(xiàn)[26]利用三維數(shù)值模擬計(jì)算程序?qū)?shí)驗(yàn)情況進(jìn)行了大量的數(shù)值計(jì)算，從而擬合出計(jì)算該坑道內(nèi)沖擊波超壓峰值的經(jīng)驗(yàn)公式為

(36)

式(36)中：Δp為超壓峰值，MPa；W′為T(mén)NT爆炸當(dāng)量，kg；A為坑道截面面積，m2；R為爆心距離，m。

利用體能量密度方法對(duì)文獻(xiàn)[26]中的情況進(jìn)行計(jì)算，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較分析。

(37)

用式(37)中的Z*代替式(5)中的Z，即得文獻(xiàn)[37]中給出的坑道內(nèi)爆炸解析計(jì)算公式。上述推導(dǎo)過(guò)程也證明了文獻(xiàn)[37]本質(zhì)上是利用了面體能量密度因子的概念計(jì)算坑道內(nèi)爆炸沖擊波超壓峰值。

根據(jù)上述方法，得到不同計(jì)算公式下超壓峰值隨爆心距離變化曲線(圖7)，可以看出，基于體能量密度因子得到的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得很好，而基于面能量密度因子得到的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差比較大。以文獻(xiàn)[36-37]中的自由場(chǎng)超壓峰值計(jì)算公式為基準(zhǔn)的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬結(jié)果高度吻合。表2給出了3個(gè)位置處數(shù)值計(jì)算結(jié)果、基于式(5)的體能能量密度因子法和面能量密度因子法計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)的比較，同樣證明了上述結(jié)論。

表2 不同位置處沖擊波超壓峰值結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparison of peak values of shock wave overpressures at different locations

圖7 不同方法得到的坑道內(nèi)沖擊波超壓峰值結(jié)果比較Fig.7 Comparison of peak values of shock wave overpressure in tunnel computed by different methods

因此，對(duì)于兩端開(kāi)放無(wú)限長(zhǎng)坑道內(nèi)的爆炸，采用體能量密度因子方法計(jì)算超壓峰值是可行的。

4 結(jié)論

基于量綱分析和Taylor展開(kāi)推導(dǎo)了自由場(chǎng)空氣中爆炸沖擊波超壓峰值多項(xiàng)式形式的解析計(jì)算公式，引入體能量密度因子方法將上述公式推廣到復(fù)雜幾何布局情形，為快速計(jì)算復(fù)雜幾何布局條件下爆炸沖擊波超壓峰值提供了有效的方法。通過(guò)與地爆解析公式、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和數(shù)值模擬結(jié)果比較，對(duì)本文方法進(jìn)行了驗(yàn)證，得出以下結(jié)論。

(1)目前工程上普遍使用的自由場(chǎng)空氣中爆炸沖擊波超壓峰值經(jīng)驗(yàn)公式，可以通過(guò)量綱分析和Taylor展開(kāi)從物理和數(shù)學(xué)上比較嚴(yán)格的推導(dǎo)出其統(tǒng)一的形式，如式(16)所示。

(2)基于上述推導(dǎo)過(guò)程，深刻理解式(16)所代表的物理本質(zhì)，進(jìn)而引入體能量密度因子的概念，將自由場(chǎng)空氣中爆炸沖擊波超壓峰值解析計(jì)算公式推廣到復(fù)雜幾何布局的情形，如式(22)、式(23)所示。

(3)工程上普遍使用的地爆沖擊波超壓峰值解析計(jì)算公式可以通過(guò)提出的體能量密度因子方法推導(dǎo)得到，即目前已有的地爆超壓峰值解析計(jì)算公式可以看作是由體能量密度因子方法得到的一個(gè)特例。

(4)使用本文方法解析計(jì)算的結(jié)果與坑道內(nèi)爆炸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合得較好，這表明本文方法可以應(yīng)用于工程領(lǐng)域復(fù)雜幾何布局條件下爆炸沖擊波超壓峰值的快速估算。