方建文，晁永生，袁逸萍

（新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊830047）

1 引言

白車身的焊接是汽車生產(chǎn)制造過(guò)程中不可缺少的一環(huán)，隨著生產(chǎn)工藝的不斷發(fā)展，焊接過(guò)程中機(jī)器人的移動(dòng)軌跡要求也越來(lái)越高。目前工業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用的焊接機(jī)器人大多是示教機(jī)器人，其反應(yīng)能力往往較差，而針對(duì)白車身焊點(diǎn)的焊接是一個(gè)快速起停的過(guò)程，一旦出現(xiàn)不穩(wěn)定因素干擾可能無(wú)法及時(shí)反應(yīng)過(guò)來(lái)，在一定程度上影響了焊接的質(zhì)量。因此，根據(jù)實(shí)際的焊接任務(wù)，在確保焊接精度的前提下，在相鄰焊點(diǎn)之間找到一條合理的路徑曲線，使臨近焊點(diǎn)附近時(shí)焊接機(jī)器人各關(guān)節(jié)的位移、速度、加速度隨時(shí)間變化曲線更加平滑，避免快速起停過(guò)程中出現(xiàn)機(jī)器臂共振等情況，這對(duì)高質(zhì)量高精度完成焊接任務(wù)，提高白車身焊接生產(chǎn)線生產(chǎn)效率，延長(zhǎng)機(jī)器人的使用壽命具有重要意義。

常見(jiàn)的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃包括關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃和笛卡爾空間軌跡規(guī)劃。眾多學(xué)者針對(duì)現(xiàn)代車身焊接過(guò)程中的軌跡優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了進(jìn)一步的研究。文獻(xiàn)［1］將軌跡曲線分段用三次多項(xiàng)式插值曲線進(jìn)行分段擬合，對(duì)關(guān)節(jié)速度進(jìn)行了約束。文獻(xiàn)［2］提出了一種基于三次多項(xiàng)式插值法的加減速型Nurbs曲線前瞻算法，優(yōu)化了軌跡的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［3］提出一種新型S型速度規(guī)劃算法，在一定程度平滑了加加速度曲線，提升了運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的抗沖擊性能。文獻(xiàn)［4］針對(duì)加速度的突變，采用S型速度曲線進(jìn)行軌跡規(guī)劃，提高了運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的抗沖擊性能。文獻(xiàn)［5］針對(duì)工業(yè)機(jī)器人時(shí)間最優(yōu)、能耗最優(yōu)、脈動(dòng)最優(yōu)等多目標(biāo)的軌跡優(yōu)化問(wèn)題，基于非均勻有理B樣條曲線矩陣表示法，提出一種最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法。文獻(xiàn)［6］構(gòu)建七次B樣條曲線，將機(jī)械人的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束轉(zhuǎn)化為B樣條控制頂點(diǎn)的約束，實(shí)現(xiàn)了多目標(biāo)軌跡優(yōu)化。文獻(xiàn)［7-8］以加加速度的平方以及Jerk的絕對(duì)值為優(yōu)化目標(biāo)，其軌跡由于單一目標(biāo)優(yōu)化軌跡。文獻(xiàn)［9］采用五次B樣條插值法對(duì)軌跡進(jìn)行擬合，當(dāng)約束條件復(fù)雜時(shí)其優(yōu)化效果優(yōu)于三次B樣條插值法，但由于反算控制點(diǎn)過(guò)程的計(jì)算量太大，為研究帶來(lái)了不便。上述方法從運(yùn)動(dòng)軌跡整體上實(shí)現(xiàn)了對(duì)速度、加速度的規(guī)劃，提高了運(yùn)動(dòng)過(guò)程的平穩(wěn)性，然而關(guān)于焊槍在進(jìn)出焊點(diǎn)時(shí)局部運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)性研究還比較匱乏。因此對(duì)機(jī)器人各關(guān)節(jié)空間采用改進(jìn)的B樣條插值法進(jìn)行優(yōu)化，使運(yùn)動(dòng)軌跡能夠準(zhǔn)確通過(guò)焊點(diǎn)，并通過(guò)增加輔助控制點(diǎn)方法，對(duì)焊點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的速度、加速度進(jìn)行了優(yōu)化，使運(yùn)動(dòng)過(guò)程更加平穩(wěn)。

2 關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃

焊接機(jī)器人具有6個(gè)自由度，即機(jī)器人關(guān)節(jié)空間為6維空間，由于焊接過(guò)程中焊點(diǎn)是固定且必須經(jīng)過(guò)的，因此將其作為末端執(zhí)行器在空間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的通過(guò)點(diǎn)。通過(guò)逆解每個(gè)焊點(diǎn)都有一組關(guān)節(jié)角與之對(duì)應(yīng)，即各焊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)空間位置，記為qj=表示機(jī)器人在qj點(diǎn)時(shí)的6個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)值。

2.1 B樣條函數(shù)

其中，Qi（i=0,1,…,n）為控制頂點(diǎn)，Ni,k(t)（i=0,1,…,n）是k次規(guī)范B樣條基函數(shù)，且有

式中：k-B樣條函數(shù)的階數(shù)；i-B樣條函數(shù)的序列號(hào)，記0/0=0。文獻(xiàn)［10］通過(guò)關(guān)節(jié)空間中對(duì)應(yīng)的位置-時(shí)間序列點(diǎn)，將其作為型值點(diǎn)反算控制頂點(diǎn)，再利用三次B樣條插值法進(jìn)行軌跡的擬合，保證了運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過(guò)所對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)空間位置，其第i段曲線的函數(shù)表達(dá)式為

2.2 改進(jìn)B樣條插值法

通過(guò)上一小節(jié)的描述、計(jì)算，要使規(guī)劃的運(yùn)動(dòng)曲線能夠經(jīng)過(guò)焊點(diǎn)所對(duì)應(yīng)機(jī)器人關(guān)節(jié)空間位置，通過(guò)反算控制點(diǎn)求得B樣條插值曲線。雖然利用該方法能夠?qū)崿F(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過(guò)期望的關(guān)節(jié)位置，但焊接機(jī)器人從一個(gè)焊點(diǎn)移動(dòng)至另一焊點(diǎn)時(shí)，要求在到達(dá)焊點(diǎn)位置附近時(shí)，速度變化平穩(wěn)，以確保焊接質(zhì)量。所以說(shuō)，在上述基礎(chǔ)上通過(guò)增加或改變控制點(diǎn)的數(shù)目來(lái)控制曲線形狀，進(jìn)而優(yōu)化軌跡的運(yùn)動(dòng)性能。

已知，利用三次均勻B樣條插值法，通過(guò)4個(gè)控制點(diǎn)可以確定一段曲線，如圖1所示。

圖1 三次均勻B樣條曲線Fig.1 Cubic Uniform B-Spline Curve

依據(jù)德布爾遞推法，圖1中的三次均勻B樣條曲線段由是由Q0、Q1、Q2、Q3四個(gè)控制頂點(diǎn)確定，該三次曲線的起點(diǎn)是Q0、Q1、Q2構(gòu)成的三角形的中線Q1Q1′上的一點(diǎn)N1，Q1N1的位長(zhǎng)度是ΔQ0Q1Q2中線Q1Q1′長(zhǎng)度的1 3，終點(diǎn)是Q1、Q2、Q3構(gòu)成的三角形的中線Q2Q2′上的一點(diǎn)N2，Q2N2的位長(zhǎng)度是ΔQ1Q2Q3中線Q2Q2′長(zhǎng)度的1 3，由N1N2構(gòu)成的三次B樣條插值曲線，且該曲線不經(jīng)過(guò)Q0、Q1、Q2、Q3中的任意控制頂點(diǎn)。假設(shè)，當(dāng)Q1點(diǎn)不斷趨近于Q1′點(diǎn)時(shí)，那么N1點(diǎn)則會(huì)不斷靠近Q1′點(diǎn)，同理，當(dāng)Q2點(diǎn)不斷趨近于Q2′點(diǎn)時(shí)，那么N2點(diǎn)則會(huì)不斷靠近Q2′點(diǎn)。這時(shí)，該三次B樣條插值曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)將不斷逼近ΔQ0Q1Q2、ΔQ1Q2Q3的底邊，即Q0Q1、Q2Q3，最終Q1（Q1′），Q2（Q2′）兩兩重合，此時(shí)該三次B樣條插值曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)為兩控制頂點(diǎn)。依據(jù)此現(xiàn)象，可以得出，3個(gè)相鄰等距的控制頂點(diǎn)如果共線，那么該三次B樣條插值曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)曲線會(huì)經(jīng)過(guò)中間控制點(diǎn)。為了滿足所有的控制頂點(diǎn)都在該曲線上，則需要在每個(gè)控制頂點(diǎn)的兩側(cè)再加入兩個(gè)控制頂點(diǎn)，用來(lái)調(diào)整曲線形狀，使之經(jīng)過(guò)原先的控制頂點(diǎn)，新規(guī)劃出的曲線較原來(lái)平緩，如圖2所示。

圖2 改進(jìn)B樣條曲線Fig.2 Improved B-Spline Curve

規(guī)劃方法具體如下：

（1）如圖2，在Q1兩側(cè)增加輔助控制點(diǎn)Q1z、Q1y，使Q1、Q1z、Q1y三點(diǎn)共線，且Q1是Q1zQ1y的中點(diǎn)，同時(shí)平行于Q0Q2，由三角形的幾何性質(zhì)可得Q1zQ1＝Q1Q1y＝hQ0Q2，其中，h為ΔQ0Q1Q2底邊Q0Q2長(zhǎng)度的比例系數(shù)同理在Q2兩側(cè)增加點(diǎn)Q2z、Q2y，使Q2、Q2z、Q2y三點(diǎn)共線，且Q2是Q2zQ2y的中點(diǎn)，同時(shí)平行于Q1Q3，可得Q2zQ2＝Q2Q2y＝Q1Q3/6。

（2）為了讓該三次B樣條曲線通過(guò)起始和末端的兩個(gè)控制點(diǎn)Q0、Q3，依據(jù)B樣條曲線特殊的幾何性質(zhì)，在Q0、Q3點(diǎn)原處增加兩個(gè)輔助控制點(diǎn)使之重合，那么能夠使曲線從Q0點(diǎn)出發(fā)止于Q3點(diǎn)。

綜上所述，以Q0、Q1z、Q1、Q1y、Q2z、Q2、Q2y、Q3為控制頂點(diǎn)，可以得到三段三次B樣條曲線，且得到的曲線通過(guò)Q1、Q2點(diǎn)，若要使曲線通過(guò)首尾控制點(diǎn)，則在首尾控制點(diǎn)原處各增加兩個(gè)輔助控制點(diǎn)。若曲線需要經(jīng)過(guò)n個(gè)關(guān)節(jié)位置點(diǎn)，則需要添加2n個(gè)輔助控制點(diǎn)生成3n-3段曲線，生成的三次B樣條曲線通過(guò)所有原始關(guān)節(jié)位置點(diǎn)。添加的控制點(diǎn)的位姿計(jì)算公式如下：

結(jié)合式（3）、（4）可得改進(jìn)后的三次B樣條曲線方程為：

其中，i=0,1,…,n-1

由于所有的輔助控制點(diǎn)都可以由最初的控制點(diǎn)求得，故將式（4）代入式（6），可得由Q0，Q1，Q2，…，Qn表示的改進(jìn)三次B樣條曲線方程：

注：式（7）中的i不取0和n-1，因?yàn)槭寄﹥啥它c(diǎn)的新增輔助點(diǎn)不按照上述方程求解，但滿足式（6），可從此求解。

3 約束條件

點(diǎn)焊機(jī)器人最優(yōu)軌跡規(guī)劃就是要求各個(gè)關(guān)節(jié)在滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)約束條件的情況下，確保焊接的準(zhǔn)確性，同時(shí)以較高的速度從焊點(diǎn)移出，并以較小的速度變化移至下一個(gè)焊點(diǎn)。所以說(shuō)，在實(shí)際運(yùn)動(dòng)控制過(guò)程中，機(jī)器人受到驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)性能等因素的制約，具體體現(xiàn)在角度約束、角速度約束和角加速度約束這三方面。利用改進(jìn)三次B樣條插值法進(jìn)行軌跡規(guī)劃，通過(guò)對(duì)控制頂點(diǎn)的約束來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡的約束。

假設(shè)機(jī)器人每個(gè)關(guān)節(jié)的角變化、速度、加速度約束分別為θm、ωm、am（m=1，2，…，6）?？梢郧蟮酶麝P(guān)節(jié)的位置、速度、加速度曲線方程為：

式（8）還要滿足以下約束條件：

4 仿真結(jié)果分析

以Panasonic TA1800G2型焊接機(jī)器人為研究對(duì)象，該機(jī)器人機(jī)構(gòu)特點(diǎn)滿足Pieper原則，其D-H參數(shù)，如表1所示。

表1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)參數(shù)和關(guān)節(jié)變量Tab.1 Motion Parameters and Joint Variables of the Robot

根據(jù)表1中D-H參數(shù)使用如下指令，利用MATLAB中的Robotics Toolbox建立Panasonic TA-1800G2機(jī)械臂模型，示例代碼如下：

示例代碼中的Link指令中的各參數(shù)，從左到右，第一位表示扭轉(zhuǎn)角α，第二位表示連桿長(zhǎng)度a，第三位表示關(guān)節(jié)角θ，第四位表示連桿偏距d，最后一位表示關(guān)節(jié)角類型，由于是6R機(jī)器人，故都為0，默認(rèn)采用標(biāo)準(zhǔn)D-H法進(jìn)行建模，如圖3所示。

圖3 Panasonic TA-1800G2模型Fig.3 Model of Panasonic TA-1800G2 Robot

在以機(jī)器人的基座為原點(diǎn)建立的空間坐標(biāo)系中，在(100×100×100)cm的坐標(biāo)空間中提取了5個(gè)焊點(diǎn)的空間位姿，記為piont=［30，0，-30；26，50，-33；22，15，-27；26，35，-35；42，39，-24］，如圖4所示次序進(jìn)行焊接。

圖4 焊點(diǎn)空間位置及焊接次序Fig.4 Spacial Location and Welding Sequence of Welding Spot

機(jī)器人的末端執(zhí)行器在移動(dòng)過(guò)程中必經(jīng)焊點(diǎn)的位置，將焊點(diǎn)的位姿信息轉(zhuǎn)化為機(jī)器人末端位姿，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解得到每個(gè)焊接位姿對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)角，如表2所示。

表2 焊接位姿對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)角Tab.2 Joint Angle Corresponding to the Welding Pose

以表2中的數(shù)據(jù)作為型值點(diǎn)，利用改進(jìn)的三次B樣條插值法，在兩側(cè)添加輔助控制點(diǎn)，對(duì)曲線進(jìn)行擬合。為了能更直觀的看出各關(guān)節(jié)的軌跡規(guī)劃效果，與三次樣條插值法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖5所示。通過(guò)對(duì)比可發(fā)現(xiàn)，在滿足焊接準(zhǔn)確性的前提下，部分關(guān)節(jié)的速度、加速度曲線均有波峰，加速度曲線出現(xiàn)尖點(diǎn)，通過(guò)改進(jìn)三次B樣條插值后的關(guān)節(jié)速度波動(dòng)范圍以及關(guān)節(jié)加速度波動(dòng)范圍較之三次樣條插值法顯著降低，同時(shí)，型值點(diǎn)附近的速度、加速度曲線變得更加平緩，驗(yàn)證了機(jī)器人進(jìn)入焊點(diǎn)位置和焊完離開(kāi)焊點(diǎn)位置時(shí)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程的穩(wěn)定性，減小了運(yùn)動(dòng)過(guò)程出現(xiàn)的沖擊，保證了焊接的質(zhì)量。

圖5 各關(guān)節(jié)位移、速度、加速度曲線（為型值點(diǎn)）Fig.5 Curves of Displacement，Velocity and Acceleration for Each Joint（were recognized as the value points）

5 結(jié)論

針對(duì)焊接機(jī)器人中焊槍進(jìn)出焊點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的平穩(wěn)問(wèn)題，先求解出各個(gè)焊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的機(jī)器人各關(guān)節(jié)的空間位置，然后以此為控制頂點(diǎn)，通過(guò)添加輔助控制點(diǎn)的方法，對(duì)三次B樣條插值法進(jìn)行了改進(jìn)，生成平滑的運(yùn)動(dòng)。通過(guò)與三次樣條插值法在不同時(shí)刻的位移、速度、加速度的對(duì)比，驗(yàn)證了經(jīng)過(guò)改進(jìn)三次B樣條插值法平滑后的軌跡保證了焊接的準(zhǔn)確性，同時(shí)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的平穩(wěn)性也得到顯著提高。