周子杰，韓振南

（太原理工大學齒輪研究所，山西 太原030024）

1 引言

齒輪箱主要由齒輪、軸、軸承和箱體構成，而因為齒輪故障失效的比例達到60%以上，如果能準確的預測齒輪的早期故障，就能夠減少不必要的經濟損失，所以提高齒輪接觸疲勞壽命預測精度對齒輪箱的可靠性有重要的工程意義［1］。大量試驗數據證明Weibull分布綜合反映材料缺陷和應力集中對材料疲勞壽命的影響，因此這里結合齒輪失效機理和其載荷環(huán)境，三參數威布爾分布是齒輪最適宜的壽命分布形式［2］。

根據機床主軸壽命服從Weibull分布，文獻［3］引入了Bayes理論建立了機床主軸的壽命預測模型來獲得更高的可靠性；文獻［4］從頻率論的角度估計未知參數；文獻［5］提出了鋼筋C-S-N（腐蝕S-N）關系的威布爾模型，將腐蝕程度和應力范圍作為威布爾模型的輸入變量，采用期望最大化（EM）算法對經過審查的數據進行參數估計；將三參數Weibull分布簡化為指數分布，文獻［6］等簡化了后驗分布的求解步驟提高評估結果的精確度；滾動軸承壽命服從二參數Weibull分布特點，文獻［7］利用小樣本數據將無信息先驗分布作為其先驗分布，給出了形狀參數與可靠度的點估計并編寫了計算機程序；文獻［8］等運用平均秩次法為經驗分布函數獲取誤差大的問題提出合理的方法；文獻［9］等將降階的思想與二分法結合，為三參數weibull分布的極大似然估計值提供了新思想。

文獻［10-11］只提出了三參數Weibull分布的參數估計方法以及模型的建立，僅僅利用蒙特卡羅仿真方法產生樣本數據，并沒有詳實的實驗數據，缺乏可靠性。而且國內外以齒輪為研究對象的壽命預測方法研究很少，多數局限于有限元仿真和計算機程序的編寫，難以為實際生產提供工程意義?；谏鲜鲅芯浚Y合齒輪疲勞試驗，提出利用最小二乘法進行參數估計和近似中位秩公式對經驗分布函數進行擬合，通過繪制故障概率密度函數和可靠度函數準確的得出齒輪接觸疲勞壽命預測值，通過詳盡的實驗數據得出齒輪早期故障期的可靠度規(guī)律。

2 Weibull分布理論基礎

失效分布函數為：

故障密度函數為：

故障率函數為：

式中：t-試驗齒輪在規(guī)定扭矩下的循環(huán)次數；β-尺度參數，對應于齒輪副的特征壽命；位置參數α，描述齒輪副最少的無故障循環(huán)次數；形狀參數ξ，它的值不同，隨機變量的分布也不同，其中β＞0，ξ＞0。

3 參數估計

最小二乘法的法則是通過最小化誤差的平方尋找數據的最佳函數匹配，運用此法可以使齒輪的壽命預測值更準確。在齒輪副實際工作中，對壽命影響大小而言，α值的影響可以被忽略不計，因此令α=0，則式（1）等價成二參數Weibull分布的可靠度函數：

兩邊各自取兩次自然對數變換，并整理得

則式（6）簡化為：

目前，我國存貸款利率水平主要由政府決定，并非市場供求因素形成，行政體制保護下的管制利率成為銀行能夠獲得超高收入和利潤的最大保障。近幾年，由于整個社會資金面相對緊張，相對借款人而言，商業(yè)銀行議價能力不斷提升，從而導致利差水平上升，平均上升幅度在0.3%左右[5]。所以，利息收入的增長依然是我國商業(yè)銀行利潤走高的主要支撐因素。

由線性回歸方程（8）得出，回歸系數k和C的最小二乘估計解經最小二乘法法則變換為

在使用最小二乘法對Weibull分布進行參數估計時，要想使回歸直線擬合精度更高，得到的回歸系數估計值更加符合實際經驗分布函數的精度的提高是根本要求。

經驗分布函數在齒輪可靠性應用中舉足輕重，當樣本量很大時，由一個樣本值得到的經驗分布函數Fn(t)是總體分布函數F(t)的優(yōu)良估計。經查閱資料可得近似中位秩公式在實驗設備全部故障的情況下誤差較小，由于在齒輪疲勞試驗中我們得到的是設備全部故障的數據，所以完全適用于該計算方法。

式中：i-齒輪副的載荷譜編號；n-載荷譜總數。

4 齒輪接觸疲勞試驗

4.1 試驗齒輪

考慮試驗機的條件，選取的試驗齒輪是漸開線直齒圓柱齒輪，齒輪傳動比為1：1，齒輪參數，如表1所示。

表1 試驗齒輪參數Tab.1 Parameter of Test Gear

4.2 疲勞壽命實驗條件

（1）試驗在如圖1所示的臺架上進行。

圖1 機械式功率流封閉齒輪試驗臺Fig.1 FZG Gear Test Rig

（2）試驗電機轉速為1200r/min。

（3）加載方式為杠桿加載，八級載荷譜。

（4）試驗齒輪安裝方式選用錯齒安裝，使得相同輸入扭矩下得到更大的齒面接觸應力，嚙合齒寬為10mm。

（5）潤滑條件。L-CKC320工業(yè)閉式齒輪油，粘度等級：320，40℃，運動粘度：324（cst）閃點：224（℃）。

（6）試驗時間。每三十分鐘記錄一次數據，每一個小時檢查一次齒面，記錄齒面磨損情況和潤滑油面高度，同時觀察儀表監(jiān)測數據，直到出現(xiàn)點蝕疲勞現(xiàn)象為止。

4.3 接觸疲勞失效判據

點蝕通常出現(xiàn)在節(jié)線的齒根部分，呈痘狀或條狀。當試驗齒輪單齒點蝕面積率達4%或者齒輪副點蝕面積率達0.5%時，認為該組齒輪試驗失效［13］，對應的循環(huán)次數即為該應力水平下的齒輪疲勞失效壽命。

4.4 試驗應力水平的確定

每一級載荷所對應的齒輪接觸應力依據以下公式［14］進行計算：

式中：u-兩齒輪的齒數比，u=z2/z1；彈性系數ZE=189.8；齒輪的重合度為1.45；重合度系數Zε=0.92；節(jié)點區(qū)域系數ZH=2.12；使用系數KA=1.5；動載系數KV=1.2；齒間載荷分配系 數KHα=1/(Zε2)；齒 向 載 荷 分 配 系 數KHβ=1.2；K=

對（11）進行簡化得：

式中：b-嚙合齒寬（mm）;T-轉矩（N·m）。

5 實驗數據及處理結果

5.1 實驗數據

通過NC-3扭矩測量儀記錄疲勞試驗的轉速轉矩功率和時間（注：第八級載荷的循環(huán)次數為出現(xiàn)點蝕疲勞的循環(huán)次數），數據如表2所示。

表2 實驗扭矩與齒輪轉數Tab.2 Experimental Torque and Gear Revolution

5.2 試驗數據處理

對表2中的故障數據利用式（7），式（10）分別計算得到齒輪的經驗分布函數，如表3所示。

表3 經驗分布函數Tab.3 The Empirical Distribution Function

通過式（9）可知，x和y成一次函數關系，利用origin軟件對表中數據直線擬合后，結果如圖2所示。從擬合圖中可以直觀地看出數據均勻的分布在擬合直線上以及兩側，對經驗分布函數利用近似中位秩公式的擬合效果和精度都可以滿足要求。

圖2 直線擬合Fig.2 Linear Fitting

5.3 齒輪壽命預測分析

利用近似中位秩公式計算分析，得出直線回歸系數最小二乘解為：k=0.5265，C=-7.3209。將其代入式（7）得到k=ξ=0.5265，β=e-c/ξ=1105933.132。利用式（5）并根據齒輪副壽命的可靠度函數、失效分布函數以及故障概率密度函數三者關系，將k和β的值代入可以得出可靠度函數、失效分布函數以及故障概率密度函數方程：

已知方程，利用Matlab8.0軟件分別得到如圖3所示的Weibull分布故障概率密度曲線，如圖4所示的失效概率曲線和如圖5所示的可靠度曲線。

圖4 失效概率函數曲線Fig.4 The Curve of Failure Rate Function

由圖3可知，故障概率密度函數曲線與形狀參數ξ緊密相關，當ξ=0.5265＜1，概率密度曲線在低循環(huán)次數下迅速下降，隨著循環(huán)次數增加逐漸趨于平緩，沒有峰谷值，這一現(xiàn)象表面齒輪點蝕現(xiàn)象出現(xiàn)在齒輪機構的早期故障期，齒輪機構并沒有完全失去工作能力，但是需要定期檢查齒面狀況，及時調整齒輪機構的工作載荷，防止出現(xiàn)最嚴重而且危害很大的斷齒現(xiàn)象。

圖3 故障概率密度函數曲線Fig.3 The Curve of Failure Rate Density function

由圖5可得，可靠度函數曲線也與形狀參數ξ緊密相關，試驗中齒輪的形狀參數ξ=0.5625＜1，可靠度函數曲線在低循環(huán)次數下迅速下降，隨著循環(huán)次數增加逐漸趨于平緩，這是由于齒輪的早期疲勞點蝕失效率較高造成的結果，當可靠度為R（t）=50%時，代入可靠度函數，得出循環(huán)次數t50%=0.55×106r，表明在該實驗工況下，齒輪的循環(huán)次數達到0.55×106r后，可靠性下降到50%，需要停機觀察齒輪表面的點蝕坑的面積來判斷齒輪機構是否可以繼續(xù)運行。

圖5 可靠度函數曲線Fig.5 The Curve of Reliability Function

6 結論

簡要的闡述了三參數weibull分布的理論基礎，利用最小二乘法進行參數估計的方法和近似中位秩公式的表達，結合機械封閉流齒輪實驗臺架的接觸疲勞試驗，利用實驗數據進行分析，應用origin軟件進行近似中位秩公式的擬合，直線擬合的效果和精度令人滿意。利用Matlab準確的擬合了試驗齒輪的故障概率密度函數曲線，可靠度函數曲線和失效概率函數曲線，結果表明，齒輪的疲勞點蝕現(xiàn)象出現(xiàn)在早期故障期，并且點蝕失效率較高，當齒輪的循環(huán)次數達到0.55×106r，可靠度下降到50%，需要停機觀察齒輪表面的點蝕坑的面積來判斷齒輪機構是否可以繼續(xù)運行。為有效的解決旋轉部件壽命預測提供了新的思路。