朱良麒，丁力平，陳文亮，周志光

（1.南京航空航天大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 南京210016；2.江蘇雷利電機(jī)股份有限公司 工程中心，江蘇 常州213011）

1 引言

機(jī)器人工作空間是指機(jī)器人末端坐標(biāo)系的原點在空間中所能到達(dá)的區(qū)域［1］，是衡量機(jī)器人工作能力的重要運(yùn)動學(xué)指標(biāo)之一［2］，而雙機(jī)器人協(xié)作工作空間是指參與協(xié)作的機(jī)器人的工作空間所形成的交集［3］。工作空間與協(xié)作工作空間在機(jī)器人的機(jī)構(gòu)設(shè)計、安裝布局、路徑規(guī)劃、避碰、機(jī)器視覺和最佳操作位形等研究方面有著非常重要的參考意義，是當(dāng)下機(jī)器人領(lǐng)域的研究熱點，但同時也是技術(shù)難點。

研究和分析機(jī)器人協(xié)作工作空間是提高機(jī)器人協(xié)作效率和確保其安全生產(chǎn)的關(guān)鍵。目前為止，國內(nèi)外學(xué)者在雙機(jī)器人協(xié)作工作空間問題求解上采用的方法與單個機(jī)器人工作空間求解方法類似，主要有：幾何圖解法、解析法和數(shù)值法［4］。尤其是近年來隨著電子計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，蒙特卡洛數(shù)值方法［5］在機(jī)器人工作空間的求解上得到了廣泛應(yīng)用，并且同時也比較適合分析協(xié)作工作空間，該方法不涉及逆運(yùn)動學(xué)求解，算法相對較簡單，具有較強(qiáng)的通用性。但這種方法生成的工作空間點云集只是對實際工作空間的一種近似表示，無法為工程實踐提供較為具體的數(shù)值分析。因此很多學(xué)者將研究目標(biāo)集中在由工作空間點云獲得工作空間曲面的方法尋求上［6～8］，其主要工作一般是對工作空間點云分層，再逐層提取邊界點，并擬合為邊界曲線，最后求出工作空間包絡(luò)曲面。該方法求解過程中邊界點提取以及包絡(luò)線求解較復(fù)雜，且通用性不強(qiáng)，更難對協(xié)作工作空間進(jìn)行求解。

為了使工作空間可視化和數(shù)字化，提高應(yīng)用性，范啟忠等［9］運(yùn)用了a-Shape算法處理單個機(jī)器人工作空間點云，對工作空間進(jìn)行三維重建，并通過調(diào)整a參數(shù)大小得到了較高的重建精度，該方法具有較好通用性?；诖?，這里進(jìn)行更深入的研究，通過一定算法獲取雙機(jī)器人協(xié)作工作空間的點云后，運(yùn)用a-Shape算法分別對機(jī)器人工作空間以及協(xié)作工作空間進(jìn)行重建，更加突顯該算法的優(yōu)越性，對機(jī)器人協(xié)作技術(shù)奠定了基礎(chǔ)。

2 協(xié)作工作空間定義及點云獲取

2.1 雙機(jī)器人協(xié)作工作空間定義

一般情況下，我們將參與協(xié)同作業(yè)的兩個機(jī)器人分別設(shè)置為主、從機(jī)器人，由機(jī)器人運(yùn)動學(xué)關(guān)系可知，其TCP點位置矢量與關(guān)節(jié)位移存在一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，可表示為：

式中：q-關(guān)節(jié)變量；p-位置矢量；下標(biāo)m、s-主機(jī)器人與從機(jī)器人，函數(shù)f與g由機(jī)器人正運(yùn)動學(xué)得出。

為了簡化計算，實際中一般選取世界坐標(biāo)系Fw與主機(jī)器人基坐標(biāo)系一致。則主機(jī)器人工作空間可表示為：

從機(jī)器人在其基坐標(biāo)系Fbs下的工作空間可表示為：

故雙機(jī)器人協(xié)作工作空間可表示為：

公式（3）～（6）用集合形式定義了機(jī)器人的工作空間與協(xié)作工作空間，其解集應(yīng)是連續(xù)的，但這種表達(dá)形式不直觀，解析過程太復(fù)雜，難以直接運(yùn)用。

2.2 蒙特卡羅法機(jī)器人工作空間點云模型

蒙特卡羅法的思想是通過大量隨機(jī)樣本，對系統(tǒng)的特性進(jìn)行模擬，進(jìn)而得到問題的近似解。對機(jī)器人工作空間建立起隨機(jī)概率模型，將末端TCP點的空間位置看做隨機(jī)數(shù)，當(dāng)隨機(jī)樣本足夠大時，這些隨機(jī)點構(gòu)成的區(qū)域就近似代表了機(jī)器人的工作空間。因此，在關(guān)節(jié)空間內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生大量組關(guān)節(jié)位移q，通過一映射得到末端坐標(biāo)系原點的位置隨機(jī)點，這些點的集合就可以表示為機(jī)器人工作空間的離散模型，具體計算步驟如下：

（1）在各關(guān)節(jié)變量范圍［qimin，qimax］內(nèi)取隨機(jī)值，得到N組關(guān)節(jié)矢量；（2）進(jìn)行機(jī)器人正運(yùn)動學(xué)方程推導(dǎo)，并將上一步得到的N組關(guān)節(jié)矢量帶入，得到對應(yīng)的N個末端TCP點即隨機(jī)點；（3）利用計算機(jī)的繪圖功能將所有隨機(jī)點以描點的方式顯示，得到工作空間的點云圖。

2.3 協(xié)作工作空間點云獲取

獲取協(xié)作工作空間的點云圖，最簡單直接的方法是求解主、從機(jī)器人點云集的交集，找出重合的點。但由于點運(yùn)數(shù)據(jù)是離散的，這種方法只能搜索到極少部分的點，忽略了處于協(xié)作工作空間內(nèi)而沒有相互重合的點。如圖1所示，方形點表示主機(jī)器人的隨機(jī)點，圓形點表示從機(jī)器人的隨機(jī)點，可以看到大多數(shù)的點位于“協(xié)作區(qū)”卻不能按照求交集的方法尋到，誤差過大。

圖1 協(xié)作區(qū)域隨機(jī)點分布示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Random Point Distribution in the Collaboration Area

為了獲得更多的協(xié)作工作空間點，可以采取計算點與點距離并加入一定閾值的判斷方法：遍歷主機(jī)器人點云集的每個隨機(jī)點再依次計算該點與從機(jī)器人點云集的隨機(jī)點的距離，設(shè)置允許的閾值為e，若存在滿足的兩點，則認(rèn)為pm、ps就是協(xié)作工作空間點，待遍歷完成后，就獲得了協(xié)作工作空間的原始點云數(shù)據(jù)。該方法可以提取到大部分位于協(xié)作區(qū)域而沒有相互重合的點。獲得雙機(jī)器人協(xié)作工作空間的離散模型即點云集后，可以通過繪圖方式粗略地看到點云的大體分布情況。

3 α-Shape算法工作空間輪廓提取

3.1 α-Shape算法原理

文獻(xiàn)［9］第一次給出了面向點云數(shù)據(jù)α-Shape的通用概念，并給出了α-Shape族的一種計算方法α-Shape。算法可以從一堆無序離散點集中提取邊緣，并通過一定的算法獲得重建的圖形，平面點云的α-Shape為一個多邊形，三維空間點云集的α-Shape則是一個多面體。R2空間中，其原理如圖2所示，設(shè)S為一有限無序點集，α為（0，∞）范圍內(nèi)的實數(shù)，假想一個半徑為α的圓在點集S外滾動，若α足夠大時，這個圓就不會掉進(jìn)點與點之間的空隙，滾落到點集內(nèi)部，其滾動的痕跡便是該點集的邊界線。

圖2 α-Shape算法原理圖Fig.2 Schematic Diagram of α-Shape Algorithm

具體的判別方法可以描述為：點集S由n個點構(gòu)成，n個點組成n*（n-1）條線段，過點集S中任意兩點P1、P2作半徑為α的圓（一般可以得到兩個圓），如果有一個圓內(nèi)部不包含點集S中的其他任何點，就認(rèn)為P1、P2是邊界點，其連線為邊界線段。所以，當(dāng)α值非常小時，則每個點都在邊界上；若α很大（α→∞）時，則形成的邊界線為點集S的凸包［10］。

同理，R3空間中的α-Shape算法則是通過點集S中的三點作半徑為α的球來判別邊界點，并在得到的邊界點處建立三角片面，以三角片面的形式重構(gòu)出曲面。重構(gòu)結(jié)果隨著α取值的不同而變化，α值偏大會保留更多的三角面片，表現(xiàn)為點集的凸包，α值偏小則會出現(xiàn)空洞，α為0時，α-Shape退化為原始的點集［11］。

3.2 基于形體體積值的參數(shù)α確定

α-Shape算法直觀的表達(dá)了點云集的形狀，同時其精細(xì)程度由α控制。因此，為了獲得理想的三維重構(gòu)效果，需要確定出合適的參數(shù)α值。理論上，多自由度關(guān)節(jié)型機(jī)器人的工作空間類似球狀，受各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動范圍限制和奇異性等因素的影響，空間分布會有所變化，其點云的三維重構(gòu)結(jié)果表現(xiàn)為一定形體的封閉空間。因此，可以考慮將形體的體積計算值作為參考衡量重構(gòu)效果。這里基于MATLAB volume（）函數(shù)對建立的三維α-Shape形狀體積進(jìn)行求解，計算大量組不同參數(shù)ai下對應(yīng)的多面體體積值Vi，將結(jié)果以坐標(biāo)（ai，Vi）的形式記錄，得到體積隨參數(shù)變化的趨勢關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)三維α-Shape形狀特點分析并確定參數(shù)a的值。

4 實例分析與驗證

以兩臺ABB公司的IRB140型6軸多用途工業(yè)機(jī)器人為例，對文中方法進(jìn)行驗證。該型機(jī)器人的實物圖如圖3所示，采用DH法［12］建立連桿坐標(biāo)系，結(jié)果如圖4所示，相應(yīng)的連桿參數(shù)如表1所示。機(jī)器人正運(yùn)動方程可以表示為：

圖3 IRB140機(jī)器人實物Fig.3 The Object of IRB140 Robot

圖4 機(jī)器人連桿坐標(biāo)系Fig.4 Robot Link Coordinate System

考慮末端安裝有法蘭，主從機(jī)器人實際的TCP點坐標(biāo)系到各自基坐標(biāo)系的總變換為：

表1 IRB140機(jī)器人D-H參數(shù)Tab.1 The D-H Parameters of IRB140 Robot

為便于從機(jī)器人工作空間計算，設(shè)兩臺機(jī)器人采取典型的地面式-地面式且兩者相對的安裝方式，基坐標(biāo)系原點之間距離為1.2m，則主、從機(jī)器人基坐標(biāo)系間的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣為：

進(jìn)而由公式（5）計算得到從機(jī)器人的工作空間解集為：

式中：si、ci-sinqi和cosqi，sij、cij-sin（qi+qj）和cos（qi+qj），且qimin￡qi￡qi-max，i=1，2，3。

根據(jù)上述主、從機(jī)器人工作空間解集Wm和Wsw，按照1.2中方法，可以分別得到兩臺機(jī)器人工作空間的點云數(shù)據(jù)。一般情況下，隨機(jī)點數(shù)量越多，機(jī)器人工作空間計算精度越高，但當(dāng)隨機(jī)點數(shù)多達(dá)一定數(shù)量時，工作空間點云圖像已經(jīng)非常清晰，增大隨機(jī)點數(shù)量的意義不大。這里多次試驗后最終確定主、從機(jī)器人各取隨機(jī)點15萬為佳，并將結(jié)果繪制在同一坐標(biāo)系下，得到圖5所示的點云圖，其中藍(lán)色、紅色區(qū)域分別表示主、從機(jī)器人工作空間的點云圖。

圖5 主、從機(jī)器人工作空間點云Fig.5 Point Cloud of Master and Slave Robot Workspace

利用1.3中給出的協(xié)作工作空間點云獲取方法，提取上圖的協(xié)作區(qū)域點云，共尋到69370個點，結(jié)果如圖6所示?；赼-Shape算法對協(xié)作工作空間進(jìn)行三維重建，為確定出合適的a值，這里在區(qū)間（0，150）內(nèi)隨機(jī)選取了1000組數(shù)據(jù)，并計算出對應(yīng)的多面體體積Vi，將結(jié)果以坐標(biāo)（ai，Vi）的形式記錄，結(jié)果如圖7所示。

圖6 協(xié)作工作空間點云Fig.6 Collaborative Workspace Point Cloud

圖7 體積與參數(shù)a關(guān)系Fig.7 The Relationship between Volume and Parameter a

可以明顯的看到，體積隨著參數(shù)a的變化曲線有著較強(qiáng)的連續(xù)性和規(guī)律性，在a值較小的一段區(qū)間內(nèi)，體積一直為零，這是由于a值過小導(dǎo)致重建的曲面空洞太多，表現(xiàn)為一些離散的三角片，如圖8（a）所示為a=15mm對應(yīng)的重構(gòu)結(jié)果；當(dāng)a超過圖中第一個“轉(zhuǎn)折點”后，體積值發(fā)生明顯變化，隨著參數(shù)的增加上升趨勢加快，這一過程重建效果逐步完善；當(dāng)a超過第二個“轉(zhuǎn)折點”后，曲線明顯變得平緩，體積值基本無變化，表明重建效果已達(dá)最佳，再增加a值已經(jīng)沒有意義，只會保留更多的三角片面。因此，選取本例中第二個轉(zhuǎn)折點對應(yīng)的a值為合適的參數(shù)，此時a=49.6572mm，計算體積V=0.32493m3，對應(yīng)的重建結(jié)果如圖8（b）所示。為了驗證該方法的重建精度，將協(xié)作區(qū)域點云與圖8中a=49.6572mm的重建曲面一同繪制，進(jìn)行對比分析，如圖8（c）所示，可以看到藍(lán)色的點云輪廓邊界點均勻分布在曲面上，表明該方法具有較高的精度。

圖8 協(xié)作工作空間重建效果Fig.8 Reconstruction Results of Collaborative Workspace

由于主、從機(jī)器人型號相同，只對主機(jī)器人的工作空間點云進(jìn)行三維重建，其體積與參數(shù)a的關(guān)系如圖9（a）所示，確定參數(shù)a=44.2570mm，對應(yīng)體積為2.22039m3，采用該參數(shù)的重建結(jié)果如圖9（b）所示。為了便于分析，將主、從機(jī)器人工作空間和協(xié)作工作空間的重建結(jié)果相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，如表2所示。

表2 重建結(jié)果相關(guān)數(shù)據(jù)Tab.2 Ralated Data of the Reconstruction Results

圖9 主機(jī)器人工作空間三維重建Fig.9 3D Reconstruction of the Master Robot Workspace

為了驗證volume（）函數(shù)對重建多面體體積計算的可靠性，這里以球形工作空間的重建結(jié)果體積計算為例，對計算精度進(jìn)行驗證。隨機(jī)點數(shù)取3萬，計算結(jié)果如表3所示。可以看到，幾種不同半徑的球體采用α-Shape三維重建后，應(yīng)用volume（）函數(shù)計算的體積值誤差均小于1%，說明該方法比較可靠。

表3 體積計算精度Tab.3 Volumetric Accuracy

工業(yè)中，機(jī)器人協(xié)作完成搬運(yùn)任務(wù)一般對協(xié)作工作空間的要求不高，但完成裝配、焊接、涂膠等任務(wù)或研究避碰問題時，協(xié)作工作空間的相關(guān)數(shù)據(jù)就有著重要的參考意義。例如，采用這里方法可以在協(xié)同作業(yè)的多臺機(jī)器人安裝固定之前，計算得到工作空間與協(xié)作工作空間的相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而結(jié)合實際的任務(wù)需求判斷機(jī)器人布局方式是否滿足要求，避免多次安裝所帶來的額外人力及物力，提高生產(chǎn)效率。本例中，根據(jù)工作空間在空間的分布狀況以及協(xié)作區(qū)域相對整個機(jī)器人工作空間的占比，雙機(jī)器人相對布局比較利于機(jī)器人協(xié)作完成一定的裝配任務(wù)。

若只將公式（11）中兩臺機(jī)器人基坐標(biāo)系間平移矩陣第一個元素分別設(shè)置為600mm和1600mm，不改變兩臺機(jī)器人的姿態(tài)和其他條件，采用相同的方法計算得到協(xié)作工作空間體積分別為1.12236m3和0.05296m3，協(xié)作空間體積占比分別為50.55%和2.39%。容易看出，0.6m的布局下協(xié)作區(qū)域過大，機(jī)器人與工具、工件以及機(jī)器人與機(jī)器人之間容易發(fā)生碰撞；1.6m的布局下，協(xié)作工作空間體積過小，主、從機(jī)器人在該區(qū)域作業(yè)時關(guān)節(jié)易出現(xiàn)奇異值而且TCP點不能以多種姿態(tài)到達(dá)某個點，兩種布局均不滿足要求。

5 結(jié)論

通過機(jī)器人運(yùn)動學(xué)方程結(jié)合蒙特卡羅法得到了主、從機(jī)器人工作空間的點云模型；分析了求交集法提取協(xié)作空間點的缺點，并給出了通過計算點與點距離并加入一定閾值的判斷方法，有效的提取到了協(xié)作區(qū)域的點云；為了使工作空間可視化和數(shù)字化，提高應(yīng)用性，這里運(yùn)用三維重建相關(guān)理論，采用a-Shape算法分別對機(jī)器人工作空間和協(xié)作工作空間進(jìn)行了重建，以形體的體積計算值作為參考衡量重構(gòu)效果，給出了基于體積值的參數(shù)a確定方法，并得到了較好的重建效果；最后對重建結(jié)果的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，表明該方法對規(guī)劃機(jī)器人的布局方式具有較強(qiáng)的參考意義，為工業(yè)中機(jī)器人協(xié)作完成各種任務(wù)提供一定的理論依據(jù)。