王子文，李浩源，鄧 莉，張?jiān)姲?，馬 彬，國澤镕

(華東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，上海 200241)

本文利用示波器，采用三種可視化方法測(cè)量RLC串聯(lián)電路欠阻尼信號(hào)的衰減常數(shù)，通過Desmos軟件擬合欠阻尼圖像，并對(duì)測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度進(jìn)行了評(píng)估。采用能量損耗方程式，計(jì)算損耗電阻，并對(duì)理論值進(jìn)行了修正，修正后的理論值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值吻合度提高。

1 原 理

1.1 RLC欠阻尼狀態(tài)

RLC串聯(lián)電路如圖1所示，電源為方波，當(dāng)Us從高電平降為0，電路開始放電，這一過程中，電阻、電感、電容的總電壓恒為0，列出微分方程為：

圖1 RLC串聯(lián)電路

(1)

(2)

1.2 包絡(luò)線法測(cè)量時(shí)間常數(shù)

圖2 包絡(luò)線法測(cè)量τ值

由圖2可以看到，用包絡(luò)線法測(cè)量τ值的確可以反映真實(shí)的暫態(tài)過程，但只是近似，需要擬合出包絡(luò)線，增大了操作的難度，引入實(shí)驗(yàn)誤差。

1.3 圖解法測(cè)量時(shí)間常數(shù)

tan(ωdt+φ)=ωdτ

(3)

(4)

將(4)帶入到公式(2)中，可得：

(5)

其中UCM為振蕩峰值。

令UCM為振蕩峰值的絕對(duì)值，可得：

(6)

取對(duì)數(shù)可得：

(7)

根據(jù)式(7)可以看到最大振幅的對(duì)數(shù)與時(shí)間t呈線性關(guān)系，因此，測(cè)量一系列(UCM，t)值，做出lnUCM-t直線，根據(jù)斜率就可以求出τ值。圖解法直接根據(jù)曲線上的點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，因此是一種精確的測(cè)量方法。

又由式(6)可知，振動(dòng)的峰值呈指數(shù)衰減。如果類似包絡(luò)線法，作連接振動(dòng)峰值的點(diǎn)的曲線，測(cè)量它從最大振幅降到最大振幅0.368倍處的時(shí)間間隔也可以得到τ。包絡(luò)線法用的是切點(diǎn)不是頂點(diǎn)，自然就有實(shí)驗(yàn)誤差，只能作為近似求法。

1.4 比值法測(cè)量時(shí)間常數(shù)

根據(jù)式(3)可知達(dá)到振蕩峰值的時(shí)間為：

(8)

因此arctan(ωdτ)=kπ+φ，可知達(dá)到振蕩峰值的時(shí)間為：

(9)

因此，振蕩的周期為：

(10)

根據(jù)這一關(guān)系，得到一種準(zhǔn)確測(cè)量τ值的方法，即比值法。

設(shè)相隔n個(gè)周期的2個(gè)最大正峰值為UCM1和UCM(n+1)，將它們相除，根據(jù)(6)式可得：

(11)

因此，測(cè)量兩個(gè)最大正峰值和它們之間的振蕩周期數(shù)也可以算出τ值，比值法也是一種精確測(cè)量的方法。

2 實(shí)驗(yàn)測(cè)量

2.1 包絡(luò)線法

圖3 欠阻尼波形圖

實(shí)驗(yàn)測(cè)得電容電壓從初始振幅下降到初始振幅0.368倍的時(shí)間為ΔT=τ測(cè)=400 μs，測(cè)量值與理論值的相對(duì)誤差P=14.5%。

2.2 圖解法

保持狀態(tài)不變進(jìn)行圖解法測(cè)量，結(jié)果如表1和圖4所示：

表1 用圖解法測(cè)量τ值

由圖4可知，lnUCM=-0.002 66t+3.425 14，斜率k=-0.002 66，因此可知τ測(cè)=375.9μs，測(cè)量值與理論值的相對(duì)誤差P=19.7%。

2.3 比值法

根據(jù)圖4，取相隔較遠(yuǎn)且在直線上的兩點(diǎn)，UCM1=29.2V，UCM5=3.6V，n=4，Td=200.0μs，代入公式(11)，可得τ測(cè)=382.2μs，測(cè)量值與理論值的相對(duì)誤差P=18.4%。

以上三種方法測(cè)得的τ值與理論值之間的相對(duì)誤差都較大，超過了10%，且測(cè)量值都小于理論值，故一定還存在某種因素造成該系統(tǒng)誤差。

3 軟件擬合

將欠阻尼放電過程電容電壓的表達(dá)式即式子(2)和相關(guān)參數(shù)輸入到Desmos軟件中，得到的圖像如圖5所示：

圖5 軟件擬合欠阻尼放電過程

讀取圖中數(shù)據(jù)，用圖解法處理，結(jié)果如表2和圖6所示。由圖6可知，

lnUCM=-2136.7t+3.376，

斜率k=-2136.7，因此可知τ測(cè)=468.0μs，測(cè)量值與理論值的相對(duì)誤差P=0.02%。

表2 軟件擬合法數(shù)據(jù)

圖6 軟件擬合法lnUCM-t圖

取表2中的第2組和第8組數(shù)據(jù)，用比值法計(jì)算，得到τ測(cè)=467.7μs，測(cè)量值與理論值的相對(duì)誤差P=0.09%。

在Desmos軟件中只能精確讀取曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，而使用包絡(luò)法常常需要精確讀取曲線外的點(diǎn)，故測(cè)量誤差很大，因此包絡(luò)線法不適用于Desmos軟件擬合。

使用圖解法和比值法在軟件擬合測(cè)量時(shí)間常數(shù)時(shí)誤差都非常小，小于千分之一，說明這兩種方法的確能夠精準(zhǔn)測(cè)量時(shí)間常數(shù)。

為什么軟件擬合時(shí)的誤差幾乎為零而實(shí)際實(shí)驗(yàn)中誤差卻超過了10%呢？這是因?yàn)檐浖M合相當(dāng)于實(shí)驗(yàn)時(shí)使用的儀器都是理想的，而實(shí)際上儀器中會(huì)有各種損耗，這些損耗可以看成損耗電阻，它們使得電路中總電阻偏大，從而導(dǎo)致時(shí)間常數(shù)減小。

4 修正理論值

4.1 計(jì)算損耗電阻

電路損耗主要來源于電感和電容，因此把電路中總的損耗電阻記為RLC。下面用能量損耗方程式計(jì)算出損耗電阻RLC并修正τ值。

由(2)式可得電路中的電流為：

(12)

(13)

因此可得：

(14)

將RLC代入，可得：

(15)

就可以得到修正后的理論值。

4.2 測(cè)量RLC并修正理論值

將各方法測(cè)得的時(shí)間常數(shù)帶入式子(14)和式子(15)，就可求出電路的損耗電阻和修正的理論值，如表3所示：

表3 三種方法測(cè)得到的RLC與修正的理論值

由表3可知，每種方法的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值與修正理論值符合得都很好，相對(duì)誤差在1%以內(nèi)，且圖解法和比值法的誤差相對(duì)于包絡(luò)法更小，測(cè)量更加精確。

5 總 結(jié)

采用包絡(luò)法、圖解法、比值法三種可視化方法測(cè)量RLC串聯(lián)電路欠阻尼信號(hào)的衰減常數(shù)，對(duì)三種方法的測(cè)量準(zhǔn)確性進(jìn)行了評(píng)估，發(fā)現(xiàn)包絡(luò)線法近似測(cè)量、還是圖解法、比值法精確測(cè)量，測(cè)得的時(shí)間常數(shù)都與理論值存在超過10%的較大偏差。說明圖解法和比結(jié)合Desmos軟件擬合欠阻尼圖像進(jìn)行模擬，測(cè)得的時(shí)間常數(shù)，測(cè)量值與理論值相差小于0.1%，提高了測(cè)量的準(zhǔn)確度。采用能量損耗方程式，計(jì)算損耗電阻，并對(duì)理論值進(jìn)行進(jìn)一步修正，理論值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值相對(duì)誤差小于1%，說明了該修正方法的有效性。修正后的理論值與精確測(cè)量的時(shí)間常數(shù)符合得很好。本研究也為測(cè)量損耗電阻提供了一個(gè)新的實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法。