曹建軍 (浙江省杭州市上城區(qū)教育學(xué)院 310006)

學(xué)習(xí)路徑(簡稱學(xué)習(xí)序)是對學(xué)生學(xué)習(xí)某一具體數(shù)學(xué)知識時思維與學(xué)習(xí)過程的描述，以及一個相關(guān)的、設(shè)想的路徑，這個路徑包含了一系列指向教學(xué)目標的教學(xué)任務(wù)，以及基于學(xué)習(xí)路徑的教學(xué)設(shè)計.事實上，在學(xué)習(xí)的過程中還存在另外兩條不同的路徑：知識發(fā)生發(fā)展的過程(簡稱知識序)、理解知識的心理過程(簡稱認知序).日常教學(xué)中可能會存在兩種問題：一是教師較多地關(guān)心知識的邏輯而忽視學(xué)生認知的心理過程，造成學(xué)生被動地接受知識；二是教師可能重視了學(xué)生學(xué)習(xí)的難點與疑點，但由于對知識的理解不到位，無法有效地改善學(xué)生的學(xué)習(xí).事實上，只有數(shù)學(xué)知識的邏輯性與學(xué)生對知識邏輯性理解的心理適應(yīng)性這兩者同構(gòu)才是學(xué)習(xí)發(fā)生的基本條件[1].因此，教學(xué)設(shè)計顯然應(yīng)充分考慮這兩個路徑，使之能夠自然地融合為適合學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑，即應(yīng)將知識序、認知序自然融合為學(xué)生的學(xué)習(xí)序(雙徑融合)，努力實現(xiàn)“為學(xué)而教”.

在浙教版“去括號法則”的教學(xué)中，當括號前的數(shù)字因數(shù)不為1或-1時，學(xué)生存在兩個易錯點：當括號前面是負號時忘記改變括號內(nèi)每一項的符號；漏乘數(shù)字因數(shù).學(xué)生在這一問題上的錯誤率一直都比較高，教師對于問題產(chǎn)生的原因卻 “百思不得其解”.在近期舉行的浙江省初中數(shù)學(xué)新課程新教材“疑難問題解決”專題研訓(xùn)活動中，本人結(jié)合浙教版七年級上冊“4.6整式的加減(1)”(即“去括號法則”)一課向與會代表分享了自己對這一內(nèi)容學(xué)習(xí)路徑設(shè)計的思考，現(xiàn)與大家交流.

1 知識的發(fā)展路徑分析

1.1 地位和作用

整式的加減是學(xué)習(xí)式的運算的第一步，是式的運算的基礎(chǔ)，其中蘊含的內(nèi)容、思想方法和研究方法在后續(xù)學(xué)習(xí)中有示范作用.就整章而言，整式分為兩大部分——整式的有關(guān)概念和整式的加減運算，整式的有關(guān)概念是整式運算的基礎(chǔ).因此整式的加減是本章的重點，而整式的加減可以歸結(jié)為去括號和合并同類項.可以說，去括號是整式加減的基礎(chǔ)，也是今后學(xué)習(xí)整式的乘法、分式運算及解方程的基礎(chǔ).

1.2 內(nèi)容解析

去括號是通過分配律將含有括號的整式轉(zhuǎn)化為整式和的形式，從而可以運用加法的運算律，達到合并同類項的目的.既然就是分配律，那為什么還要學(xué)習(xí)去括號法則呢？實際上，去括號法則的本質(zhì)是去括號時符號變化的規(guī)律.而學(xué)習(xí)去括號法則的目的，就在于從易錯的符號問題中獲得規(guī)律，從而將符號運算轉(zhuǎn)化為數(shù)值運算，最終促進技能的自動化(顯然也能對去括號的結(jié)果，尤其是符號的檢驗具有更清晰的幫助).

1.3 對比分析現(xiàn)本質(zhì)

對括號前的數(shù)字因數(shù)不為1或-1時這一易錯點的教學(xué)處理，浙教版教科書與人教版教科書采用了不同的方法.浙教版直接用乘法分配律，如-3(2x2-3x)=(-3)×2x2+(-3)×(-3x)= -6x2+9x，即直接將-3作為整體乘以括號中的每一項.而人教版先把正系數(shù)用分配律轉(zhuǎn)化為系數(shù)為1的情況，再根據(jù)法則去括號，如-3(2x2-3x)=-(3×2x2-3×3x)=-6x2+9x，即第一步先將-3的絕對值3乘以括號中的每一項(運算不牽涉符號)，從而轉(zhuǎn)化為與法則相符的括號前只含符號的形式，此時并沒有去掉括號；第二步再用去括號法則去掉括號，同時改變括號中每一項的符號.相較于浙教版，人教版的處理有效降低了思維難度，一定程度上避免了錯誤的發(fā)生，也更體現(xiàn)去括號法則的本質(zhì).根據(jù)以上分析，確定知識序(圖1)：

圖1 去括號法則的本質(zhì)及其知識路徑

2 學(xué)習(xí)的認知路徑分析

2.1 學(xué)生已具備的認知基礎(chǔ)

學(xué)生已經(jīng)學(xué)過數(shù)的分配律，對于數(shù)的去括號已經(jīng)有了初步的認識.小學(xué)四年級就由特殊到一般歸納過分配律的文字語言，并以填空的形式寫過符號語言：a×(b+c)=a×+a×.到了初中，在數(shù)的范圍分別擴展到有理數(shù)和實數(shù)時，都研究過原有的運算律與運算法則在新的范圍內(nèi)同樣適用的問題，并進行了具體運用的練習(xí).

2.2 與本課目標的差距以及彌補的方法

(1)數(shù)的分配律仍適用于式的運算的合理性

由于數(shù)的分配律不含字母，所以學(xué)生在理解分配律仍適用于式的運算的合理性時可能會有一定的困難.為此，可以嘗試采用以下兩種方式，增強學(xué)生對合理性的理解:

①幾何直觀.由長方形面積的不同表示，得到等式3(x+3)=3x+9，形成對合理性的直觀感受.

②字母表示數(shù).回顧代數(shù)式的概念，進一步理解字母表示數(shù)的本質(zhì)，所以數(shù)的分配律顯然仍適用于式的運算.

(2)數(shù)的運算與式的運算在處理括號時的差異性

在有理數(shù)運算中，遇到括號時通常先做括號中的運算，而在整式運算中往往需要先去括號再合并同類項.這種差異進一步增加了學(xué)生對去括號的理解的難度.因此，去括號也是本章學(xué)習(xí)的難點.要讓學(xué)生根據(jù)合并同類項法則明確括號內(nèi)不能直接運算的原因，進一步明確算理，經(jīng)歷完整的整式運算的建構(gòu)過程.如先呈現(xiàn)無括號的合并同類項的問題，再出現(xiàn)有括號的問題，從能合并到不能合并，讓學(xué)生自然產(chǎn)生認知沖突，體會差異并理解算理.

(3)去括號法則本質(zhì)的明確

浙教版去括號法則教學(xué)中易錯點的產(chǎn)生，實質(zhì)上與教材的編寫有一定的關(guān)系.人教版在學(xué)生學(xué)習(xí)法則的過程中明確歸納的是去括號時符號變化的規(guī)律，是直接指向去括號法則的本質(zhì)的.浙教版雖然同樣得出了法則，但沒有明確這一點，學(xué)生對本質(zhì)的理解是不明確的；在括號前的數(shù)字因數(shù)不為1或-1的例題教學(xué)時又采用了分配律直接運算的方式，再次失去強化本質(zhì)的機會.這造成學(xué)生在去括號時，基本上都直接用分配律.此時，對每一項需要同時進行符號與數(shù)值兩方面的運算，顯然更容易產(chǎn)生錯誤.

根據(jù)以上分析，教學(xué)中要加強對式的運算的合理性的認識，充分理解數(shù)式運算的差異性.在法則獲得過程中，應(yīng)讓學(xué)生充分明確法則的本質(zhì)——去括號時符號變化的規(guī)律；在法則運用過程中，要讓學(xué)生直接使用法則進行操作，鞏固法則本身，而不是分配律.

3 學(xué)習(xí)路徑的基本流程設(shè)計

由以上兩方面的分析，我們確定了本課學(xué)習(xí)路徑的基本流程(圖2)：

圖2 “去括號法則”學(xué)習(xí)路徑的基本流程設(shè)計

4 “學(xué)為中心”的問題導(dǎo)學(xué)設(shè)計(部分)

4.1 法則獲得

問題1你能把下列整式化簡嗎？(1) 2ab+2-3ab-1；(2) 2(ab+1)+(-3ab-1)； (3) 2(ab+1)-(3ab+1).

師生活動：因為已學(xué)過合并同類項，所以學(xué)生能夠?qū)?1)合并得到結(jié)果，但解決(2)時遇到問題，括號中的多項式不能像有理數(shù)運算一樣先計算了(合并)，怎么辦？所以需要先去括號，怎么去？

問題2分配律在數(shù)的運算中是適用的，現(xiàn)在是數(shù)乘以式，那么分配律在式的運算中是否還成立呢？

師生活動：學(xué)生用兩種方法來表示矩形的面積，得到等式3(x+3)=3x+9，驗證分配律同樣適用于代數(shù)式的運算.

問題3你還能從其他角度解釋這個結(jié)論嗎？

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生回顧代數(shù)式概念，即由數(shù)、表示數(shù)的字母和運算符號組成的數(shù)學(xué)表達式，充分了解字母表示數(shù)，所以數(shù)的分配律仍然適用于式的運算.

評析引導(dǎo)學(xué)生深入數(shù)學(xué)思考：“引進一種新的數(shù)，就要研究相應(yīng)的運算；定義一種運算，就要研究相應(yīng)的運算律”，這是代數(shù)的核心思想.在數(shù)系、運算法則和運算律(即對任何數(shù)都成立的通性)中獲得的知識，可以方便地遷移到“以字母表示數(shù)”后的學(xué)習(xí)中去.

問題4請運用分配律將下列各式去括號：(1) 3(x+5)=;(2) +(x+y+z)=;(3) +(x-y+z)=;(4) -2(-x+6)=;(5) -(x+y+z)=;(6) -(x-y+z)=.

請觀察每個等式去括號前后各式符號的變化，你能歸納你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

設(shè)計意圖浙教版教科書中并沒有明確指明去括號法則是去括號時符號變化的規(guī)律，通過前面的分析可知，這是學(xué)習(xí)路徑中極重要的一環(huán)，所以設(shè)置這6個小題引導(dǎo)學(xué)生歸納，從而獲得去括號法則.

4.2 法則運用

題組1 去括號:(1) +(x-y)=;(2) -(-x-y)=;(3)x-(y+z)=;(4)x+(-y+z)=.

師生活動：完成之后請學(xué)生對照書本，閱讀課本對-3(2x2-3x)是怎么書寫解題步驟的.

問題5對于課本的解題步驟-3(2x2-3x)=-3×2x2+(-3)×(-3x)=-6x2+9x，你能說出每一步的依據(jù)嗎？你還有其他做法嗎？你的依據(jù)是什么？

評析對于括號前數(shù)字因數(shù)的絕對值不是1的情況的解決，課本例題采用的方法實際上并非去括號法則的直接運用，而是利用分配律去括號.這樣的安排忽視了去括號法則的本質(zhì)，不利于學(xué)生對去括號法則意義的理解，顯然也不利于技能自動化的達成，與程序性知識學(xué)習(xí)的階段要求是相悖的.因此，在其他做法的介紹中，為了避免部分學(xué)生符號出錯，可以分兩步:先將絕對值通過乘法運算放進括號，依據(jù)是分配律；再利用法則去括號.從而讓學(xué)生經(jīng)歷法則的運用過程，而不只是分配律的運用.

問題6去括號時哪些地方容易出錯？你有哪些避免出錯的措施？

師生活動：大家討論得到以下幾點：①去括號，看符號；是“+”號，不變號；是“-”號，全變號；②去掉的是括號和括號前的符號；③運用分配律的時候不要漏乘.

5 “學(xué)為中心”的學(xué)習(xí)路徑設(shè)計的思考

5.1 “雙徑融合，問題導(dǎo)學(xué)”的學(xué)生學(xué)習(xí)路徑的設(shè)計流程

“學(xué)為中心”的課堂教學(xué)要求教師在教學(xué)設(shè)計和教學(xué)組織時必須站在學(xué)生立場上，創(chuàng)設(shè)一條最適合學(xué)生學(xué)習(xí)的路徑.具體來說，我們可以按“雙徑融合，問題導(dǎo)學(xué)”的流程做好這一工作(圖3)：

圖3 “學(xué)為中心”的學(xué)生學(xué)習(xí)路徑的設(shè)計流程

一是充分理解數(shù)學(xué)知識及其發(fā)生發(fā)展過程.教師要“重在分析知識結(jié)構(gòu)，分析知識因果關(guān)系，獲得知識環(huán)環(huán)相扣、嚴絲合縫的邏輯路徑，以此為基礎(chǔ)，選擇知識發(fā)生的捷徑進行教學(xué).”[1]教師只有充分理解數(shù)學(xué)知識的邏輯路徑才能找到關(guān)鍵節(jié)點，真正實現(xiàn)“再創(chuàng)造”過程的教育價值.如本課中，只有分析清楚去括號法則的本質(zhì)是從易錯的符號問題中獲得規(guī)律，從而將符號運算轉(zhuǎn)化為數(shù)值運算，才能正確處理其與分配律的關(guān)系，并設(shè)計“問題5”引導(dǎo)學(xué)生探尋不同解法.只有分析清楚知識的類型及其學(xué)法，才會懂得如何強化法則的概括過程，并合理設(shè)計“問題4”以明確指向去括號時符號變化的規(guī)律這一法則的本質(zhì).

二是深入了解學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的心理過程.教師要依據(jù)認知規(guī)律，充分利用數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐性知識，與學(xué)生進行“心理換位”，揣摩學(xué)生的認知特征，“深切地體會學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時，心理上的那種深陷重圍的痛楚、舉步維艱的困惑、欲言又止的難局，依據(jù)學(xué)生的心理生成，有針對性地設(shè)計出利于學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué).”[1]本課中，只有分析清楚學(xué)生在理解分配律仍適用于式的運算的合理性時可能會有困難，才會引導(dǎo)學(xué)生回顧代數(shù)式概念，充分了解字母表示數(shù)，從而意識到數(shù)的分配律仍然適用于式的運算.也只有分析清楚學(xué)生的常見錯誤：當括號前面是負數(shù)時，容易忘記改變括號內(nèi)每一項的符號，才會有針對性地提出分步實施的建議.

三是善于以問題引領(lǐng)學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)問題的解決過程就是學(xué)生思維活動的過程，因此，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的核心是問題的設(shè)計，它要求教師在教學(xué)設(shè)計時善于選擇一個好的問題情境，善于設(shè)置一個好的起始問題，設(shè)計一串能夠引導(dǎo)學(xué)生不斷深入思考的問題鏈，通過先“設(shè)疑”后“解惑”，組織起學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動，搭建起整個數(shù)學(xué)教學(xué)活動的過程.如在本課中，理解了知識路徑與認知路徑并非就一定能很好地設(shè)計出適合學(xué)生學(xué)習(xí)的路徑，還需要進行“學(xué)為中心”的問題導(dǎo)學(xué)設(shè)計，如問題2、4、5的思考性問題，問題3的拓展性問題，問題6的歸納性問題，引導(dǎo)學(xué)生通過問題鏈真正經(jīng)歷這一“理想的”學(xué)習(xí)路徑.

以上三項工作中，教師充分理解數(shù)學(xué)知識及發(fā)生發(fā)展過程是學(xué)習(xí)過程設(shè)計的前提與基礎(chǔ)，深入了解學(xué)生理解知識的心理過程是學(xué)習(xí)過程設(shè)計的必要條件，以問題引領(lǐng)教學(xué)是教學(xué)設(shè)計的一個基本策略.

5.2 “雙徑融合，問題導(dǎo)學(xué)”促使學(xué)生“有目的地思考”

“重結(jié)果輕過程”是法則教學(xué)中普遍存在的現(xiàn)象，許多教師會直接給出法則，然后讓學(xué)生通過反復(fù)的訓(xùn)練來強化記憶法則.通過“雙徑融合”的方法進行設(shè)計顯然使得教師對代數(shù)運算的教學(xué)上升了一個高度——注重知識發(fā)生發(fā)展過程以幫助理解算理、感受重要數(shù)學(xué)思想方法、發(fā)展基本數(shù)學(xué)能力.更為重要的是可以更好地促使學(xué)生“有目的地思考”，這顯然是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計最重要的目標之一.如此，法則教學(xué)就不會被簡單定位成技能教學(xué)，顯然還可以包括更多、更為高級的思維層面的目標.

在本課中，如果沒有充分理解字母表示數(shù)，學(xué)生就不會認為代數(shù)式的本質(zhì)仍是數(shù)，也就不可能充分體會“數(shù)式通性”，對分配律仍適用于式的認識也就可能只停留在直觀的水平，而不能達到代數(shù)的本質(zhì).如果沒有深入分析去括號法則的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生進行有目的的歸納活動，學(xué)生甚至部分教師都會將其僅僅視為分配律的運用，法則就成了“空中樓閣”.