劉曉麗 劉 銀 (江蘇省鎮(zhèn)江第一中學 212016)

“教”始終圍繞“學”開展，教學中應(yīng)根據(jù)學生的思維發(fā)展水平和數(shù)學學習規(guī)律安排學習探究活動.根據(jù)維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論，教學就是要教師幫助學生彌合當前認知水平與潛在認知水平的差異[1].明確學生當前認知水平是設(shè)計教學的首要任務(wù)，準確有效的學情分析是定位教學起點、明確教學目標、設(shè)計問題情境、預見教學重難點突破口的基礎(chǔ)前提.教學過程中，學生的思維一旦在教師創(chuàng)設(shè)的思維入口“登陸”以后，思維在各自的“認知平臺”上呈“脫韁”之勢，教師如何在學生思考出現(xiàn)困難時及時給予指導與幫助，及時把握和調(diào)整思維方向，同樣都需要教師對學生的反應(yīng)進行動態(tài)的分析[2].時時關(guān)注動態(tài)學情，學情分析應(yīng)貫穿于教學過程的始終，乃至于當前學習效果的檢測也是下一次課前學情分析的基礎(chǔ).近日，筆者有幸參加江蘇省中小學青年教師教學技能大賽并榮獲一等獎，回顧整個比賽過程，筆者經(jīng)歷多次同行、專家的指導幫助，多次改進教學設(shè)計，收獲頗多，以下再現(xiàn)改進成果片段——對數(shù)概念的“三次認知”過程與同仁分享，不當之處請批評指正.

1 學生學情分析

本節(jié)課的核心任務(wù)是認識什么是對數(shù)？為什么要研究對數(shù)、怎樣研究對數(shù)、研究對數(shù)有什么用．授課對象是高一學生．在從知識結(jié)構(gòu)上，學生已經(jīng)學習了集合、函數(shù)的概念、函數(shù)的表示方法以及函數(shù)的一般性質(zhì)，對函數(shù)有了初步的認識，在此基礎(chǔ)上又有研究指數(shù)(根式)這種“新數(shù)”的一般方法，有符號化表示無理數(shù)的經(jīng)驗，經(jīng)歷過從特殊到一般，具體到抽象的研究過程；這些都為學生研究對數(shù)提供了探究方法和理論基礎(chǔ)．在能力水平上，學生已經(jīng)具備一定的抽象、推理、類比等能力.但對數(shù)是一個全新的概念，學生理解起來有一定困難，歸納、類比、概括能力也不足.教學過程中需要教師指導，以使學生習得獨立思考、大膽探索和靈活運用類比、轉(zhuǎn)化、歸納等數(shù)學思想的學習方法，學會將已有的經(jīng)驗遷移到新知識的學習上.

2 教學過程設(shè)計

引入：法國數(shù)學家拉普拉斯曾說：“‘對數(shù)’用縮短計算時間的方式,延長了天文學家的壽命”.那么，對數(shù)是怎樣簡化計算的呢？讓我們開啟“對數(shù)”的學習之旅.

2.1 把握新知識孕育點,完成對數(shù)概念的第一次認知——直觀感知

情境1某種細胞在分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個……

由此，若知道了1個細胞的分裂次數(shù)x，就能求出分裂后相應(yīng)的細胞數(shù)y=2x；反過來，若知道了分裂后相應(yīng)的細胞數(shù)y，怎樣求出分裂的次數(shù)x呢？

引例問題：若分裂后相應(yīng)的細胞數(shù)是8，分裂的次數(shù)x是多少呢？這里我們不難得到：2x=8?x=3，指數(shù)3是由底數(shù)和冪值唯一確定.

設(shè)計意圖基于學生對細胞分裂問題較為熟悉，通過此實例直觀感知“求指數(shù)”的方程有解，由于蘇教版新教材將“對數(shù)”放在指數(shù)函數(shù)之前學習，本節(jié)課無法解釋“求指數(shù)”的方程有解及解的唯一性，因此本教學設(shè)計先通過一個很容易看出解的“指數(shù)方程”，感知“求指數(shù)”運算的存在實然.

情境2假如你今天的數(shù)學水平是1，以后每天比前一天增加1%.

問題1 你能就此情境提出1-2個有意義的問題嗎？

學生活動：學生思考后交流想法.教師引導學生選擇與本節(jié)課內(nèi)容密切關(guān)聯(lián)的問題進行研究.如①經(jīng)過5天，數(shù)學水平是多少？②經(jīng)過多少天后，數(shù)學水平是原來的2倍？

問題1.1 你的問題如何用數(shù)學符號表示呢？

問題1.2 你能解決嗎？不能，怎么辦？

問題1.3 遇到新的問題，一般要怎么想？

問題1.4 之前見過類似的方程嗎？

學生活動：自主分類,指數(shù)式ab=N中已知兩個量求第三個量的問題：

(1)已知a，b，求N；(求冪值是乘方運算)

如22=N?N=4，23=N?N=8．

(2)已知b，N，求a；(求底數(shù)是開方運算)

(3)已知a，N，求b.(猜想：求指數(shù)也屬于某種運算)

如2(?)=8，1.01(?)=2.

設(shè)計意圖基于學生對冪的乘方運算的認知基礎(chǔ)，問題1引領(lǐng)學生主動發(fā)現(xiàn)、提出問題，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識.借助方程思想分析對數(shù)產(chǎn)生的數(shù)理邏輯，體驗是什么問題促使我們引入新形式的數(shù)；在“數(shù)據(jù)的無限和運算的有限”之間產(chǎn)生認知沖突，進而產(chǎn)生學習的欲望和動力；在解決指數(shù)方程1.01x=2中感知新知識的孕育點，進一步推動學生用數(shù)學的眼光觀察世界.學生經(jīng)歷、積累一定量的感性認識，才能為“思”和“想”提供直觀基礎(chǔ)和感性經(jīng)驗，這是學生通過直觀感知第一次認識“對數(shù)”.實際上課堂研究的兩個問題都是圍繞指數(shù)式ab=N，已知兩個量求第三個量的問 題,借助方程思想引導學生自主分類，發(fā)現(xiàn)新舊知識聯(lián)系，猜想“求指數(shù)也屬于某種運算”，提高學生學習數(shù)學的興趣.回顧和、差、積、商、乘方、開方 這些熟悉的運算，學生在類比中自然猜測“求指數(shù)”也屬于某種運算，增強學生學好數(shù)學的自信心.

2.2 抓住深度學習支撐點,完成對數(shù)概念的第二次認知——文字語言

問題2 填一填、說一說，說出下列等式中的對數(shù)

設(shè)計意圖從熟悉的指數(shù)式出發(fā),建立已有知識(指數(shù))與新知(對數(shù))之間的內(nèi)在聯(lián)系，將直觀印象的“指數(shù)關(guān)系”向“對數(shù)關(guān)系”過渡，學生在“填一填、說一說”的過程中，正例強化逐步形成對數(shù)概念的文字語言，為后面對數(shù)符號的出現(xiàn)作重要鋪墊.

2.3 牢系對數(shù)概念生長點，完成對數(shù)概念的第三次認知——符號語言

問題3 脫離細胞分裂的實際背景，若2b=3，這里的b又是誰的對數(shù)呢？

問題3.1 能像上面一樣，用我們學過的具體數(shù)把它表示出來嗎？若不能，怎么辦？

問題3.2 你覺得它與哪些數(shù)有關(guān)呢？

問題3.3 以前有過類似的學習經(jīng)歷嗎？談?wù)勀愕南敕?

問題3.4 以前有過用符號表示一個“新數(shù)”的經(jīng)歷嗎？

問題3.5 這里要表示b,怎么辦？

問題3.6 你能將“填一填、說一說”中的對數(shù)用符號表示出來嗎？

設(shè)計意圖2b=3中的b不像前面幾個對數(shù)能立刻算出具體數(shù)值，這就引發(fā)學生思考，迫切需要引入新的符號.這里體驗了什么問題促使我們引入新形式的數(shù)、引入新符號的必要性.學生經(jīng)歷從具體到抽象的過程，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)，提升創(chuàng)新意識，也為后續(xù)其它概念(如復數(shù))的引入作鋪墊.將對數(shù)概念的“文字語言”向“符號語言”過渡，學會用數(shù)學語言表達.學生在“填一填、說一說”的過程中，通過正例強化對對數(shù)概念的符號語言的理解.到這里對數(shù)概念的出現(xiàn)水到渠成.

問題4 根據(jù)上面這些例子，你能得到一般情況下的對數(shù)概念嗎？

對數(shù)的概念：如果ab=N(a>0,a≠1)，那么就稱b是以a為底N的對數(shù)，記作logaN=b.其中，a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．

3 教學反思

教學設(shè)計應(yīng)基于學生學情分析視角，步步以學生的元認知為起點，適當使用啟發(fā)性提示語，不斷地為學生搭建思維階梯，旨在創(chuàng)設(shè)螺旋式上升的數(shù)學探究課堂，使學生在主動參與知識建構(gòu)中提升數(shù)學核心素養(yǎng).

關(guān)于對數(shù)的概念的教學，只有學生經(jīng)歷、積累一定量的感性認識，才能為“思”和“想”提供直觀基礎(chǔ)和感性經(jīng)驗.從對數(shù)概念的形成過程中感知一個新概念的建立、發(fā)展過程，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，提升邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng).將學生已有的“用符號表示無理數(shù)”的經(jīng)驗，類比遷移到對數(shù)符號的學習上，在解決2b=3的求指數(shù)過程中，對原有知識進行創(chuàng)新，迫切需要“創(chuàng)造”對數(shù)符號．在“填一填、說一說”兩次正例強化對對數(shù)概念的理解，使對數(shù)概念的出現(xiàn)水到渠成.對于高一學生來說，尚未完全掌握學習一個新的數(shù)學概念的方法，對數(shù)還是一個全新的概念.在學習過程中，教師及時補充啟發(fā)性提示語，幫助學生將已有經(jīng)驗逐步遷移到新知識的學習上.學習的過程就是不斷地提出問題、解決問題的過程，提出問題比解決問題更重要，教師應(yīng)給學生提供提出問題、選擇研究方法的機會，逐漸學會研究問題，學會學習，促進能力發(fā)展.整個教學過程中，重視認知主體“我”的感受、體驗，傾聽“我”的想法，課堂上讓學生說過程、說想法、說結(jié)論，理解概念、掌握方法，感悟思想，提升素養(yǎng).

“三次認知”既是語言表達方式的躍遷，又吻合了數(shù)學抽象的一般過程；既滿足了學生知識發(fā)展的認知需求，又幫助學生實現(xiàn)了知識的重新建構(gòu)；既實現(xiàn)了基礎(chǔ)知識、基本方法的習得，又凝練了數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng).以學定教是實施教學的基本原則，從這個角度來說這節(jié)課的設(shè)計是“用心”的，為學生構(gòu)建了“前后一致、邏輯連貫”的學習過程，幫助學生由學會到會學.有效地把握好學情才能精準地設(shè)計教學活動，才能獲得卓越的教學效果.