孟 波,劉文慧

(南京師范大學(xué)南瑞電氣與自動(dòng)化學(xué)院,江蘇 南京 210023)

近年來(lái),非線性系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定控制問(wèn)題受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛的關(guān)注. 從工程實(shí)踐的角度來(lái)看,有限時(shí)間穩(wěn)定性比漸近時(shí)間穩(wěn)定性更有意義,比如行駛中的汽車制動(dòng)問(wèn)題. 線性系統(tǒng)的有限時(shí)間控制問(wèn)題是由Tang[1]所提出,該方法是更優(yōu)于線性滑膜方法的終端滑膜方法. Lyapunov有限時(shí)間穩(wěn)定性理論很好地解決了在非線性系統(tǒng)中由滑?？刂破饕鸬亩墩駟?wèn)題[2]. 近年來(lái),Lyapunov有限時(shí)間穩(wěn)定性理論的應(yīng)用愈發(fā)廣泛[3-6]. Li等[7]對(duì)一類多輸入多輸出的非嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)結(jié)合反步法和動(dòng)態(tài)面控制設(shè)計(jì)了有限時(shí)間控制器. 在現(xiàn)實(shí)生活中,船只航向、航空航天等的自動(dòng)控制問(wèn)題廣泛涉及到控制方向未知的非線性系統(tǒng),但是上述文獻(xiàn)[3-7]并沒(méi)有討論當(dāng)非線性系統(tǒng)控制方向未知時(shí)的控制問(wèn)題. 在這一領(lǐng)域具有開(kāi)拓性意義的是Nussbaum[8]提出的利用Nussbaum函數(shù)解決控制方向未知這一難題的方法,該方法至今仍是解決控制方向未知問(wèn)題的主要方法. 文獻(xiàn)[9-10]都是通過(guò)坐標(biāo)變換將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為控制增益已知的新系統(tǒng)后設(shè)計(jì)了狀態(tài)觀測(cè)器應(yīng)用Nussbaum函數(shù)和反步法來(lái)設(shè)計(jì)控制器,所不同的是前者設(shè)計(jì)的是線性觀測(cè)器而后者設(shè)計(jì)的是模糊狀態(tài)觀測(cè)器. 文獻(xiàn)[11-12]都利用了Nussbaum函數(shù)和動(dòng)態(tài)面控制思想分別解決了系統(tǒng)控制增益符號(hào)未知的問(wèn)題以及“計(jì)算膨脹”現(xiàn)象. 但是上述文獻(xiàn)[8-12]并沒(méi)有考慮有關(guān)控制方向未知的非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間控制問(wèn)題.

鑒于此,Ma等[13]針對(duì)一類具有執(zhí)行器故障和未知控制方向的非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了控制器,并且可以保證該系統(tǒng)全局有限時(shí)間鎮(zhèn)定. Wu等[14]針對(duì)多未知控制方向的非線性系統(tǒng)提出了一種全局有限時(shí)間控制策略,文獻(xiàn)[15]在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上對(duì)于多未知控制方向非線性系統(tǒng)增加了未知參數(shù)并設(shè)計(jì)了全局有限時(shí)間控制器. 但是上述文獻(xiàn)[12-15]都基于系統(tǒng)狀態(tài)向量可測(cè)情形. 另一方面,作為控制系統(tǒng)中常見(jiàn)的非線性問(wèn)題,死區(qū)往往會(huì)降低系統(tǒng)的控制性能,甚至導(dǎo)致控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定[16-19].

對(duì)于一類控制方向未知的不確定非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間自適應(yīng)輸出反饋跟蹤控制問(wèn)題,本文主要做以下工作:

(1)針對(duì)文獻(xiàn)[3-7]中系統(tǒng)均為控制方向已知,本文假設(shè)系統(tǒng)控制方向未知并借助Nussbaum函數(shù)來(lái)解決.

(2)對(duì)比文獻(xiàn)[8-12]沒(méi)有考慮有關(guān)控制方向未知的非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間控制問(wèn)題,本文對(duì)于此類系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種新的有限時(shí)間控制器.

(3)對(duì)于文獻(xiàn)[12-15]的控制器是基于系統(tǒng)狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)的,本文對(duì)此條件進(jìn)行了放寬,以此提出的控制策略可以更廣泛地應(yīng)用于工程實(shí)踐.

1 問(wèn)題描述、預(yù)備知識(shí)和模糊邏輯系統(tǒng)

1.1 問(wèn)題描述

考慮下面嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng):

(1)

(2)

H(υ)=μ(t)υ+Δ(t).

(3)

式中

然后可以得到:

(4)

假設(shè)2參考信號(hào)yr和它的n階導(dǎo)數(shù)均是分段連續(xù),已知且有界的.

1.2 預(yù)備知識(shí)

引理2[20]對(duì)于任意的正常數(shù)μ,τ,κ和實(shí)變量e,有不等式|e|μ||τ成立.

1.3 模糊邏輯系統(tǒng)

系統(tǒng)中的未知非線性項(xiàng)用模糊邏輯系統(tǒng)描述如下,IF-THEN規(guī)則:

2 模糊狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

(5)

(6)

式中

(7)

(8)

(9)

注1可以看到在系統(tǒng)(5)中,所有的控制增益都是已知的. 由于(5)由原系統(tǒng)(1)通過(guò)線性變換所得,所以(5)中所有的狀態(tài)都是不可知的. 因此,本文設(shè)計(jì)了一個(gè)模糊狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)(5)中不可測(cè)的狀態(tài),然后基于此觀測(cè)器提出了一種新的有限時(shí)間控制策略.

3 控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析

3.1 控制器設(shè)計(jì)

提出一種基于反步法的自適應(yīng)有限時(shí)間控制方案. 跟蹤誤差zi以及Lyapunov函數(shù)分別為:

z1=y-yr,

(10)

(11)

(12)

第1步:由(5)、(10)計(jì)算跟蹤誤差導(dǎo)數(shù)為下式,其中ε′1=ε1+D1,

(13)

由(12)、(13)計(jì)算V1的導(dǎo)數(shù)為:

(14)

(15)

(16)

將(15)、(16)代入(14)可得:

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

第i(i=2,3,…,n-1)步:由(5)、(6),計(jì)算zi的導(dǎo)數(shù)為:

(22)

根據(jù)(12)和(22),Vi的導(dǎo)數(shù)為:

(23)

(24)

(25)

將(24)、(25)代入(23)可得:

(26)

(27)

(28)

由(27)和(28)代入(26)可以得到:

(29)

第n步:求得Vn的導(dǎo)數(shù)為:

(30)

應(yīng)用Young’s不等式,由(4)可得:

(31)

(32)

(33)

由(30)、(31)、(32)和(33)可得:

(34)

3.2 穩(wěn)定性分析

定理1考慮具有未知控制方向和輸入死區(qū)的非線性系統(tǒng)(1),在假設(shè)3和引理5的條件下,基于模糊狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)的控制器(18)、(27)、(32)和自適應(yīng)律(20)、(28)、(29)和(33)可以保證此閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)所有信號(hào)的有界性和跟蹤誤差在原點(diǎn)處的收斂性.

證明:選擇李雅普諾夫函數(shù)V=Vn,由(34)有:

(35)

應(yīng)用Young’s不等式,有

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

將(39)、(40)、(41)和(42)代入(38)有:

(43)

4 仿真實(shí)例

考慮下面非線性系統(tǒng)

(44)

式中,s1=1,s2=-1,參考信號(hào)yr=sint,對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行坐標(biāo)變換后新系統(tǒng)和模糊觀測(cè)器分別為:

(45)

(46)

根據(jù)設(shè)計(jì)的控制器υ仿真結(jié)果如圖1-圖4所示,圖1是輸出信號(hào)y和參考信號(hào)yr的軌跡,圖2是跟蹤誤差z1的仿真結(jié)果. 由圖1和圖2可以看出,輸出信號(hào)y在控制器υ的作用下具有良好的跟蹤性能. 圖3 顯示了經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換后式(45)的狀態(tài)變量和狀態(tài)估計(jì),圖4給出了模糊自適應(yīng)參數(shù).

圖1 輸出y和參考信號(hào)yr的軌跡Fig.1 Trajectories of output y and tracking signal yr

圖2 跟蹤誤差z1Fig.2 Tracking error z1

圖3 狀態(tài)變量ξ1和它的估計(jì)量Fig.3 State variable ξ1 and and its estimation

圖4 模糊自適應(yīng)參數(shù)Fig.4 Fuzzy adaptation parameters

5 結(jié)論

本文針對(duì)一類具有輸入死區(qū)以及控制方向未知且只有輸出可測(cè)的非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了半全局有限時(shí)間控制器. 首先,引入坐標(biāo)變換,將所研究的系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為控制增益已知的等效系統(tǒng). 然后,設(shè)計(jì)了一個(gè)模糊狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)不可測(cè)的狀態(tài). 通過(guò)Nussbaum函數(shù)解決了該系統(tǒng)控制方向未知的困難,基于模糊狀態(tài)觀測(cè)器,通過(guò)反步法利用變換后的系統(tǒng)間接得到原系統(tǒng)的控制器. 此外,由仿真算例可以看出在該控制器的作用下跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)保持有界并收斂至原點(diǎn)的一個(gè)小鄰域內(nèi),且由引理4可知閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號(hào)都保持有界.