李 欣，王文熙，王修勇，張 靜

（1.湖南科技大學(xué) 結(jié)構(gòu)抗風(fēng)與振動(dòng)控制湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 湘潭411201；2.湖南大學(xué) 風(fēng)工程與橋梁工程湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙410082）

調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（Tuned mass damper，TMD）作為一種研究較為成熟的阻尼器在土木工程中得到了大量的應(yīng)用[1-3]。但其只有在調(diào)諧的時(shí)候才能有較好的控制效果，一旦發(fā)生失諧時(shí)則其減振效果會(huì)明顯下降[4]。為了改善TMD 這一不足之處，一些學(xué)者將碰撞耗能引入TMD設(shè)計(jì)中，提出了碰撞調(diào)諧質(zhì)量阻 尼 器（Pounding tuned mass damper，PTMD）。PTMD以黏彈性材料代替?zhèn)鹘y(tǒng)TMD中的阻尼，研究表明PTMD 相較于TMD 有更好的魯棒性[5]。Xue等[6]將PTMD 用于單層框架和多層框架的振動(dòng)控制，并進(jìn)行振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)。李英娜等[7]研究地震作用下PTMD對(duì)海洋平臺(tái)的振動(dòng)控制，與TMD進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)PTMD 的控制效果更好。Lin 等[8]以廣州電視塔為工程背景，建立有限元模型分析了PTMD 對(duì)多自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)有著良好的抑制效果。Yin 等[9]將PTMD 應(yīng)用于風(fēng)荷載、交通荷載以及橋梁耦合系統(tǒng)的振動(dòng)控制中，安裝PTMD 后橋梁的豎向位移顯著降低。Wang 等[10]為了更好地利用碰撞耗能，在PTMD 的基礎(chǔ)上取消一個(gè)限位擋板，并將碰撞間隙取為0，提出了單面碰撞調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（Singleside pounding tuned mass damper，SS-PTMD）。Wang等[11]通過風(fēng)洞試驗(yàn)驗(yàn)證了SS-PTMD對(duì)橋梁的渦振有著良好的控制效果。Duan 等[12]將SS-PTMD應(yīng)用于阻尼器位移空間有限的主結(jié)構(gòu)上，并與傳統(tǒng)PTMD 的減振性能比較。結(jié)果表明SS-PTMD 有更好的性能和更大的應(yīng)用前景。何禹忠等[13]設(shè)計(jì)了懸臂式SS-PTMD 控制單自由度結(jié)構(gòu)振動(dòng)。仿真和實(shí)驗(yàn)研究表明SS-PTMD在調(diào)諧與失諧14%、21%時(shí)，結(jié)構(gòu)阻尼比分別增加3.85%、2.35%以及1.65%，表明SS-PTMD有較好的魯棒性。

本文考慮到SS-PTMD 與TMD 的類似之處，基于Wang等[10]提出的SS-PTMD力學(xué)模型及碰撞力模型，將單個(gè)SS-PTMD的研究延伸向雙重單面碰撞調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（Double single-side pounding tuned mass damper，DSS-PTMD）的減振分析。通過仿真分析研究了DSS-PTMD 的優(yōu)化參數(shù)和在自由振動(dòng)與簡諧激勵(lì)下的減振性能。

1 DSS-PTMD-結(jié)構(gòu)耦合方程

單自由度結(jié)構(gòu)安裝DSS-PTMD 的力學(xué)模型如圖1所示，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可寫為：

式中：m1、c1、k1分別為主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度；x1分別表示主結(jié)構(gòu)位移、速度及加速度；m2、k2分別為1#SS-PTMD 的質(zhì)量和剛度，x2、為1#SSPTMD 的位移和加速度；m3、k3分別為2#SS-PTMD的質(zhì)量和剛度，x3為2#SS-PTMD 的位移和加速度；Fsin(ωt)是外部激勵(lì)；Fp1和Fp2分別為1#PTMD、2#PTMD與主結(jié)構(gòu)之間的碰撞力，其表達(dá)式為[10]：

其中：δ為碰撞過程中質(zhì)量塊嵌入黏彈性材料的位移，其1 階導(dǎo)數(shù)為速度；n為非線性指數(shù)；k為碰撞剛度；ζ為碰撞阻尼因子；δmax和δe分別為碰撞嵌入黏彈性材料的最大位移和碰撞結(jié)束后的黏彈性材料殘余變形；fe為最大彈性碰撞力，其具體表達(dá)式為：

根據(jù)能量守恒原理，式（2）中3個(gè)模型參數(shù)滿足下列方程[10]：

式中：el為殘余變形率，el=δe/δmax，el與e的關(guān)系為[14]：

式中：β=0.938。

2 SS-PTMD最優(yōu)參數(shù)分析

DSS-PTMD的優(yōu)化參數(shù)包括最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比，對(duì)于圖1所示力學(xué)模型，兩個(gè)單面碰撞調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的固有頻率及阻尼比為[10]：

圖1 DSS-PTMD與主結(jié)構(gòu)耦合力學(xué)模型

定義頻率比為：

基于H∞優(yōu)化準(zhǔn)則，DSS-PTMD的參數(shù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可表示為：

式 中：λ為外部激勵(lì)頻率，DMF（Dynamic magnification factor）為位移動(dòng)力放大系數(shù)，定義為：

式中：X1(λ)為主結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值，F(xiàn)為激勵(lì)幅值。

為了研究DSS-PTMD 優(yōu)化參數(shù)，針對(duì)圖1 模型進(jìn)行了仿真分析。主要參數(shù)為：m1=45 kg、f1=2.91 Hz、ζ1=0.5 %。為方便計(jì)算，1#SS-PTMD 與2#SSPTMD的質(zhì)量、碰撞剛度、非線性指數(shù)取為相等。其中m2和m3為結(jié)構(gòu)質(zhì)量和質(zhì)量比乘積的一半，碰撞剛度k=6.5×105N/m1.5,非線性指數(shù)n=1.5。

仿真分析得到的DSS-PTMD 最優(yōu)參數(shù)及相應(yīng)的DMF 如表1 所示。為了比較DSS-PTMD 與SSPTMD 的控制效果，表1 中給出了相同質(zhì)量比條件下SS-PTMD的優(yōu)化參數(shù)和DMF。

表1 DSS-PTMD及SS-PTMD優(yōu)化參數(shù)

從表1 可以看出，隨著質(zhì)量比的增加，DSSPTMD 的最優(yōu)頻率比ropt1沒有發(fā)生變化，而ropt2呈現(xiàn)逐漸增大的規(guī)律變化；最優(yōu)恢復(fù)系數(shù)eopt1和eopt2均呈現(xiàn)逐漸減小的規(guī)律變化，且兩者數(shù)值基本相等；DMF逐漸減小，且減小的趨勢(shì)趨于緩和。在相同的質(zhì)量比情況下，DSS-PTMD 所對(duì)應(yīng)的DMF 均小于SS-PTMD。表明DSS-PTMD在最優(yōu)控制的情況下，其減振效果優(yōu)于SS-PTMD。

3 DSS-PTMD減振性能分析

3.1 自由振動(dòng)

主結(jié)構(gòu)和DSS-PTMD 的仿真參數(shù)依舊與上節(jié)相同，DSS-PTMD 的最優(yōu)參數(shù)取總質(zhì)量比3 %所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)恢復(fù)系數(shù)。自由振動(dòng)的初始條件為：初始位移為20 mm，初始速度為0。分別討論主結(jié)構(gòu)頻率完全調(diào)諧、主結(jié)構(gòu)頻率失諧±5 %和±10%時(shí)的減振效果。

圖2 為主結(jié)構(gòu)無控、SS-PTMD 控制以及DSSPTMD 控制的仿真效果。在完全調(diào)諧的情況下，無控、SS-PTMD和SS-DPTMD控制時(shí)的結(jié)構(gòu)阻尼比分別為0.5%、4.05%及4.31%。當(dāng)頻率失諧-5%時(shí)，SS-PTMD 和DSS-PTMD 對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)等效阻尼比為2.6%及2.69%；頻率失諧+5%時(shí)，SS-PTMD和DSSPTMD對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)等效阻尼比為4.72%及4.73%。當(dāng)頻率失諧-10%時(shí)，SS-PTMD 和DSS-PTMD 對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)等效阻尼比為1.8%及1.61%；頻率失諧+10%時(shí)，SS-PTMD 和DSS-PTMD 對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)等效阻尼比為3.34 %及3.3 %。由此可以看出在完全調(diào)諧或者小失諧的情況下，DSS-PTMD 對(duì)自由振動(dòng)的抑制效果優(yōu)于SS-PTMD，反之，當(dāng)失諧過大時(shí)，SS-PTMD的效果更佳。還可以看出，對(duì)這兩種阻尼器而言，負(fù)向失諧對(duì)減振效果的影響要比正向失諧更嚴(yán)重。

圖2 自由振動(dòng)時(shí)，SS-PTMD與DSS-PTMD的控制結(jié)果

3.2 簡諧激勵(lì)

當(dāng)主結(jié)構(gòu)所受到幅值為10 N的簡諧激勵(lì)時(shí)，圖3 給出了無控、SS-PTMD 及DSS-PTMD 控制時(shí)簡諧荷載作用下的結(jié)構(gòu)幅頻響應(yīng)圖。完全調(diào)諧時(shí)，SSPTMD和DSS-PTMD控制時(shí)的動(dòng)力放大系數(shù)幅值為8.70和7.87，與無控時(shí)的動(dòng)力放大系數(shù)幅值99.28相比，最不利情況下的減振率為91.24 %和92.07 %。頻率失諧-5 %時(shí)，SS-PTMD 和DSS-PTMD 控制時(shí)的動(dòng)力放大系數(shù)幅值為13.44 和13.11，與無控時(shí)相比，最不利情況下的減振率為86.46 %和86.79 %。頻率失諧+5 %時(shí)，SS-PTMD 和DSS-PTMD 控制時(shí)的動(dòng)力放大系數(shù)幅值為13.26 和12.56，與無控時(shí)相比，最不利情況下的減振率為86.64 %和87.35 %。頻率失諧-10%時(shí)，SS-PTMD和DSS-PTMD控制時(shí)的動(dòng)力放大系數(shù)幅值為20.18 和21.61，與無控時(shí)相比，最不利情況下的減振率為79.67 %和78.23 %。頻率失諧+10%時(shí)，SS-PTMD和DSS-PTMD控制時(shí)的動(dòng)力放大系數(shù)幅值為18.95 和21.72，與無控時(shí)相比，最不利情況下的減振率為80.91 %和78.12 %。由此可知，在完全調(diào)諧和失諧較少時(shí)，DSS-PTMD的減振效果優(yōu)于SS-PTMD，當(dāng)失諧過大時(shí)則情況相反，這與自由振動(dòng)的結(jié)論是一致的。

圖3 SS-PTMD與DSS-PTMD控制的幅頻響應(yīng)曲線

4 結(jié)語

本文建立了單自由度結(jié)構(gòu)-雙重單面碰撞調(diào)諧質(zhì)量阻尼器力學(xué)模型。以動(dòng)力放大系數(shù)為優(yōu)化指標(biāo)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，討論了完全調(diào)諧時(shí)SS-PTMD 與DSS-PTMD 的振動(dòng)控制效果。分析了SS-PTMD 和DSS-PTMD 在自由振動(dòng)與簡諧激勵(lì)下的減振性能。得出如下結(jié)論：

（1）通過數(shù)值優(yōu)化得出了SS-PTMD 與DSSPTMD 的最優(yōu)參數(shù)，發(fā)現(xiàn)在最優(yōu)參數(shù)下DSS-PTMD的減振效果優(yōu)于SS-PTMD。

（2）DSS-PTMD 和SS-PTMD 對(duì)結(jié)構(gòu)有良好的振動(dòng)控制效果。當(dāng)頻率失諧時(shí)，減振效果雖有下降，但其對(duì)自由振動(dòng)和簡諧振動(dòng)仍有較好的抑制效果。

（3）當(dāng)頻率失諧較小時(shí)，DSS-PTMD 的減振效果優(yōu)于SS-PTMD。反之當(dāng)失諧較大時(shí)，SS-PTMD減振效果更優(yōu)。