高仔芝 孫瑞華

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版2020年修訂）要求：“高中物理課程應(yīng)在義務(wù)教育的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成和發(fā)展?！备咧形锢韺W(xué)科核心素養(yǎng)包括：物理觀念、科學(xué)思維、實(shí)驗(yàn)探究、科學(xué)態(tài)度與責(zé)任，其中科學(xué)思維又將模型構(gòu)建列為首個(gè)要素。因此，在一輪復(fù)習(xí)過程中我們必須關(guān)注模型的構(gòu)建、拓展和延伸，提升學(xué)生能力，以期達(dá)到靈活運(yùn)用的目的。

國家主席習(xí)近平在致第32屆國際航空科學(xué)大會(huì)的賀信中指出：“航空科技是20世紀(jì)以來發(fā)展最為迅速、對(duì)人類生產(chǎn)生活影響最大的科技領(lǐng)域之一。”我國的北斗導(dǎo)航系統(tǒng)已開始為30多個(gè)國家提供服務(wù)，今年我國發(fā)射的神舟十二號(hào)載人飛船與天和核心艙完成自主快速交會(huì)對(duì)接……在這樣的背景下，衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)問題無疑會(huì)成為高考命題的熱點(diǎn)。在萬有引力與宇宙航行的復(fù)習(xí)中，衛(wèi)星間的“追擊”和“相遇”問題讓學(xué)生倍感頭疼，由于衛(wèi)星都在繞中心天體運(yùn)轉(zhuǎn)，學(xué)生往往找不到相對(duì)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。此時(shí)巧妙構(gòu)建模型，分類研究，尋找通式，是解決這類問題的法寶。

一、基本模型巧構(gòu)建

在同一平面內(nèi)繞同一中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的兩衛(wèi)星，當(dāng)兩衛(wèi)星與中心天體三者共線時(shí)，兩衛(wèi)星的位置關(guān)系有兩種特殊情況：一是兩衛(wèi)星在中心天體同側(cè)，即兩衛(wèi)星相距最近；二是兩衛(wèi)星在中心天體兩側(cè)，即兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)。

如圖1，兩衛(wèi)星a、b在同一平面內(nèi)繞同一個(gè)中心天體c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且兩衛(wèi)星a、b的運(yùn)轉(zhuǎn)方向相同。據(jù)，可得周期可知Ta＜Tb，即a的轉(zhuǎn)動(dòng)比b快。從兩衛(wèi)星相距最近開始計(jì)時(shí)，a比b每多轉(zhuǎn)一圈，即圓心角每多轉(zhuǎn)過2π弧度，a、b相距最近一次，則兩衛(wèi)星再次相距最近的計(jì)算模型可按以下分析過程構(gòu)建。

圖1

從兩衛(wèi)星相距最近開始計(jì)時(shí)，設(shè)經(jīng)過時(shí)間t，兩衛(wèi)星再次相距最近，則兩衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)（即兩衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的圓心角）滿足關(guān)系式t=2nπ，(n＝1，2，3……)，即t時(shí)間內(nèi)a轉(zhuǎn)過的圓心角比b多2π的整數(shù)倍，化簡為(n＝1，2，3……)，即t時(shí)間內(nèi)a比b多轉(zhuǎn)了整數(shù)圈。

同理可知，從兩衛(wèi)星相距最近開始計(jì)時(shí)，到兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)時(shí)，則兩衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)關(guān)系滿足關(guān)系式即t時(shí)間內(nèi)a轉(zhuǎn)過的圓心角比b多π的奇數(shù)倍。

【方法提煉】

同向相遇做起點(diǎn)，小圓轉(zhuǎn)快大圓慢；多轉(zhuǎn)一周為最近，多轉(zhuǎn)半周距最遠(yuǎn)；圓周多解心默念，一近一遠(yuǎn)交替現(xiàn)。

二、模型深化求時(shí)間

高考題目對(duì)同一模型的考查并不是一成不變的，會(huì)依托基本模型而變化。

如圖2，兩衛(wèi)星a、b與中心天體c的連線間夾角為θ，且兩衛(wèi)星a、b運(yùn)轉(zhuǎn)方向相反，a順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，b逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，求由圖示位置開始，a、b相距最近和最遠(yuǎn)的時(shí)刻。

圖2

分析：當(dāng)a、b轉(zhuǎn)過的角度之和等于θ 時(shí)，第一次相距最近。設(shè)相距最近的時(shí)刻為t1，應(yīng)滿足關(guān)系式相距最遠(yuǎn)的時(shí)刻為t2，應(yīng)滿足關(guān)系式再如，三顆不同軌道的地球衛(wèi)星在同一平面的運(yùn)動(dòng)，可以先計(jì)算衛(wèi)星兩兩之間的最短相遇時(shí)間，再綜合考慮三顆衛(wèi)星同時(shí)相遇的最短時(shí)間。如圖3所示，a、b、c為地球赤道平面內(nèi)繞地球做同向圓周運(yùn)動(dòng)的三顆衛(wèi)星，a、b為中軌道衛(wèi)星，它們的運(yùn)行周期分別為6h和8h，c為地球同步衛(wèi)星。某時(shí)刻，三顆衛(wèi)星和地球在同一條直線上且彼此相距最近，求三顆衛(wèi)星下一次與地球在同一直線上且彼此相距最近需要的時(shí)間。

思路：先計(jì)算衛(wèi)星兩兩之間的最短相遇時(shí)間，再求時(shí)間的最小公倍數(shù)，即為四者共線的最短時(shí)間。

設(shè)b和c每相隔t1時(shí)間相距最近一次，則解 得t1=12h。同 理，a和c相距最近一次的時(shí)間t2=8h，a和b相距最近一次的時(shí)間t3=24h。再求t1、t2、t3的最小公倍數(shù)為24h，即為所求時(shí)間。其實(shí)t1、t2、t3三個(gè)時(shí)間任意取兩個(gè)時(shí)間求最小公倍數(shù)即可，沒必要把三個(gè)時(shí)間都計(jì)算出來。

【方法提煉】

反向運(yùn)動(dòng)也不難，變減為加同理斷；

多個(gè)衛(wèi)星齊上陣，公倍數(shù)中取時(shí)間。

三、模型拓展求共線

在基本模型的基礎(chǔ)上，題目經(jīng)常由求解時(shí)間轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庑l(wèi)星共線的次數(shù)問題。如圖3，若已知Ta:Tb＝1:k（k>1），則從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，求a、b、c共線的次數(shù)。只需分析出無論是相距最近還是最遠(yuǎn)，都滿足共線，即a比b每多轉(zhuǎn)過π弧度（每多轉(zhuǎn)半圈），a、b、c共線一次。

圖3

再對(duì)結(jié)果的表達(dá)式分析：當(dāng)k為整數(shù)時(shí)，例如，k=8時(shí)，共線的次數(shù)p=14次；當(dāng)k不是整數(shù)時(shí)，p的值可能也不是整數(shù)，只需舍掉小數(shù)部分即可，因?yàn)樾?shù)部分不夠一次，例如，k=8.4時(shí)p=14.8，取14次；k=8.6時(shí)p=15.2，取15次。

有了基本的解題思路，再遇到類似題型，比如初始時(shí)刻a、b不在相距最近的位置上時(shí)，可以把以上模型的結(jié)論遷移過來使用。如圖4，在同一平面內(nèi)a、b繞c沿著逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若零時(shí)刻a、b兩衛(wèi)星分別與c的連線有一定夾角θ（a比b超前θ），已知已知a、b周期之比Ta:Tb=1:8，則從圖示位置開始，求b運(yùn)動(dòng)一周的過程中，a、b、c共線的次數(shù)。

圖4

分析時(shí)，先計(jì)算至第一次共線的時(shí)間t0，則 滿 足代 入數(shù)據(jù)解之后的分析同前述，即Tb時(shí)間內(nèi)到t0第一次共線后，又共線的次數(shù)為次，舍去小數(shù)部分取13，再加上第一次，共14次。

【方法提煉】

最近最遠(yuǎn)皆共線，次數(shù)只取整數(shù)算；超前滯后不用煩，轉(zhuǎn)到共線做起點(diǎn)。

四、模型遷移靈活變

新高考改革后，試題閱讀量增大，往往以實(shí)際情境為背景來命制試題。比如極地衛(wèi)星軌道會(huì)以信息的形式呈現(xiàn)在題目中。具體實(shí)例如下：氣象衛(wèi)星、導(dǎo)航衛(wèi)星、地球資源衛(wèi)星等需要在全球范圍內(nèi)進(jìn)行觀測(cè)和應(yīng)用，需要衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)能到達(dá)南北極區(qū)上空，即衛(wèi)星能飛經(jīng)全球范圍的上空，這樣的衛(wèi)星叫極地衛(wèi)星。它的軌道平面與赤道面夾角為90°。

如圖5，極地衛(wèi)星a的圓軌道半徑為r，周期為2h。赤道衛(wèi)星b（軌道平面為赤道平面）的圓軌道半徑為4r，求兩衛(wèi)星從距離最近到下一次最近的時(shí)間。

圖5

求解前，先由信息構(gòu)建出模型，兩顆地球衛(wèi)星軌道在相互垂直的平面上，再求相距最近的時(shí)間。求兩衛(wèi)星從相距最近到之后任意一次最近的時(shí)間，這個(gè)時(shí)間將不再是多轉(zhuǎn)整數(shù)圈的所有取值了，由于兩衛(wèi)星相距最近的位置只能是兩個(gè)軌道平面的交點(diǎn)，即兩個(gè)特定位置上，其兩位置間的時(shí)間差為每個(gè)衛(wèi)星周期的一半，因此決定了相距最近的時(shí)間間隔。除了上述條件外，還要滿足要么同為兩衛(wèi)星周期的整數(shù)倍，要么同為兩衛(wèi)星半周期的奇數(shù)倍。此題的結(jié)果t＝16h，赤道衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)1個(gè)周期，極地衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)剛好是8個(gè)周期，兩衛(wèi)星都轉(zhuǎn)了整數(shù)圈。

再回歸到相同的軌道平面，太陽系八大行星繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道幾乎在同一平面內(nèi)，地外行星的“沖日”“合日”與衛(wèi)星相距最近與最遠(yuǎn)的模型不謀而合。如圖為地外行星“沖日”與“合日”的示意圖，“沖日”即地外行星運(yùn)行到與太陽、地球形成一條直線的狀態(tài)，按行星、地球、太陽的順序排列，地球在中間，對(duì)應(yīng)模型中太陽為中心天體，兩行星相距最近。同理，“合日”即兩行星相距最遠(yuǎn)。

圖6

以木星沖日為例，木星與地球幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做近似勻速圓周運(yùn)動(dòng)，木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍，地球公轉(zhuǎn)周期T1＝1年，木星公轉(zhuǎn)周期年。設(shè) 經(jīng) 時(shí)間t，再次出現(xiàn)木星沖日，則有t=2π，解得t≈1.1年。

大約每過1年零34天出現(xiàn)一次木星沖日，2019年6月10日出現(xiàn)木星沖日天象后，2020年7月14日再次出現(xiàn)，由此可推算2021年出現(xiàn)木星沖日的時(shí)間。

【方法提煉】

垂直軌道找兩點(diǎn)，半周期下做推演；

合日沖日情境現(xiàn)，你追我趕都是圓。

基本模型是模型構(gòu)建的基石，我們發(fā)現(xiàn)，無論是求解衛(wèi)星相距最近、最遠(yuǎn)的時(shí)刻，還是求共線的次數(shù)，或是由沖日、合日求解時(shí)間，毫無疑問，它們都是同一模型的演變和延伸，解題思路相同，最終都?xì)w結(jié)為求解環(huán)繞星體轉(zhuǎn)過的角度差問題。這樣就實(shí)現(xiàn)了回歸本真、多題歸一的目的，也大大降低了學(xué)生理解上的難度。

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生模型思維的培養(yǎng)，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握物理知識(shí)，掌握物理模型構(gòu)建的方法，培養(yǎng)學(xué)生的物理核心素養(yǎng)。高考試題的情境往往比較靈活，可能以時(shí)事科技、天文奇觀、航空航天等為背景設(shè)置試題，考查學(xué)生從所給材料中獲取有效信息和靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。因此，我們可以以此為突破口，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，正確構(gòu)建物理模型，分析所用的物理規(guī)律，然后運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，進(jìn)行演繹歸納、綜合分析、遷移變化，最后準(zhǔn)確規(guī)范地作答。窺一斑而知全貌，將其解題方法和思維應(yīng)用到其他物理模型，舉一反三，觸類旁通，打造高效物理課堂，進(jìn)一步提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。