鄒學(xué)紅 周鈞

摘? ?要

以分?jǐn)?shù)的問題解決為例，參考蘭寧等人的錯(cuò)誤分析反思循環(huán)模型，通過對(duì)56位同學(xué)“分?jǐn)?shù)應(yīng)用的問題解決”的錯(cuò)誤分析過程的研究，總結(jié)了學(xué)生問題解決錯(cuò)誤的識(shí)別方式、歸因、訂正錯(cuò)誤的策略。研究發(fā)現(xiàn)：情境轉(zhuǎn)譯錯(cuò)誤是學(xué)生分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題解決錯(cuò)誤的主要原因;深刻、全面的歸因?qū)W(xué)生來說是有挑戰(zhàn)性的。

關(guān)鍵詞

小學(xué)生? 錯(cuò)誤分析? 問題解決? 分?jǐn)?shù)應(yīng)用

由于數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性，以及學(xué)生認(rèn)知發(fā)展和已有經(jīng)驗(yàn)的不足，數(shù)學(xué)錯(cuò)誤與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)如影相隨。在教學(xué)理論中，數(shù)學(xué)錯(cuò)誤被看作是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的資源[1]。一方面數(shù)學(xué)錯(cuò)誤可以作為診斷學(xué)生學(xué)習(xí)效果的一種工具，幫助教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況[2]，以便教師更好地改進(jìn)教學(xué);另一方面學(xué)生通過對(duì)錯(cuò)誤的反思可以加深對(duì)知識(shí)的理解，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)。甚至還有研究者指出數(shù)學(xué)錯(cuò)誤對(duì)教師的知識(shí)觀、數(shù)學(xué)觀的形成也有很大的影響[3]。因此，數(shù)學(xué)錯(cuò)誤成為研究者和教師關(guān)注的重點(diǎn)，然而很少有研究者關(guān)注學(xué)生的錯(cuò)誤反思過程[4]。

錯(cuò)誤產(chǎn)生于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，因此學(xué)生是反思錯(cuò)誤的主體。學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的反思過程，也是將錯(cuò)誤作為學(xué)習(xí)資源進(jìn)行探究的過程，可以幫助學(xué)生找到問題所在，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。另外，了解學(xué)生真實(shí)的錯(cuò)誤分析過程，有助于教師了解學(xué)生的認(rèn)知水平和知識(shí)理解程度，以便對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)開展有針對(duì)性的指導(dǎo)?；诖?，對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤反思過程進(jìn)行研究就顯得極為重要。

一、文獻(xiàn)梳理

鐘德認(rèn)為學(xué)生問題解決時(shí)的錯(cuò)誤主要是因?yàn)槠娴厥褂枚ɡ砘蚬絒5]。托馬斯（Thomas，T.M.）提出，日常生活中的各種說法是導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的重要原因[6]。賈金平在對(duì)錯(cuò)誤的價(jià)值及成因分析的基礎(chǔ)上，提出了針對(duì)錯(cuò)誤的課堂教學(xué)策略，如何引導(dǎo)學(xué)生反思錯(cuò)誤[7]。周淦利提出在教師的教學(xué)中要重視學(xué)生錯(cuò)誤的解法，引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)誤的根本原因[8]。芮金芳在研究中提出教師在課堂教學(xué)中要善待“錯(cuò)誤”，對(duì)比思“錯(cuò)”，拓展延伸[9]。李娜通過對(duì)教師課堂錄像的分析，提出教師在課堂上為學(xué)生提供表達(dá)自己想法的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生經(jīng)歷在錯(cuò)誤分析過程中的認(rèn)知沖突，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平[10]。相關(guān)研究主要受建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的影響，提倡教師將學(xué)生的數(shù)學(xué)錯(cuò)誤看作課堂教學(xué)的資源[11]，借助數(shù)學(xué)錯(cuò)誤來鞏固和加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解[12]。教師在課堂中將學(xué)生的數(shù)學(xué)錯(cuò)誤作為教學(xué)資源的前提是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的分析，但在現(xiàn)有的研究中，更多的是從教師的角度探討如何在課堂上使用錯(cuò)誤資源，而很少有關(guān)注學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的分析。臺(tái)灣學(xué)者劉婷、羅增儒通過實(shí)驗(yàn)研究證實(shí)了數(shù)學(xué)作文作為學(xué)生的一種反思方式，有助于學(xué)生元認(rèn)知水平的提高，從而降低錯(cuò)誤率，該研究側(cè)重于學(xué)生反思與學(xué)生元認(rèn)知水平的關(guān)系[13]。蘭寧（Lannin，J.）等人基于對(duì)2名學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的追蹤，研究了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中診斷錯(cuò)誤時(shí)所使用的策略、學(xué)生錯(cuò)誤的歸因類型以及訂正錯(cuò)誤的策略[14]。該研究中使用的錯(cuò)誤分析反思過程模型對(duì)研究的開展具有借鑒意義。

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的分析過程從識(shí)別錯(cuò)誤開始，到對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行歸因，然后進(jìn)行錯(cuò)誤訂正。學(xué)生訂正錯(cuò)誤的過程往往不是一蹴而就的，如經(jīng)歷“錯(cuò)誤識(shí)別—錯(cuò)誤歸因”后，卻無法訂正錯(cuò)誤，然后重新進(jìn)行錯(cuò)誤的識(shí)別與歸因;也有可能在訂正的過程中發(fā)現(xiàn)最初的歸因并不全面;還有可能無法識(shí)別錯(cuò)誤就退出了錯(cuò)誤分析的過程。

二、選取研究對(duì)象與數(shù)據(jù)收集

1.研究對(duì)象的選取

選取北京市海淀區(qū)一所普通公立小學(xué)六年級(jí)6個(gè)班，共208名學(xué)生，這些學(xué)生已學(xué)習(xí)了“分?jǐn)?shù)的應(yīng)用”相關(guān)內(nèi)容。研究者為這6個(gè)班學(xué)生提供分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題解決任務(wù)。學(xué)生在統(tǒng)一的數(shù)學(xué)早讀時(shí)間完成任務(wù)，然后由班級(jí)的數(shù)學(xué)任課教師對(duì)學(xué)生的問題解決進(jìn)行評(píng)判，研究者收集問題解決錯(cuò)誤的文本共52份。

2.數(shù)據(jù)收集

研究采用質(zhì)性研究方法收集數(shù)據(jù)。為了獲取學(xué)生分析問題解決錯(cuò)誤的過程材料，本研究采用維果茨基（Vygotsky，L.S.）的微衍生法（microgenetic）[15]，即先采集學(xué)生日常學(xué)習(xí)中分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題解決的相關(guān)材料，并進(jìn)行分析，從而確定學(xué)生在分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題解決中常出現(xiàn)的問題：學(xué)生解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用的問題，特別是題文中包含2個(gè)分?jǐn)?shù)，且這2個(gè)分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)量（單位“1”）不相同時(shí)，學(xué)生問題解決比較容易出錯(cuò)。在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)如下問題。

李叔叔開車從甲地去乙地送貨，已行的路程是未行的■，如果再行60千米，就正好行了■，甲乙兩地相距多少千米？

研究者在收集學(xué)生的錯(cuò)誤解答文本后，利用課間逐一反饋給解答者本人，運(yùn)用有聲思維法收集問題解決錯(cuò)誤學(xué)生反思和分析錯(cuò)誤的過程材料。另外，根據(jù)研究需要對(duì)部分學(xué)生進(jìn)行訪談，盡可能保證研究資料的翔實(shí)。

三、學(xué)生識(shí)別錯(cuò)誤方式、類型與訂正

1.學(xué)生識(shí)別錯(cuò)誤的方式

通過對(duì)問題解決錯(cuò)誤學(xué)生的訪談，發(fā)現(xiàn)學(xué)生識(shí)別錯(cuò)誤的方式主要是在嘗試給自己講清楚問題解決的過程中識(shí)別出錯(cuò)誤。另外，還有同學(xué)通過對(duì)問題解決的結(jié)果進(jìn)行推斷的方式來識(shí)別錯(cuò)誤。

如錯(cuò)例1，該同學(xué)在嘗試給自己講清楚問題解決的過程中識(shí)別出錯(cuò)誤。

錯(cuò)例1

解：設(shè)甲乙兩地相距x千米

同學(xué)F推斷自己得出的計(jì)算結(jié)果不合理，確定自己的解答是錯(cuò)誤的。

錯(cuò)例2

2.學(xué)生的錯(cuò)誤類型

通過對(duì)這52位同學(xué)錯(cuò)誤歸因的歸納發(fā)現(xiàn)，他們認(rèn)為他們錯(cuò)誤的原因有：?jiǎn)挝弧?”混淆、畫圖錯(cuò)誤、閱讀不仔細(xì)。

如錯(cuò)例3，該同學(xué)分析自己錯(cuò)誤的原因是將■與■這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的單位“1”混淆了。

錯(cuò)例3

在錯(cuò)例4中，該同學(xué)在錯(cuò)因分析中都寫道：“因?yàn)閳D畫錯(cuò)了，所以計(jì)算結(jié)果就錯(cuò)了?！?/p>

錯(cuò)例4

在錯(cuò)例5中，該同學(xué)分析自己錯(cuò)誤的原因是沒認(rèn)真讀題，把已行的路程是未行的■讀成了全程的■。

錯(cuò)例5

在對(duì)分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題解決錯(cuò)誤的分析中，多數(shù)同學(xué)都將錯(cuò)誤原因歸因于單位“1”混淆、讀題不仔細(xì)，出現(xiàn)這類錯(cuò)例的學(xué)生的共性是他們?cè)诮獯饐栴}的過程中把題文所表達(dá)的問題情境部分地轉(zhuǎn)譯成自己所構(gòu)想的運(yùn)算情境，然后采用與構(gòu)想情境相匹配的計(jì)算策略來解決問題 [16] 。

3.學(xué)生錯(cuò)誤的訂正

在學(xué)生識(shí)別出錯(cuò)誤并找到錯(cuò)誤的原因后，他們會(huì)嘗試訂正錯(cuò)誤。對(duì)學(xué)生訂正錯(cuò)誤的文本和訪談材料進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)他們訂正錯(cuò)誤的主要策略有：（1）通過找關(guān)鍵詞的方式厘清分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的單位“1”;（2）轉(zhuǎn)化（將題文中的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成份數(shù)進(jìn)行計(jì)算）;（3）重新畫圖。

同學(xué)H通過再次讀題及劃重點(diǎn)的方式幫助自己確定題文中■這個(gè)分?jǐn)?shù)的單位“1”：

同學(xué)L在運(yùn)用分?jǐn)?shù)的知識(shí)進(jìn)行問題解決失敗后，嘗試把■所表示的關(guān)系轉(zhuǎn)化成已行與未行之間的1份與3份的關(guān)系，從而將甲乙兩地的距離轉(zhuǎn)化為4份，然后進(jìn)行計(jì)算。

同學(xué)D在嘗試用一條線段圖表征題文中的數(shù)量關(guān)系失敗后，選擇用兩條線段圖表征，使問題得到解決。

四、結(jié)論與啟示

1.情境轉(zhuǎn)譯錯(cuò)誤是學(xué)生分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題解決錯(cuò)誤的主要原因

問題解決的過程考察學(xué)生的閱讀能力、轉(zhuǎn)譯能力、分析能力、計(jì)算能力，還涉及學(xué)生對(duì)概念的理解程度。因此，學(xué)生問題解決錯(cuò)誤，可能是語言錯(cuò)誤、轉(zhuǎn)譯錯(cuò)誤、策略錯(cuò)誤、計(jì)算錯(cuò)誤、概念錯(cuò)誤。臺(tái)灣學(xué)者張景媛研究學(xué)生數(shù)學(xué)文字題錯(cuò)誤時(shí)總結(jié)的錯(cuò)誤類型主要是語言錯(cuò)誤、策略錯(cuò)誤、計(jì)算錯(cuò)誤、概念錯(cuò)誤[17]，但本研究發(fā)現(xiàn)在分?jǐn)?shù)應(yīng)用的問題解決中，多數(shù)同學(xué)出現(xiàn)的錯(cuò)誤是情境轉(zhuǎn)譯錯(cuò)誤，他們傾向于將題文中的情境轉(zhuǎn)譯成他們構(gòu)想的情境，而他們構(gòu)想的情境往往便于他們進(jìn)一步解決問題，但卻與題文信息不符，如題文中給出的信息是“已行的路程是未行的■”，但很多問題解決錯(cuò)誤的學(xué)生都將其轉(zhuǎn)譯成“已行的路程是全部路程的■”，從而根據(jù)題文中給出的另一個(gè)信息“如果再行60千米，就正好行了■”，確定60千米對(duì)應(yīng)的總路程的份數(shù)，然后根據(jù)量率對(duì)應(yīng)關(guān)系求出甲乙兩地的距離。通過進(jìn)一步的訪談及與所選樣本班級(jí)數(shù)學(xué)教師的交流得知，學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)及練習(xí)中已經(jīng)掌握了根據(jù)兩個(gè)單位“1”相同的分?jǐn)?shù)以及它們的差量求總體的問題解決模型。然而研究者為學(xué)生提供的問題解決任務(wù)中的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的單位“1”并不相同，但學(xué)生在閱讀題文的過程中依然將問題情境轉(zhuǎn)譯成其熟悉的問題模型，實(shí)際上是一種思維定勢(shì)。

以往研究特別強(qiáng)調(diào)錯(cuò)誤分析對(duì)學(xué)生加深數(shù)學(xué)概念理解的價(jià)值，如博拉西（Borasi，R.）建議教師要利用學(xué)生的數(shù)學(xué)錯(cuò)誤加深學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)概念的理解[18]，然而本研究發(fā)現(xiàn)，通過學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的分析，引導(dǎo)學(xué)生注意問題解決中的思維定勢(shì)現(xiàn)象對(duì)學(xué)生克服情境轉(zhuǎn)譯錯(cuò)誤具有重要意義。

2.學(xué)生對(duì)問題解決錯(cuò)誤的分析存在表面化、機(jī)械性的現(xiàn)象

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤進(jìn)行分析反思的過程，是嘗試暴露其思維路徑、解決認(rèn)認(rèn)知沖突的過程[19]。經(jīng)歷這樣的過程，可以增加學(xué)生有效的知識(shí)、提升解決問題的能力、形成對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極情感和價(jià)值觀[20]。但學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的分析反思過程并不是居于同一水平，盡管多數(shù)同學(xué)都可以在這個(gè)過程中發(fā)現(xiàn)自己?jiǎn)栴}解決錯(cuò)誤的關(guān)鍵原因，但并不是所有的同學(xué)都可以根據(jù)自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的原因?qū)﹀e(cuò)誤進(jìn)行訂正，甚至有一小部分的同學(xué)的反思是表面的、機(jī)械的，因?yàn)樗麄兏揪筒幻靼最}文所表達(dá)的含義，這就是小學(xué)生錯(cuò)誤分析反思過程的差異性。因此從整體上看，深刻、全面的歸因?qū)W(xué)生來說是有挑戰(zhàn)的，比如雖然很多同學(xué)將自己的錯(cuò)誤歸因于分?jǐn)?shù)單位“1”的混淆，但即使他們通過老師課堂上教的尋找關(guān)鍵詞的方法確定單位“1”，依然不能獨(dú)立解決問題。這就說明這類學(xué)生問題解決錯(cuò)誤的原因并不是分?jǐn)?shù)的單位“1”混淆，而是對(duì)“分?jǐn)?shù)”這一概念還不理解，導(dǎo)致他們無法根據(jù)題文中分?jǐn)?shù)所表征的意義解決問題。因此，在學(xué)生日常的訂錯(cuò)過程中，教師在給予學(xué)生獨(dú)立思考和分析數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的基礎(chǔ)上，要結(jié)合學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)知情況，將教師的講解、學(xué)生間的互助與學(xué)生的獨(dú)立思考相結(jié)合，從而使對(duì)錯(cuò)誤認(rèn)知處于不同水平的學(xué)生都可以通過錯(cuò)誤訂正獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，將“以學(xué)生發(fā)展為本”的教學(xué)理念扎實(shí)地落實(shí)。

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[作者：鄒學(xué)紅（1984-），女，山東臨沂人，北京師范大學(xué)教師教育研究中心，博士生;周鈞（1965-），女，云南潞西人，北京師范大學(xué)教師教育研究中心，教授，博士。]

【責(zé)任編輯? 陳國慶】