龔致賓， 樓紅衛(wèi)

(復(fù)旦大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海200433)

1 引 言

微分中值定理是微積分學(xué)中的重要內(nèi)容之一，很多關(guān)于中值等式的證明往往要利用微分中值定理，但是筆者發(fā)現(xiàn)涉及中值定理“雙介值問題”的許多例題與習(xí)題是平凡的,舉例如下，其中例1,4,5,6,8可分別在文獻(xiàn) [1-5] 中找到.

例2設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間 [0,1] 上連續(xù)，且在 (0,1) 內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在ξ,η∈(0,1)使得

例3設(shè)0

(本題曾出現(xiàn)在中國科學(xué)院大學(xué)2013年研究生入學(xué)統(tǒng)一考試題《高等數(shù)學(xué)(甲)》中)

例4函數(shù)f在 [a,b] 上連續(xù)，在 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在ξ,η∈(a,b), 使得

(eb-ea)f′(η)=(b-a)eηf′(ξ).

解令ξ=η,只要找是否有ξ滿足 eb-ea=(b-a)eξ, 這就退化為與函數(shù)f無關(guān)的“單介值問題”，利用Lagrange中值定理易得.

例6設(shè)1

例7設(shè) 0

這些題目的共性是等式兩邊均含有f′，但涉及“兩個(gè)中值”，題目的本意是用兩次甚至多次中值定理來找到某種聯(lián)結(jié).但時(shí)常不小心因有明顯滿足ξ=η且與f無關(guān)的解而成為平凡的問題.

筆者發(fā)現(xiàn)此類命題大多數(shù)是以如下形式出現(xiàn)的： 設(shè)函數(shù)f在 [a,b] 上連續(xù)，在 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，則存在ξ,η∈(a,b), 滿足f′(ξ)=F(a,b,ξ,η)f′(η). 而F具有形式

(1)

其中二階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)h,g是根據(jù)F的表達(dá)式找出來的函數(shù)，必要時(shí)為了使得F(a,b,ξ,η)對任何ξ,η∈(a,b)有意義, 還會(huì)對a,b的取值作一定限制, 比如假設(shè) 0

可以猜想，出題者的本意應(yīng)該是讓解答者先從F(a,b,ξ,η) 的表達(dá)式找到h,g使得 (1) 成立，然后利用Cauchy中值定理(例7-8)得到存在ξ,η滿足

從而得到

(2)

然而，若 (1) 成立，則利用Cauchy中值定理，有ξ=η∈(a,b) 使得F(a,b,ξ,η)=1，從而原問題有與f無關(guān)的滿足ξ=η∈(a,b) 的平凡解.

2 “雙介值問題”的非平凡化

那么，能否增加限制條件ξ≠η，使得問題變得不平凡且有解？對于上述提及的類型，即 (2) 式，回答是肯定的.但這時(shí)，以通常的方法直接利用中值定理來得到結(jié)論似有困難，而利用微分Darboux定理則可以比較容易地解決問題.微分Darboux定理是說區(qū)間上點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)的實(shí)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)具有介值性.這里，稱區(qū)間I上的實(shí)函數(shù)f具有介值性是指對于I的任何子區(qū)間J，像集f(J) 也是區(qū)間.具體地, 對于雙介值問題，給出如下結(jié)論：

命題設(shè)函數(shù)g,h在 [a,b] 上連續(xù)，在 (a,b) 內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo).且?x∈(a,b)，g′(x),h′(x) 均不為零,g′ 和h′ 在(a,b) 內(nèi)不恒等.若函數(shù)f在 [a,b] 上連續(xù)，在 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo), 則存在不相等的ξ,η∈(a,b) 使得 (2) 式成立.

注意到

由Darboux定理，Gf′在 (a,b) 內(nèi)具有介值性，同理，Hf′ 在 (a,b) 內(nèi)具有介值性.要證存在不相等的ξ,η∈(a,b) 使得

G(ξ)f′(ξ)=H(η)f′(η).

由 Cauchy中值定理, 存在ξ0∈(a,b) 使得G(ξ0)=H(ξ0),從而

G(ξ0)f′(ξ0)=H(ξ0)f′(ξ0).

注意到一個(gè)實(shí)函數(shù)若在區(qū)間 (α,β) 內(nèi)具有介值性且不取常數(shù)γ，則它必在該區(qū)間恒大于γ或恒小于γ.以下記γ=G(ξ0)f′(ξ0)≡H(ξ0)f′(ξ0).

證法1以下分情形討論.除去情形 Ⅰ,Gf′和Hf′在區(qū)間 (a,ξ0) 和 (ξ0,b) 均分別恒大于γ或恒小于γ.具體情形如下表所列，其中第一列(行)每一格的正負(fù)號依次表示函數(shù)Gf′-γ(函數(shù)Hf′-γ) 在區(qū)間 (a,ξ0) 和 (ξ0,b) 內(nèi)的符號.

+,++,--,+-,-+,+Ⅱ.1,Ⅱ.3Ⅱ.3Ⅱ.1Ⅲ.1+,-Ⅱ.1Ⅳ.1Ⅱ.1,Ⅱ.4Ⅱ.4-,+Ⅱ3Ⅱ.2, Ⅱ.3Ⅳ.2Ⅱ.2-,-Ⅲ.2Ⅱ.2Ⅱ.4Ⅱ.2, Ⅱ.4

情形Ⅰ存在ξ1∈(a,b) 使得ξ1≠ξ0，以及下列情形之一成立：

Ⅰ.1G(ξ1)f′(ξ1)=γ； Ⅰ.2H(ξ1)f′(ξ1)=γ.

對情形Ⅰ.1, 有G(ξ1)f′(ξ1)=H(ξ0)f′(ξ0).取ξ=ξ1,η=ξ0即滿足命題要求.

對情形Ⅰ.2, 取ξ=ξ0,η=ξ1即滿足命題要求.

情形Ⅱ下列情形之一成立：

Ⅱ.1G(x)f′(x)>γ(?x∈(a,ξ0))，H(x)f′(x)>γ(?x∈(ξ0,b))；

Ⅱ.2G(x)f′(x)<γ(?x∈(a,ξ0))，H(x)f′(x)<γ(?x∈(ξ0,b))；

Ⅱ.3H(x)f′(x)>γ(?x∈(a,ξ0))，G(x)f′(x)>γ(?x∈(ξ0,b))；

Ⅱ.4H(x)f′(x)<γ(?x∈(a,ξ0))，G(x)f′(x)<γ(?x∈(ξ0,b)).

此時(shí)，不妨設(shè)Ⅱ.1成立，由介值性，存在ξ∈(a,ξ0)，η∈(ξ0,b)使得

G(ξ)f′(ξ)=H(η)f′(η).

即ξ,η滿足命題要求.

情形Ⅲ下列情形之一成立

Ⅲ.1 ?x∈(a,b),x≠ξ0有G(x)f′(x)>γ，H(x)f′(x)<γ；

Ⅲ.2 ?x∈(a,b),x≠ξ0有G(x)f′(x)<γ，H(x)f′(x)>γ.

不妨設(shè)Ⅲ.1成立，此時(shí)，?x∈(a,b),x≠ξ0，

由上式立即有γ

情形Ⅳ下列情形之一成立

Ⅳ.1 ?x∈(a,ξ0)有G(x)f′(x)>γ，H(x)f′(x)>γ；

?x∈(ξ0,b)有G(x)f′(x)<γ，H(x)f′(x)<γ；

Ⅳ.2 ?x∈(a,ξ0)有G(x)f′(x)<γ，H(x)f′(x)<γ；

?x∈(ξ0,b)有G(x)f′(x)>γ，H(x)f′(x)>γ.

不妨設(shè)Ⅳ.1成立，由于g′ 和h′ 在 (a,b) 內(nèi)連續(xù)，且不恒等，因此，G和H必在 (a,b) 內(nèi)無窮多個(gè)點(diǎn)處不相等.又由于f′至多只有一個(gè)零點(diǎn)，因此，必有ξ1∈(a,b),ξ1≠ξ0使得

G(ξ1)f′(ξ1)≠H(ξ1)f′(ξ1).

不妨設(shè)ξ1∈(a,ξ0)，G(ξ1)f′(ξ1)>H(ξ1)f′(ξ1).則由G(ξ0)f′(ξ0)=γ

證法2反設(shè)命題結(jié)論不成立.由介值性，函數(shù)ψ≡Gf′ 和φ≡Hf′ 的像集A≡ψ(a,b)，B≡φ(a,b) 均為區(qū)間或單點(diǎn)集.而對于任何μ∈A∩B，方程ψ(x)=μ和方程φ(x)=μ在(a,b)內(nèi)的解必唯一且相等.以下分三種情形討論.

情形aψ-1(A∩B)={ξ0}.

此時(shí)，在(a,b)內(nèi)恒有ψ≤φ或恒有φ≤ψ，且等號僅在ξ0處成立.不妨設(shè)前者成立，則?x∈(a,b),x≠ξ0，有

由上式立即有γ

情形bψ-1(A∩B)=(a,b).

此時(shí)， 在 (a,b) 內(nèi)有ψ≡φ.進(jìn)而G≡H，與g′ 和h′ 在(a,b) 內(nèi)不恒等的假設(shè)矛盾.

情形cψ-1(A∩B)≠(a,b),{ξ0}.

此時(shí)，ψ-1(A∩B) 為區(qū)間，且其左端點(diǎn)α≠a或右端點(diǎn)β≠b.不妨設(shè)α≠a.此時(shí)作為(α,β)內(nèi)滿足介值性的單射,ψ和φ均是單調(diào)的.有

從而ψ(α)是A∩B的端點(diǎn).

若ψ(α)是A∩B的左端點(diǎn)，則必有δ>0 使得 (ψ(α)-δ,ψ(α))?ψ(a,α).從而ψ(α) 是A的內(nèi)點(diǎn).同理，φ(α) 是B的內(nèi)點(diǎn). 這與ψ(α)=φ(α)是A∩B的端點(diǎn)矛盾.

若ψ(α)是A∩B的右端點(diǎn)，同理推出矛盾.

總之，反設(shè)不真.命題證畢.

3 例題回顧

把所列 8 個(gè)例題作一回顧，列出相應(yīng)的函數(shù)g和h如下，不難見到它們是滿足命題要求的.

例題g(x)h(x)區(qū)間 [a,b] 的要求區(qū)間條件可減弱為1x1/x0

4 結(jié) 語

本文從一類有平凡解的存在性問題出發(fā)，通過分析命題的意圖，最后利用微分Darboux定理證明了非平凡解的存在性.

致謝本文受益于復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院蘇步青班的無學(xué)分討論班等.感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見！