■王偉民

質點做直線運動時,在t1～t2時間內(nèi)的位移等于質點的v-t圖像與橫軸(t軸)圍成的封閉圖形的面積。在條件合適的情況下,利用求封閉圖形面積的方法來求解質點在某段時間內(nèi)的位移,往往能夠達到事半功倍的效果。下面舉例分析。

例1一質點從靜止開始做直線運動,第1s內(nèi)以加速度a=1m/s2運動,第2s內(nèi)以加速度a'=-1m/s2運動,第3s內(nèi)以加速度a=1m/s2運動,第4s內(nèi)以加速度a'=-1m/s2運動,如此反復,經(jīng)過100s此質點的總位移多大?

分析:因為質點在第1s內(nèi)從靜止開始做勻加速直線運動,在第2s內(nèi)做勻減速直線運動的加速度大小和在第1s內(nèi)做勻加速直線運動的加速度大小相同,所以第2s末質點的速度減小為0。質點按這樣的規(guī)律運動時,奇數(shù)秒內(nèi)都是做初速度為0的勻加速直線運動,偶數(shù)秒內(nèi)都是做末速度為0 的勻減速直線運動,其v-t圖像如圖1所示。根據(jù)對稱性可知,質點在每秒內(nèi)的位移大小相等,且方向相同,因此質點在前ns內(nèi)的總位移(n為正整數(shù))是它在某1s內(nèi)位移的n倍。本題既可以利用勻變速直線運動的位移公式求解,也可以利用v-t圖像與橫軸圍成的封閉圖形的面積求解。

圖1

解法1:(利用勻變速直線運動公式求解)質點在第1s 內(nèi)的位移x1==0.5m,質點在前100s 內(nèi)的總位移x總=100x1=50m。

解法2:(利用v-t圖像與橫軸圍成封閉圖形的面積求解)x總=nS△OAB=100××1s×(1m/s2×1s)=50m。

點評

求解這道題時,兩種解法的難易程度不分伯仲。

例2一質點從靜止開始做直線運動,第1s內(nèi)以加速度a=1m/s2運動,第2s內(nèi)以加速度a'=-0.5m/s2運動,第3s內(nèi)以加速度a=1m/s2運動,第4s內(nèi)以加速度a'=-0.5m/s2運動,如此反復,經(jīng)過100s此質點的總位移多大?

分析:本題與例1不同的是,質點從第2s開始,在以后的偶數(shù)秒內(nèi)的加速度方向雖然仍與奇數(shù)秒內(nèi)加速度的方向相反,但是大小不再和奇數(shù)秒內(nèi)加速度的大小相等,而只是它的一半,因此在質點的整個運動過程中,除了開始時質點的速度為0,其余各時刻質點的速度都大于0,情況相對復雜。求解本題利用v-t圖像與橫軸圍成封閉圖形面積的方法要比利用公式法求解簡單得多。

解:根據(jù)題目條件,作出質點的v-t圖像如圖2所示(為了便于比較,我們把例1中質點的v-t圖像也畫出來了),該圖像由鋸齒狀的折線組合而成,折線中向右上方傾斜的各線段的斜率相同,都是1(單位:m/s2),折線中向右下方傾斜的各線段的斜率也相同,都是-0.5(單位:m/s2)。因為折線中各線段的水平寬度相同,都是1s,所以鋸齒狀v-t圖像的向下凹陷的各點在同一條直線上;同理,鋸齒狀v-t圖像的向上凸起的各點也在同一條直線上。作出過鋸齒狀v-t圖像上向下凹陷各點的直線,容易證明,這條直線過坐標原點O。直線OP與鋸齒狀折線圍成的圖形由一排面積相等的三角形組成。選一組三角形(△ABD和△ABD)進行研究,因為△ABC與△ABD同底(以AB為底,AB的“長度”為m/s)且等高(均為1s),所以它們的面積相等。因為直線OP的斜率是,所以質點按題目所要求的規(guī)律運動ns之后的總位移(質點的v-t圖像與橫軸圍成的封閉圖形的面積)x總=。代入數(shù)據(jù)得x總=1287.5m。

圖2

點評

本題也可以利用勻變速直線運動的位移公式進行求解,但是解題過程要麻煩得多,同學們可以嘗試一下。

推廣:一質點從靜止開始做直線運動,第1s內(nèi)以恒定加速度a運動,第2s內(nèi)以恒定加速度a'運動(a'的方向與a相反),第3s內(nèi)以加速度a運動,第4s內(nèi)以加速度a'運動,如此反復,經(jīng)過ns此質點的總位移多大?(已知a>0,

解析

作出質點的v-t圖像如圖3甲中鋸齒狀折線所示?？勺C,折線中向下凹陷的各點在同一條直線上,且過坐標原點O。直線OP與鋸齒狀折線圍成的圖形由一排面積相等的三角形組成,選△OAD進行研究,將其放大,如圖3乙所示。因為AC=a,AF=-a'(a'<0),OC=CE=1s,所以BC=BF=a'),AB=AF+BF=-a'+(a+a')=(a-a'),tan ∠DOE=(a+a'),(a-a')。經(jīng)過ns,質點的v-t圖像與橫軸圍成的曲邊形的面積(質點的總位移)等于△ABO面積的n倍與直線OP下方底為n,高為(a+a')n的直角三角形的面積,即x總=n·(a-a')+n[(a-a')+n(a+a')]。

圖3

點評

以上三道題目都可以利用勻變速直線運動的位移公式進行求解,除了例1,另外兩個題目利用公式法求解的過程都非常復雜,而利用質點的v-t圖像與橫軸圍成封閉圖形面積的求解過程比較簡單。同學們在遇到與質點位移有關的問題時,可以根據(jù)具體情況,選擇不同的方法進行求解。

感悟與提高

1.一質點從靜止開始做直線運動,第1s內(nèi)以加速度a=1m/s2運動,第2s內(nèi)以加速度a'=0.5m/s2運動,第3s以加速度a=1m/s2運動,第4s內(nèi)以加速度a'=0.5m/s2運動,如此反復,經(jīng)過100s此質點的總位移多大?

2.一質點從靜止開始做直線運動,第1s內(nèi)以加速度a=1m/s2運動,第2s內(nèi)以加速度a'=-0.2m/s2運動,第3s以加速度a=1 m/s2運動,第4 s 內(nèi)以加速度a'=-0.2m/s2運動,如此反復,經(jīng)過多長時間此質點的總位移為332m?

參考答案:

1.x總=3762.5m。

2.t=40s。