孟 婧， 張 可， 魏 旸， 張曉鵬， 唐上朝， 王小丹

（西安交通大學(xué)能源與動(dòng)力工程專(zhuān)業(yè)國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，西安 710049）

0 引 言

在傳熱學(xué)研究中，對(duì)于復(fù)雜導(dǎo)熱問(wèn)題往往很難求得精確的理論解，由于導(dǎo)熱問(wèn)題與導(dǎo)電問(wèn)題的相似性，在二者的差分方程相似的情況下，可以通過(guò)特定的電路對(duì)導(dǎo)熱問(wèn)題進(jìn)行模擬求解。電路中的電阻對(duì)應(yīng)導(dǎo)熱問(wèn)題的熱阻，電位差對(duì)應(yīng)兩邊溫度差，電流則對(duì)應(yīng)熱流密度。通過(guò)簡(jiǎn)單的電學(xué)測(cè)量即可獲得導(dǎo)熱物體內(nèi)部的溫度分布。針對(duì)各導(dǎo)熱問(wèn)題制作相對(duì)應(yīng)的電路板，不僅受到實(shí)驗(yàn)耗材的限制，電阻數(shù)量即離散程度有限，大量的測(cè)量工作易產(chǎn)生誤差。將熱電比擬方法應(yīng)用于傳熱分析可使得復(fù)雜的傳熱網(wǎng)絡(luò)分析過(guò)程得到簡(jiǎn)化。黃曉齊［1-2］從電路觀點(diǎn)，給出了有內(nèi)熱源的無(wú)限大平板，在3 類(lèi)邊界條件下的模擬網(wǎng)絡(luò)電路。另外提出了利用交流電路對(duì)周期性導(dǎo)熱問(wèn)題進(jìn)行模擬，并給出了數(shù)學(xué)描寫(xiě)。張惟［3］根據(jù)熱電模擬的原理，對(duì)“757”雷達(dá)天線(xiàn)收發(fā)機(jī)提供了熱設(shè)計(jì)的新方法。Capizzi 等［4］基于熱電類(lèi)比的動(dòng)態(tài)模型對(duì)建筑物熱瞬變過(guò)程的溫度場(chǎng)進(jìn)行了模擬分析評(píng)價(jià)。胡申華［5］利用Excel 軟件，成功模擬了等溫和對(duì)流兩種邊界條件下，墻角的二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題。徐凱等［6］利用Matlab 軟件，采用多種方法對(duì)二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱、一維和二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)值模擬和求解。

Tina-II是一種基于SPICE 的電路設(shè)計(jì)和模擬仿真程序，可便捷地搭建并測(cè)試各種電路［7-10］，而且無(wú)任何器件數(shù)量限制，可大大提升離散程度，理論上可使得實(shí)驗(yàn)結(jié)果無(wú)限接近實(shí)際情況。同時(shí)也可極大程度地節(jié)省實(shí)驗(yàn)耗材，避免了大量重復(fù)性的電學(xué)測(cè)量工作。

本文利用Tina-II電路仿真軟件，以2 種邊界條件下的二維導(dǎo)熱問(wèn)題作為實(shí)例進(jìn)行對(duì)比分析，以期為《傳熱學(xué)》熱電比擬實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式的改進(jìn)提供一定的研究基礎(chǔ)。

1 仿真模擬原理及研究對(duì)象

1.1 熱電比擬實(shí)驗(yàn)原理

通過(guò)比較導(dǎo)電現(xiàn)象和導(dǎo)熱現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描寫(xiě)可以看出這2 種現(xiàn)象是類(lèi)似的。對(duì)于二維穩(wěn)態(tài)過(guò)程，物體溫度分布的導(dǎo)熱微分方程與導(dǎo)體中電位分布的微分方程均滿(mǎn)足拉普拉斯（Laplace）方程：

兩微分方程的類(lèi)同是熱電模擬法的基礎(chǔ)。具體模擬求解時(shí)，需按照模擬原則建立一個(gè)與所研究的導(dǎo)熱系統(tǒng)等效的導(dǎo)電系統(tǒng)，令電系統(tǒng)總電壓對(duì)應(yīng)于熱系統(tǒng)總溫差，則電壓分布代表熱系統(tǒng)溫度分布，電流強(qiáng)度代表熱系統(tǒng)的熱流量。

固體穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的電模擬法可分為連續(xù)式和網(wǎng)絡(luò)式兩種，連續(xù)式模擬法采用導(dǎo)電液體或固體（如導(dǎo)電紙）作電模型，網(wǎng)絡(luò)式模擬法則采用由電阻元件構(gòu)成的電阻網(wǎng)絡(luò)作電模型。在本文的實(shí)驗(yàn)部分采用的就是電阻網(wǎng)絡(luò)模擬溫度場(chǎng)的方法。

1.2 被模擬對(duì)象參數(shù)

（1）建筑物墻角（見(jiàn)圖1）幾何尺寸：l1＝2.2 m，l2＝3.0 m，l3＝2.0 m，l4＝1.2 m；

圖1 墻角結(jié)構(gòu)與參數(shù)

（2）墻角材料的導(dǎo)熱系數(shù)λ ＝0.53 W/（m·K）；

（3）等溫邊界條件：墻角外表面溫度t1＝30 ℃，內(nèi)表面溫度t2＝0 ℃；

（4）對(duì)流邊界條件：墻角外表面與周?chē)黧w的對(duì)流換熱表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h1＝10.6 W/（m2·K），流體溫度t1＝30 ℃，墻角內(nèi)表面與周?chē)黧w的對(duì)流換熱表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h2＝3.975 W/（m2·K），流體溫度t2＝10 ℃。

1.3 確定模擬條件

對(duì)于網(wǎng)絡(luò)模擬法而言，模擬以其差分方程相類(lèi)似為基礎(chǔ)。當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)時(shí)，對(duì)均勻網(wǎng)絡(luò)（見(jiàn)圖2（a）），二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的差分方程為

圖2 內(nèi)部節(jié)點(diǎn)圖

相應(yīng)的基爾霍夫電流方程（見(jiàn)圖2（b））為

只要滿(mǎn)足R1＝R2＝R3＝R4的條件，以上兩式就完全類(lèi)似。

式（1）、（2）適用于一切二維穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源的導(dǎo)熱和導(dǎo)電問(wèn)題的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)。但是，用電阻網(wǎng)絡(luò)來(lái)模擬具體的熱系統(tǒng)時(shí)，還必須使電-熱系統(tǒng)之間有相似的邊界條件。

其中等溫邊界條件是最簡(jiǎn)單的情況：要模擬熱系統(tǒng)的等溫邊界，只需要在電模型的邊界節(jié)點(diǎn)上維持等電位即可。

對(duì)于絕熱邊界條件（見(jiàn)圖3），可以證明，只要取R2＝R3＝2R1即可使邊界條件滿(mǎn)足相似原理。

圖3 絕熱邊界

對(duì)于對(duì)流邊界條件（見(jiàn)圖4）則只要取R2＝R3＝2R2及就可使邊界條件滿(mǎn)足相似原理。式中：h為對(duì)流表面換熱系數(shù)；l為熱系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)間距（即步長(zhǎng)）。

圖4 對(duì)流邊界

2 基于Tina-II模擬二維穩(wěn)態(tài)墻角導(dǎo)熱問(wèn)題

2.1 電路系統(tǒng)設(shè)計(jì)

基于上文中確定的模擬條件，設(shè)計(jì)了兩種邊界條件下（等溫邊界和對(duì)流邊界）的電路系統(tǒng)。其中，等溫邊界條件共設(shè)計(jì)了12 行，16 列。R1＝150 Ω，R2＝R3＝300 Ω；對(duì)流邊界條件下共設(shè)計(jì)了13 行，17 列。R1＝150 Ω，R2＝R3＝300 Ω，R4外＝75 Ω，R4內(nèi)＝200 Ω。其中，R4外為對(duì)流邊界的外側(cè)電阻，R4內(nèi)為對(duì)流邊界的內(nèi)側(cè)電阻。具體參數(shù)如圖5、6 所示。

圖5 等溫邊界條件下電路設(shè)計(jì)圖

圖6 對(duì)流邊界條件下電路設(shè)計(jì)圖

2.2 應(yīng)用Tina-II搭建仿真模擬電路

應(yīng)用Tina-II搭建了2 種邊界條件下的仿真模擬電路，在等溫邊界條件下（見(jiàn)圖7），直流電壓源U1等溫＝3 V，U2等溫＝0 V，分別對(duì)應(yīng)于墻內(nèi)外的溫度值，墻角外表面溫度t1＝30 ℃，內(nèi)表面溫度t2＝0 ℃；在對(duì)流邊界條件下（見(jiàn)圖8），直流電壓源U1對(duì)流＝2 V，U2對(duì)流＝0 V，分別對(duì)應(yīng)于墻體內(nèi)外表面周?chē)黧w的溫度值，外表面周?chē)黧w溫度t1＝30 ℃，內(nèi)表面周?chē)黧w溫度t2＝10 ℃。

圖7 Tina-II搭建的墻體等溫邊界仿真電路圖

圖8 Tina-II搭建的墻體對(duì)流邊界仿真電路圖

2.3 求解墻體內(nèi)部溫度分布

（1）獲得節(jié)點(diǎn)電壓。本文通過(guò)Tina-II的“直流分析”功能，直接獲得電路中所有節(jié)點(diǎn)的電壓值，該功能避免了單調(diào)的重復(fù)性測(cè)量工作，大大節(jié)省了時(shí)間成本，且得到的數(shù)據(jù)更為可靠，避免測(cè)量操作不當(dāng)引起的誤差。

（2）求解節(jié)點(diǎn)溫度。依據(jù)電路電壓值與實(shí)際溫度值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求得各節(jié)點(diǎn)的溫度值。

（3）繪制溫度分布圖（等溫線(xiàn)圖）。應(yīng)用Matlab將各節(jié)點(diǎn)的溫度值繪制成為等溫線(xiàn)圖，直觀明了地表示在兩種邊界條件下，墻體內(nèi)部溫度場(chǎng)的分布情況。

3 仿真模擬結(jié)果對(duì)比分析

等溫和對(duì)流兩種邊界條件，在相同初參數(shù)條件下，將分別由二維溫度場(chǎng)電模擬實(shí)驗(yàn)［9］、應(yīng)用Jacobi 迭代法［10］進(jìn)行數(shù)值模擬求解結(jié)果和基于Tina-II 仿真電路的方法得出的溫度場(chǎng)做了比較。

（1）等溫邊界。等溫邊界的比較如圖9 ～11 所示。圖9 為二維溫度場(chǎng)電模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖，圖10 為數(shù)值模擬求解結(jié)果圖，圖11 為采用Tina-II 軟件獲得的最終實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖。

圖9 等溫邊界電模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖10 等溫邊界數(shù)值模擬求解結(jié)果

圖11 等溫邊界Tina-II仿真模擬計(jì)算結(jié)果

（2）對(duì)流邊界。對(duì)流邊界的比較如圖12 ～14 所示。圖12 為二維溫度場(chǎng)電模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖，圖13 為數(shù)值模擬求解結(jié)果圖，圖14 為采用Tina-II 軟件獲得的最終實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖。

圖13 對(duì)流邊界數(shù)值模擬求解結(jié)果

圖14 對(duì)流邊界Tina-II仿真模擬計(jì)算結(jié)果

由上述3 種方法得到的溫度場(chǎng)對(duì)比可得：

（1）基于Tina-II 仿真模擬計(jì)算與電模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果和編程數(shù)值求解計(jì)算結(jié)果在數(shù)值上相差不大，在溫度分布圖上的變化趨勢(shì)一致，整體而言，3 種方法得到的結(jié)果差異小至可以忽略不計(jì)（見(jiàn)圖9 ～11 與圖12 ～14）。

圖12 對(duì)流邊界電模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果

（2）相比較而言，電模擬實(shí)驗(yàn)方法中采用焊接電阻網(wǎng)絡(luò)制作相對(duì)應(yīng)的電路板，不僅受到實(shí)驗(yàn)耗材的限制，電阻數(shù)量即離散程度有限，而且大量的測(cè)量工作易產(chǎn)生誤差。而基于Tina-II電路仿真軟件的模擬計(jì)算，不受限于模型的改變，可以根據(jù)需要自由搭建電路，實(shí)現(xiàn)多種模型及工況下的測(cè)量計(jì)算。且可實(shí)現(xiàn)更大離散度下的模擬計(jì)算。

（3）采用數(shù)值求解計(jì)算的理論結(jié)果與Tina-II 的模擬結(jié)果幾乎一致。二者均受到計(jì)算機(jī)性能的限制，但基于Tina-II模擬的計(jì)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于迭代法的計(jì)算量，在結(jié)果相差無(wú)幾的情況下，應(yīng)用Tina-II 模擬可以大大節(jié)省時(shí)間成本。

4 傳熱學(xué)熱電比擬實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式初探

實(shí)驗(yàn)是認(rèn)知科學(xué)規(guī)律的重要手段，實(shí)驗(yàn)教學(xué)在雙一流建設(shè)人才培養(yǎng)中占有重要的戰(zhàn)略地位［13-15］。傳熱學(xué)熱電比擬實(shí)驗(yàn)是應(yīng)用熱電相似原理的一個(gè)經(jīng)典實(shí)驗(yàn)，基于以上研究結(jié)果，針對(duì)目前熱電比擬實(shí)驗(yàn)教學(xué)中存在的實(shí)驗(yàn)對(duì)象單一，缺乏學(xué)生自主設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)等不足，同時(shí)結(jié)合傳熱學(xué)熱電比擬實(shí)驗(yàn)獨(dú)有的“類(lèi)比法”教學(xué)特色，構(gòu)建了基于Tina-II電路仿真軟件的傳熱學(xué)熱電比擬實(shí)驗(yàn)“三層階梯式”教學(xué)模式，在基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，掌握經(jīng)典二維墻角導(dǎo)熱問(wèn)題采用熱電比擬方法的基本原理以及邊界條件的處理方法，在綜合環(huán)節(jié)借助電路仿真軟件模擬搭建二維墻角問(wèn)題模型，并將仿真模擬結(jié)果與基于Matlab的數(shù)值求解結(jié)果（理論課教學(xué)中的大作業(yè)）、熱電比擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析研究。在自主設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)通過(guò)查閱文獻(xiàn)等方式，學(xué)生自主選擇感興趣的導(dǎo)熱問(wèn)題，建立物理模型，采用電路仿真軟件搭建測(cè)量電路，認(rèn)識(shí)不同導(dǎo)熱問(wèn)題的傳熱規(guī)律。以期通過(guò)多環(huán)節(jié)的實(shí)驗(yàn)教學(xué)流程及內(nèi)容設(shè)計(jì)，改進(jìn)現(xiàn)有傳熱學(xué)熱電比擬實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式。具體設(shè)計(jì)思路如圖15 所示。

圖15 傳熱學(xué)電模擬實(shí)驗(yàn)“三層階梯式”實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式設(shè)計(jì)思路

5 結(jié) 語(yǔ)

由于導(dǎo)熱與導(dǎo)電問(wèn)題高度的相似性，熱電比擬是目前解決大部分導(dǎo)熱問(wèn)題的一個(gè)經(jīng)典方法，但針對(duì)各個(gè)導(dǎo)熱問(wèn)題設(shè)計(jì)的電路模型不可通用，即每一種電路模型只能實(shí)現(xiàn)一種導(dǎo)熱問(wèn)題的模擬。本文利用Tina-II

電路仿真軟件模擬了兩種邊界條件下的二維墻角問(wèn)題，并將模擬結(jié)果與應(yīng)用數(shù)值法求解獲得的理論結(jié)果、熱電比擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，結(jié)果表明誤差極小，能夠較完美地實(shí)現(xiàn)電路板的模擬效果。

在此研究的基礎(chǔ)上，本文構(gòu)建了基于電路仿真軟件的傳熱學(xué)熱電比擬實(shí)驗(yàn)“三層階梯式”教學(xué)模式，以期在加深對(duì)“類(lèi)比法”理解的基礎(chǔ)上，達(dá)到拓寬學(xué)生思維，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和解決問(wèn)題能力的目的。

·名人名言·

只有知識(shí)才是力量，只有知識(shí)能使我們誠(chéng)實(shí)地愛(ài)人，尊重人的勞動(dòng)，由衷地贊賞無(wú)間斷的偉大勞動(dòng)的美好成果；只有知識(shí)才能使我們成為具有堅(jiān)強(qiáng)精神的、誠(chéng)實(shí)的、有理性的人。

——高爾基