劉天宇 曹佳慧 劉艷艷 高天附? 鄭志剛

1) (沈陽師范大學物理科學與技術(shù)學院,沈陽 110034)

2) (華僑大學信息科學與工程學院,廈門 361021)

基于Cao 的誤差棘輪模型,通過引入溫度因子進一步對反饋棘輪實施控制.本文詳細討論了溫度因子、溫度相位差和溫度頻率對耦合布朗粒子定向輸運的影響.研究發(fā)現(xiàn),溫度因子并不總是減小溫度反饋棘輪的定向輸運,這意味著在一定條件下溫度因子還可以增強反饋棘輪的定向輸運.此外,在小溫度振幅范圍內(nèi)耦合粒子的質(zhì)心平均速度和Pe 數(shù)隨溫度頻率的變化都呈多峰結(jié)構(gòu).這一結(jié)果表明,合適的溫度變化頻率能夠使反饋棘輪的定向輸運獲得多次的增強.本文所得結(jié)論不僅能夠啟發(fā)實驗上通過選取合適的溫度反饋信息來優(yōu)化布朗棘輪的定向輸運,還可為實驗上的數(shù)據(jù)分析與處理特別是誤差分析提供理論參考.

1 引言

生物分子馬達是將化學能轉(zhuǎn)化為機械能的酶蛋白大分子.實驗研究表明,生物分子馬達的定向運動充分參與了細胞內(nèi)的物質(zhì)輸運過程,如胞膜穿梭、信號傳導(dǎo)和病毒包裝等[1?3].最新的實驗研究還發(fā)現(xiàn),肌球蛋白的突變與擴張性或肥厚性的心肌病、視網(wǎng)膜色素變性和失聰?shù)劝Y狀有關(guān);動力蛋白的失活是導(dǎo)致男性不育的原發(fā)性纖毛運動障礙的原因之一.隨著生物分子馬達的高持續(xù)免洗快速檢測技術(shù)的日漸成熟,實驗者們可以把標記物(如熒光探針)快速移動到探測窗口,這一操作省卻了傳統(tǒng)檢測方法中標記物的清洗步驟,進而實現(xiàn)了生物分子馬達的快速定量探測[4].由此可見,生物分子馬達定向輸運的研究對生物學、醫(yī)學乃至未來分子機器的研發(fā)等都具有十分重要的意義[5?7].

理論上,生物分子馬達的定向運動都可用棘輪模型進行研究[8?12].然而,其中大多數(shù)的研究模型都是不依賴于系統(tǒng)狀態(tài)的開環(huán)棘輪.如Rosalie 和Fabrice[13]詳細討論了外勢變化時的開環(huán)棘輪,模型為.本模型描述了經(jīng)典過阻尼布朗粒子在外勢、外力和高斯白噪聲作用下的隨機運動,發(fā)現(xiàn)粒子流隨外勢驅(qū)動速度v的增加能夠呈現(xiàn)最大值.Pawel 和Felix[14]還研究了振蕩周期勢中的開環(huán)布朗棘輪,發(fā)現(xiàn)粒子流會隨外力的增加而增大.通過對開環(huán)棘輪的不斷探索,理論上人們又提出了依賴于棘輪狀態(tài)的閉環(huán)棘輪[15?18].對于這種控制策略,Wang 和Bao[19]對反饋閃爍棘輪進行了研究,耦合粒子的運動方程為該模型主要研究受反饋控制z(t)、外勢、耦合力及噪聲作用下布朗馬達的定向運動.這種閉環(huán)控制方式主要通過判斷耦合粒子受到外勢的平均作用而實現(xiàn)反饋控制.當耦合粒子受到的平均作用力大于零時,外勢處于打開狀態(tài)(z(t)1 );反之,外勢處于關(guān)閉狀態(tài)(z(t)0).Wang 和Bao[19]發(fā)現(xiàn)閃爍周期是影響粒子流大小的關(guān)鍵因素.此外,Feito 等[20]還詳細研究了反饋搖擺棘輪,發(fā)現(xiàn)在外力振幅和頻率的共同作用下粒子的定向輸運速度能夠呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu).這種閉環(huán)棘輪的整流作用主要依賴于系統(tǒng)隨時間的演化,也就是說外勢的調(diào)制與系統(tǒng)的狀態(tài)有關(guān).如果知道任意時刻粒子的位置,根據(jù)上述開關(guān)的控制方式布朗粒子能夠產(chǎn)生定向運動(幾率流).實驗上為了實現(xiàn)上述控制方法,研究者們通過監(jiān)測溶液中膠體粒子的狀態(tài),進而可以對外勢的打開或關(guān)閉實施反饋控制[21].然而,在大多數(shù)反饋棘輪的控制中,如文獻[15?18]的反饋控制,并沒有考慮外界因素對實驗操控的影響,特別是實驗上不可避免的隨機誤差、系統(tǒng)誤差和人為誤差等因素對實驗操作的影響.由此,為了進一步研究誤差因素對反饋棘輪的影響,Feito 和Cao[22]開創(chuàng)性地提出了誤差概率p這一思想,并討論了誤差概率存在下反饋棘輪的輸運行為.研究結(jié)果表明,粒子流會隨誤差概率的增加而減小.誤差概率p的引入打破了人們對固有反饋棘輪的認識,為反饋控制棘輪模型的研究提供了新方向.

然而,在早期關(guān)于誤差概率存在下反饋棘輪的研究中,Cao 的研究組僅討論了誤差概率p存在下棘輪的定向輸運問題,有關(guān)誤差概率究竟是由什么因素引起的,特別是p在實驗中會受哪些實際因素的影響并不是十分清楚.因此,深入探索p的產(chǎn)生條件以及由此帶來的影響是十分必要的.此外,實驗研究還發(fā)現(xiàn),生物分子馬達在微管間的運動要受介質(zhì)環(huán)境的作用,特別是溫度會對分子馬達的定向運動有較大影響.例如,Jayannavar 研究組[23]討論了熱浴環(huán)境中的反饋布朗粒子,發(fā)現(xiàn)熱噪聲強度是影響粒子流大小的主要因素.我們研究小組也討論了雙阱棘輪勢中的反饋布朗粒子,發(fā)現(xiàn)在一定條件下粒子流呈周期性變化,且這種周期性會隨熱噪聲強度的增大而變得越來越不明顯[24].最近的實驗研究表明,環(huán)境溫度越高,粒子的運動越劇烈,實驗上對粒子進行的反饋控制就越不容易實現(xiàn),因此誤差p的產(chǎn)生概率也會隨之增大.由此可見,上述和溫度相關(guān)的反饋控制棘輪的研究實例為分析不同溫度下布朗馬達的反饋操控問題提供了理論啟發(fā).進而深入討論由溫度變化帶來的實驗誤差概率的影響更具實際意義.這一理論研究還可為反饋棘輪的實驗操控、數(shù)據(jù)分析以及誤差分析等提供強有力的理論支撐.

本文主要研究了不同臨界溫度、溫度頻率和相位差等作用下反饋棘輪的定向輸運,討論了這些因素對耦合布朗馬達質(zhì)心平均速度、質(zhì)心擴散系數(shù)Deff及Pe數(shù)的影響.研究發(fā)現(xiàn),合適的溫度相位差、頻率和臨界溫度都能促進溫度反饋棘輪的定向輸運.此外還發(fā)現(xiàn),在溫度振幅及溫度頻率的共同作用下,耦合布朗粒子的定向運動會出現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu).本文所得結(jié)論不僅能為實驗上的反饋操控提供理論依據(jù),還可為后續(xù)的數(shù)據(jù)分析與處理、誤差來源分析與計算提供理論啟發(fā).

2 溫度反饋棘輪模型

本文主要研究受周期外勢V(xi)、相互作用勢U0(x1,x2)、反饋控制βi(t) 及噪聲作用條件下的耦合布朗馬達,其動力學行為可由過阻尼朗之萬方程描述:

其中,t時刻兩個耦合布朗粒子的位置分別為x1(t)和x2(t);γ是介質(zhì)的阻尼系數(shù);方程中(i1,2) 項表述的是耦合粒子受到的棘輪作用,V(xi) 是棘輪的周期外勢,其表達式為

式中L為棘輪勢的周期,V0是勢壘高度;U0(x1,x2)是兩個耦合布朗粒子的相互作用勢,表述如下:

其中k為耦合強度,a是彈簧的自由長度.

在生物分子馬達的實驗中,發(fā)現(xiàn)驅(qū)動蛋白馬達的步進具有持續(xù)性,并且馬達的兩個頭部是交替步進的,進而相應(yīng)的ATP 水解過程也會交替進行.例如,馬達前導(dǎo)頭的ATP 水解放熱提高了其所在的環(huán)境溫度,然后溫度再傳到后隨頭上并且能夠繼續(xù)進行ATP 水解.正是這種水解方式使結(jié)構(gòu)相同的馬達的兩個頭部間出現(xiàn)了溫度差和相位差.這一現(xiàn)象為研究處于不同細胞環(huán)境溫度下布朗馬達的輸運特性提供了參考.由此,方程(1)中高斯白噪聲ξi(t) 滿足如下統(tǒng)計特性[25]:

其中kB是玻爾茲曼常數(shù),Ti為布朗馬達頭部所處的環(huán)境溫度,其變化形式可寫為

式中A和T0是溫度變化的振幅,ω是溫度變化的頻率,θ是兩個溫度間的相位差.

方程(1)的βi(t) 是控制棘輪勢打開或關(guān)閉的有效開關(guān).一般情況下,當耦合布朗粒子受到棘輪的平均作用力大于零時,棘輪勢處于打開狀態(tài)(β(t)1);反之,當布朗粒子受到的平均作用力小于等于零時,棘輪勢處于關(guān)閉狀態(tài)(β(t)0).因此,通常的反饋棘輪的控制開關(guān)可表示為[16]

其中β(t) 是反饋棘輪的開關(guān),F(t) 是耦合布朗粒子在棘輪勢V(x) 中受到的平均作用力,即

然而,Cao 的研究組[22,26]在上述反饋棘輪基礎(chǔ)上引入一個新的想法,即存在p的誤差概率影響外勢開關(guān)的判斷,誤差概率p的取值范圍如下:

相應(yīng)地,棘輪勢的控制開關(guān)也將受到影響,不再是(8)式的形式.也就是說,當棘輪勢的平均作用力大于零時,棘輪的控制開關(guān)將并不完全處于打開狀態(tài),即存在p的誤差概率使棘輪處于關(guān)閉狀態(tài),則此時棘輪勢處于打開狀態(tài)的有效概率變?yōu)?(1?p) ;類似地,當棘輪勢的平均作用力小于等于零時,棘輪也并不是完全處于關(guān)閉狀態(tài),即存在p的誤差概率將使棘輪處于打開狀態(tài),則此時棘輪勢處于打開狀態(tài)的概率為p.根據(jù)上述分析,反饋棘輪處于打開狀態(tài)的概率變?yōu)?

其中σ(t) 是粒子處于不同位置時棘輪打開的實際概率.

由于分子馬達在生物體內(nèi)水解 A TP 時會受環(huán)境溫度的影響,溫度越高,粒子運動越劇烈,對粒子進行的反饋控制便越不容易實現(xiàn),相應(yīng)地實驗上也越容易產(chǎn)生隨機誤差.因此,本文提出利用溫度因子αi進一步對反饋棘輪的開關(guān)實施控制,αi的表達式為

式中TC是臨界溫度.也就是說,當?shù)趇個布朗粒子的環(huán)境溫度Ti小于等于臨界溫度TC時,棘輪的開關(guān)較易操作,且實驗上不容易產(chǎn)生誤差,此時溫度因子幾乎為0.然而,當環(huán)境溫度一旦大于臨界溫度TC時,布朗粒子的運動較為劇烈,相對低溫情況而言實驗上棘輪開關(guān)的操作容易產(chǎn)生誤差,且其溫度因子可表為Tmax為環(huán)境溫度Ti的最大值.

綜合(11)式與(12)式的分析,朗之萬方程(1)中總的有效控制開的概率可寫成如下形式:

式中fi(t)?V ′(xi)(i1,2),αip表示的 是誤差概率,即如果第i個布朗粒子受到外勢的作用力大于零,第i個粒子棘輪勢的狀態(tài)有 (1?αip) 的概率是打開的,同時還伴隨αip的概率是關(guān)閉的;類似地,如果第i個布朗粒子受到外勢的作用小于等于零,那么棘輪勢的狀態(tài)有αip的概率是打開的,同時還有 (1?αip) 的概率棘輪處于關(guān)閉狀態(tài).因此無論粒子處于空間中的什么位置,即粒子受到棘輪的作用無論是大于零還是小于等于零,實際上每個粒子所處的棘輪勢都有打開的概率.對于同一時刻、同一位置來說,每個粒子的反饋開關(guān)同時存在兩種狀態(tài),即:正確的開、錯誤的關(guān)或者正確的關(guān)、錯誤的開.因此,方程(1)描述的是誤差概率存在下受溫度信息控制的反饋布朗棘輪模型.

為了研究耦合粒子的定向輸運,本文采用耦合布朗粒子的質(zhì)心平均速度來描述反饋棘輪的輸運行為,即[27]:

其中,〈·〉表示系綜平均,S為耦合布朗粒子的演化時間.由于布朗粒子在一段時間內(nèi)會產(chǎn)生擴散現(xiàn)象,因此本文進一步引入質(zhì)心擴散系數(shù)Deff來描述耦合粒子位移的漲落,表述如下[28]:

對于溫度反饋棘輪來說,僅知道質(zhì)心擴散系數(shù)還不能對反饋棘輪的定向輸運進行全面了解,為此進一步引入Pe數(shù),如下式[11,29,30]:

Pe數(shù)描述的是棘輪的平均速度與質(zhì)心擴散系數(shù)的比,表示粒子的定向運動 〈Vcm〉 與隨機擴散Deff之間的競爭關(guān)系.當Pe<1,定向輸運只起很小的作用;當Pe>1 時,輸運以漂移為主.因此反饋棘輪的Pe數(shù)越大,表明耦合布朗粒子的定向輸運越強[13].

本文采用龍格-庫塔算法對方程(1)進行數(shù)值模擬,研究布朗粒子的定向輸運行為.文中模擬了8×103條軌道,每個軌道演化 1 04步,時間步長取10?3.無特別說明時,模型參數(shù)取γ1.0,V01.0,kB1.0,k300,L1.0,a0.3.為方便計算,所有物理量已經(jīng)過無量綱化處理.

3 結(jié)果與討論

3.1 溫度相位差 θ 的影響

為了研究反饋棘輪在不同溫度環(huán)境下的定向輸運,本文詳細討論了溫度棘輪的質(zhì)心平均速度〈Vcm〉、質(zhì)心擴散系數(shù)Deff及Pe數(shù)隨棘輪不同參量的變化行為.

如圖1(a)所示,本文詳細討論了不同溫度因子αi(i1,2) 下質(zhì)心平均速度 〈Vcm〉 隨溫度相位差θ的變化關(guān)系.由(6)式、(7)式和(12)式可知,對于固定的A,ω,T0和θ值,耦合粒子所處的環(huán)境溫度Ti有相同的最大溫度Tmax,進而有αi ∝TC.因此,對αi的研究相當于對臨界溫度Tc的研究.由(7)式可知,粒子的定向輸運隨相位差θ的增加呈周期性變化.為了便于分析,本文僅畫出質(zhì)心平均速度變化的一個周期圖像,如圖1(a)所示.有趣的是,當溫度因子較小時,如αi0.2,平均速度隨溫度相位差θ的變化曲線會產(chǎn)生一個波谷;隨著αi的增加,如αi0.3 時,〈Vcm〉 隨θ的變化會變?yōu)橐粋€波峰曲線;隨著αi的繼續(xù)增加,〈Vcm〉 的變化曲線出現(xiàn)了兩個完整的波峰,且隨αi的增加雙峰結(jié)構(gòu)越來越顯著,曲線峰值對應(yīng)θ的最優(yōu)值也向兩側(cè)移動.產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因主要是在溫度相位差θ和溫度因子αi這兩個和溫度有關(guān)的因子相互協(xié)作和競爭作用下,耦合粒子的定向運動將被促進或抑制,因而溫度反饋棘輪能夠存在一個或兩個極值.更為有趣的是,通過圖1(a)可看出,質(zhì)心平均速度〈Vcm〉關(guān)于θπ 對稱.由此可見,在溫度相位差θ和溫度因子αi的共同作用下,可通過選擇一個或多個合適的溫度相位差增強反饋棘輪的定向輸運.

圖1 (a) 質(zhì) 心平均速度 〈 Vcm〉,(b) 質(zhì)心擴散系數(shù) Deff 和(c) P e 數(shù)隨溫度相位差 θ 的變化曲線,其中 ω =0.1π,A=1.0 ,T0=0.7Fig.1.Curves of (a) the center-of-mass mean velocity 〈 Vcm〉,(b) the center-of-mass diffusion coefficient Deff and (c) Pe number varying with the phase different of temperature θ,where ω =0.1π,A=1.0 ,T0=0.7.

圖1(b)給出溫度因子αi不同時溫度反饋棘輪的質(zhì)心擴散系數(shù)Deff與溫度相位差θ的變化關(guān)系.研究發(fā)現(xiàn),Deff隨θ的增加先減小后增大,而且在這個變化過程中Deff的最小值幾乎都出現(xiàn)在θπ附近.產(chǎn)生這一結(jié)果的原因可由(7)式即T2T0[1+Asin(ωt+θ)]2進行分析.當θπ 時,溫度T2隨時間的變化能夠取到最小值,這意味著此時耦合棘輪的溫度最低,粒子越不容易發(fā)生擴散.因此,在相位差變化的一個周期內(nèi),溫度棘輪的擴散會在θπ 處出現(xiàn)最小值.此外,與圖1(a)類似,Deff曲線也是關(guān)于θπ 對稱.同時,研究還發(fā)現(xiàn),當θ固定時Deff并不隨αi單調(diào)變化,說明溫度因子αi對粒子的質(zhì)心擴散也具有顯著的影響.

圖1(c)表示不同溫度因子αi下耦合布朗粒子的Pe數(shù)和溫度相位差θ的函數(shù)關(guān)系.可以發(fā)現(xiàn)Pe數(shù)同樣不隨θ單調(diào)變化,與圖1(b)的變化趨勢剛好相反,當θ≤π時,Pe數(shù)隨著θ的增加而增大;當θ >π 時,Pe數(shù)隨著θ的增加而減小.因此溫度棘輪存在一個最優(yōu)θ值能使耦合粒子的Pe數(shù)達到最大.根據(jù)(16)式,Pe數(shù)表示平均速度與擴散系數(shù)Deff的比.如圖1(a)所示,在速度變化范圍不太大的情況下,近似有,因此Pe數(shù)圖像與Deff圖像的變化行為正好相反.這意味著可通過改變溫度相位差θ的方法來增強溫度棘輪的定向輸運特性.

3.2 臨界溫度 Tc 的影響

圖1 的研究結(jié)果已表明,溫度因子αi會對溫度棘輪的定向輸運產(chǎn)生影響.此外,根據(jù)(12)式可知,當環(huán)境溫度的最大值Tmax一定時,αi與臨界溫度TC成正比.因此,通過研究不同臨界溫度TC時的輸運情況可間接地討論αi對溫度反饋棘輪定向輸運的影響.此外,由(6)式、(7)式和(12)式可知,對于固定的A,ω和θ值,不同的溫度振幅T0將使耦合粒子所處的環(huán)境溫度Ti有不同的最大值Tmax,因此圖2 中每條曲線最右端TC變化范圍的最大值(臨界值)也是不同的.

圖2 (a) 質(zhì)心平均速度 〈 Vcm〉,(b) 質(zhì)心擴散系數(shù) Deff 和(c) P e 數(shù)隨臨界溫度 TC 的變化曲線,其中 ω =0.1π,A=1.0,θ=0.2πFig.2.Curves of (a) the center-of-mass mean velocity 〈 Vcm〉,(b) the center-of-mass diffusion coefficient Deff and (c) Pe number varying with the critical temperature TC,where ω=0.1π,A=1.0,θ =0.2π.

圖2(a)是不同溫度振幅T0作用下臨界溫度TC對棘輪平均速度 〈Vcm〉 的影響.可以看出,隨著TC的增加,溫度棘輪的平均速度先減小后增加且在某一合適的TC處 〈Vcm〉 產(chǎn)生一個波谷.同時,對于同一T0來說,當TC取最小值0 和相應(yīng)的最大值時,平均速度都能獲得最大值.產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因可由(12)式和(13)式分析得到.當TC0 時,αi0,此時反饋棘輪不存在誤差概率,即βi(t)1,進而反饋棘輪處于打開狀態(tài)的概率最大.因此,反饋信息棘輪的平均速度能夠產(chǎn)生最大值.同理,當TC取環(huán)境溫度的最大值Tmax時,即αi1,這種條件下反饋棘輪處于錯誤打開的概率也是最大的,進而粒子的質(zhì)心平均速度也能獲得最大值.然而,當臨界溫度在兩個極值區(qū)間變化時,粒子的平均速度必然會產(chǎn)生最小值,因此溫度棘輪的輸運會有波谷的產(chǎn)生.同時,研究還發(fā)現(xiàn),隨著T0的增加,溫度反饋棘輪的整體輸運也隨之增大,且粒子達到波谷時所需的TC也隨之增大.這是因為隨著T0的增大,粒子所處溶液環(huán)境的整體溫度升高,粒子運動更劇烈,進而粒子越過棘輪勢形成定向運動的概率增加,促進了棘輪中粒子質(zhì)心平均速度的增大.上述結(jié)果進一步表明,在一定條件下通過選取合適的臨界溫度TC(即實驗上合適的誤差概率的產(chǎn)生)還能夠使溫度反饋棘輪的質(zhì)心平均速度達到極值.這一結(jié)論可為實驗上反饋棘輪的數(shù)據(jù)分析特別是誤差分析提供一定的理論啟發(fā).

圖2(b)給出溫度振幅T0不同時耦合布朗粒子的質(zhì)心擴散系數(shù)Deff與臨界溫度TC的變化關(guān)系.研究發(fā)現(xiàn),Deff隨TC的變化先增加后減小,由此在Deff的變化過程中能夠產(chǎn)生擴散的最大值.同時,與圖2(a)比較可以發(fā)現(xiàn),Deff峰值對應(yīng)的TC值和〈Vcm〉 波谷對應(yīng)的TC值大致相同.上述現(xiàn)象可由擴散公式(15)式進行解釋.由于質(zhì)心擴散系數(shù)反映的是質(zhì)心漲落速度變化的物理量,從圖2(a)已知質(zhì)心平均速度的變化過程中將有極小值的產(chǎn)生,也就是說在整個 〈Vcm〉 從極大值到極小值或從極小值到極大值的變化過程中,質(zhì)心速度的變化存在最大值,相應(yīng)地,質(zhì)心漲落的速度即Deff也必然存在最大值,且Deff產(chǎn)生極值處的TC與相應(yīng) 〈Vcm〉 波谷處的TC大致相等.研究還發(fā)現(xiàn),隨著T0的升高耦合粒子的Deff也隨之增大,且達到最大Deff值所對應(yīng)的優(yōu)化臨界溫度TC值右移(變大).產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因是環(huán)境溫度越高,耦合粒子運動越劇烈,因此溫度棘輪的擴散現(xiàn)象也越顯著.

圖2(c)給出不同溫度振幅T0下耦合布朗粒子的Pe數(shù)隨臨界溫度TC變化的函數(shù)關(guān)系.顯而易見,圖2(c)與圖2(b)的曲線變化趨勢正好相反.結(jié)果表明,溫度棘輪的Pe數(shù)不隨TC單調(diào)變化,而會出現(xiàn)最小值.產(chǎn)生這一結(jié)果主要是因為Pe數(shù)的變化將依賴于平均速度與擴散系數(shù)的變化情況.根據(jù)圖2(a)與圖2(b)的分析,當 〈Vcm〉 達到最小值時Deff近似達到最大值,因此這兩個量的比值會有最小值的產(chǎn)生.特別地,隨著T0的增加,發(fā)現(xiàn)溫度反饋棘輪中粒子的Pe數(shù)也隨之降低,這一現(xiàn)象說明實驗上由于不可避免的誤差概率的存在,利用較小的溫度振幅T0便能有效促進耦合粒子的定向運動,從而達到增強溫度棘輪定向輸運的效果.

3.3 溫度頻率 ω 的影響

由于耦合布朗粒子的定向運動受溫度的影響較大,因此本文進一步討論了(6)式中不同溫度振幅A下反饋棘輪的定向輸運隨溫度頻率ω的變化情況,如圖3(a)所示.插圖給出A1.0 時反饋棘輪的整體變化行為.結(jié)果表明,整體上溫度棘輪的平均速度隨溫度變化頻率ω的增加先減小后增加最后趨于穩(wěn)定.這是因為當ω趨于0 時,在溫度Ti變化的每個周期內(nèi)耦合粒子接觸環(huán)境溫度的時間非常長,這樣會導(dǎo)致耦合粒子越過勢壘形成定向運動的概率增加,因此當ω→0 時平均速度較大;同理可分析,當ω在較小的范圍內(nèi)增加時,耦合粒子越過勢壘形成定向運動的概率減小,相應(yīng)地平均速度會變小.然而,當ω非常大時,粒子接觸環(huán)境溫度Ti的時間非常短暫且非常頻繁,近似地可看成耦合粒子處于恒溫環(huán)境中,這樣會使耦合粒子越過勢壘形成定向運動的概率達到最大,因此反饋棘輪的定向輸運能夠達到最大并趨于穩(wěn)定.由上述討論,可進一步分析當平均速度從最小值到最大值的變化過程中 〈Vcm〉 一定是增加的.因此,平均速度總體的變化趨勢是先減小后增加最終趨于穩(wěn)定.此外,更為有趣的是在小頻率變化范圍內(nèi),如圖3(a)所示,溫度棘輪的平均速度呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu),且隨溫度頻率的增加 〈Vcm〉 峰值變化的幅度逐漸減小.這種多峰結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生主要是溫度振幅A和溫度頻率ω這兩個溫度因子之間相互協(xié)作和競爭的結(jié)果,使耦合布朗粒子的定向輸運將被促進或抑制,因而溫度反饋棘輪能夠產(chǎn)生多個極值.

本文進一步研究了不同溫度振幅A條件下溫度反饋棘輪的擴散Deff隨溫度頻率ω的變化關(guān)系,如圖3(b)所示.研究結(jié)果表明,在圖3(a)所示的小頻率變化范圍,隨著溫度變化頻率ω的增加溫度反饋棘輪的Deff仍呈多峰結(jié)構(gòu).這一現(xiàn)象的產(chǎn)生同樣是由A和ω這兩個溫度因子之間的相互協(xié)作和競爭所導(dǎo)致.理論上同樣可從擴散公式(15)式進行分析,質(zhì)心擴散系數(shù)只和質(zhì)心漲落的速度有關(guān),因此一定條件下當平均速度呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu)時,擴散系數(shù)Deff也相應(yīng)地隨之產(chǎn)生多峰結(jié)構(gòu).也就是說,合適的溫度變化頻率ω也能使溫度反饋棘輪的擴散達到最強.此外,研究還發(fā)現(xiàn),對于同一ω值,Deff隨溫度振幅A的增加而增大,這是因為溫度越高反饋棘輪的擴散越明顯.

圖3 (a) 質(zhì)心平均速度 〈 Vcm〉,(b) 質(zhì)心擴散系 數(shù) Deff 和(c) P e 數(shù)隨溫 度頻率 ω 的變化曲線,其 中 T0=0.7,θ=0.2π,αi=0.8Fig.3.Curve of (a) the center-of-mass mean velocity 〈 Vcm〉,(b) the center-of-mass diffusion coefficient Deff and (c) Pe number varying with the temperature frequency ω,where T0=0.7,θ =0.2π ,α i=0.8.

類似地,由上述分析同理可得,溫度反饋棘輪的平均速度和Deff的多峰結(jié)構(gòu)同樣還會導(dǎo)致Pe數(shù)多峰結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生,如圖3(c)所示.此外,研究還發(fā)現(xiàn),對于同一ω值,Pe數(shù)隨溫度振幅A的增大而減小,這是因為在速度變化范圍不太大的條件下,近似地 有Pe與Deff成 反比.由于Deff隨A的增加 而增大,進而會導(dǎo)致Pe隨A的增加而減小.如圖1(b)與圖1(c),圖2(b)與圖2(c)所示,類似地也存在同樣的結(jié)論.此外,在小溫度頻率變化范圍內(nèi)反饋棘輪存在多個最優(yōu)溫度頻率值ωopt能夠使耦合粒子的Pe數(shù)達到極大值,這也意味著一定條件下溫度信息棘輪的定向輸運能夠獲得多次的增強.

4 總結(jié)

本文研究了處于不同溫度下反饋棘輪中耦合布朗粒子的定向輸運問題,詳細討論了溫度相位差、臨界溫度及溫度變化頻率對耦合粒子的質(zhì)心平均速度、擴散系數(shù)及Pe數(shù)的影響.研究發(fā)現(xiàn),溫度因子并不總是減小布朗粒子的定向輸運,這也意味著在某一變化區(qū)間內(nèi)溫度因子(即臨界溫度TC)的存在還能增強反饋棘輪的定向輸運.研究還發(fā)現(xiàn),在小溫度振幅范圍內(nèi),粒子的輸運隨溫度頻率的變化呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu),即存在多個溫度變化頻率能使耦合粒子的質(zhì)心平均速度、質(zhì)心擴散系數(shù)及Pe數(shù)都能達到極值,這也意味著合適的溫度變化頻率可以使反饋棘輪的定向輸運獲得多次增強.此外,本文研究還發(fā)現(xiàn),溫度反饋棘輪的質(zhì)心平均速度隨耦合強度k的增加能夠出現(xiàn)極值,這也說明合適的耦合強度能夠促進溫度反饋棘輪的定向輸運.由于篇幅所限,本文討論的僅是兩個耦合粒子的情形,且每個粒子的控制開關(guān)βi(t) 都不同.若系統(tǒng)的粒子數(shù)增加,實驗操作上每個粒子的誤差產(chǎn)生率會隨之變大,因此溫度誤差棘輪的粒子流也會相應(yīng)地減小.

此外,本文主要基于Cao 的開創(chuàng)性模型,即在誤差棘輪的基礎(chǔ)上通過提出溫度因子αi進而對反饋棘輪實施控制的.實驗上,在棘輪的具體操作過程中研究者可以通過監(jiān)控布朗粒子的實時溫度,并與環(huán)境的最大溫度進行比較,進而可以在原有反饋棘輪的控制方式中加入對溫度的判斷過程.通過這種實驗操控能夠深入了解溫度對誤差棘輪輸運的影響.然而,本文討論的內(nèi)容僅關(guān)注于分子馬達所處的溶液環(huán)境即溫度信息對誤差概率p造成的影響.當然,在具體實驗操作中還有其他因素,如外勢結(jié)構(gòu),時間延遲等因素仍會對誤差概率p(隨機誤差、系統(tǒng)誤差等因素)造成一定影響,這也是今后誤差棘輪研究的方向.本文所得結(jié)論不僅可以通過調(diào)節(jié)溫度信息(如臨界溫度、溫度振幅、頻率等參量)來優(yōu)化反饋棘輪的輸運特性,更可為實驗上的數(shù)據(jù)的分析與處理特別是誤差來源的分析與計算提供理論啟發(fā).