李姣軍，蔣 揚(yáng)，邱 天，左 迅，楊 凡

(重慶理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，重慶400054)

0 引 言

將多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)與頻譜利用率高、抗多徑干擾的正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)結(jié)合[1]可有效提高頻譜利用率。隨著天線數(shù)量的不斷增長(zhǎng)，熱噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響變得微乎其微，發(fā)送給目標(biāo)用戶的信息對(duì)其他用戶的干擾趨于消失[2-4]。為獲取這些增益，基站(Base Station,BS)側(cè)需要對(duì)發(fā)射的下行鏈路信道的傳輸信號(hào)做預(yù)編碼處理，這就需要BS預(yù)先獲得下行鏈路的信道狀態(tài)信息。下行鏈路的信道信息獲取越精確，做預(yù)編碼得到的效果就越好，越能有效克服干擾和失真。為減少信道估計(jì)中導(dǎo)頻使用開(kāi)銷，多數(shù)研究集中在時(shí)分雙工模式下，利用上下行鏈路互易性避免導(dǎo)頻開(kāi)銷偏大。然而，上下行鏈路的互易性并不嚴(yán)格成立，需要復(fù)雜的校準(zhǔn)，且相干時(shí)間有限，依據(jù)互易性獲得的下行鏈路信道狀態(tài)信息(Channel State Information,CSI)準(zhǔn)確度可能不高，難以滿足基站側(cè)預(yù)編碼的要求[5]。為達(dá)到5G中對(duì)于用戶體驗(yàn)速率的要求，超密集組網(wǎng)的趨勢(shì)不可阻擋，為此不可避免在相鄰小區(qū)使用非正交導(dǎo)頻，其帶來(lái)的干擾將嚴(yán)重影響信道估計(jì)準(zhǔn)確性，限制MIMO-OFDM系統(tǒng)的性能，因此利用短導(dǎo)頻進(jìn)行下行鏈路信道估計(jì)成為當(dāng)今的研究熱點(diǎn)[6-8]。

在寬帶通信系統(tǒng)中，信道多呈現(xiàn)稀疏性[9]，即信道具有很大的時(shí)延擴(kuò)展，但其能量集中在少數(shù)路徑上，其他路徑能量很小。由于信道所具有的特性，故可以利用壓縮感知技術(shù)，通過(guò)少量觀測(cè)值得到良好的信道估計(jì)性能，且較于傳統(tǒng)算法復(fù)雜度更低[10]。貪婪算法是壓縮感知重建算法中一類常用算法，相較于凸優(yōu)化方法，具有更低的復(fù)雜度，故而使用的更加廣泛。正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)作為貪婪算法的代表算法，常用于對(duì)稀疏信道進(jìn)行估計(jì)，但其在稀疏度較大時(shí)迭代時(shí)間長(zhǎng)[11]。為減少算法迭代次數(shù)，文獻(xiàn)[12]提出了一種變步長(zhǎng)分段自適應(yīng)匹配追蹤(Variable Step Size Stagewise Adaptive Matching Pursuit，VSStAMP) 算法，以索引集原子個(gè)數(shù)來(lái)做階段標(biāo)識(shí)，在不同階段使用變步長(zhǎng)來(lái)擴(kuò)展支撐集，以較快速度逼近真實(shí)稀疏度，但在稀疏度偏大時(shí)仍需較長(zhǎng)的迭代時(shí)間。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了一種冪函數(shù)稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤(Power Sparsity Adaptive Matching Pursuit,PSAMP)算法，該算法由稀疏度預(yù)估計(jì)和追蹤重構(gòu)兩部分構(gòu)成。與傳統(tǒng)信道估計(jì)算法相比，所提算法增加了冪函數(shù)試探進(jìn)行預(yù)估計(jì)，減少了后續(xù)迭代次數(shù)，并引入回溯機(jī)制，保證了良好的信道估計(jì)性能。

1 系統(tǒng)模型

1.1 壓縮感知基本理論

許多自然界的信號(hào)x∈N是可以被壓縮的，即它們可以用稀疏信號(hào)表達(dá)出來(lái)，通常做法是將其在合適的域進(jìn)行投影，這意味著x可以由N組基向量ψi(i=1,2,…,N)構(gòu)成正交基字典ψ=[ψ1,ψ2,…,ψN]表示：

x=ψθ。

(1)

此時(shí)，若θ最多有K(K?N)個(gè)非零元素，那么可以稱信號(hào)x在ψ域的投影是具有K稀疏特性的。若設(shè)計(jì)一個(gè)觀測(cè)矩陣Φ∈M×N，其與正交基字典相關(guān)性為零或最大限度小，用以觀測(cè)信號(hào)x，則可以得到測(cè)量值y∈M，用公式表達(dá)即

y=Φx。

(2)

又由式(1)可得

y=Φx=Φψθ=ACSθ。

(3)

式中：ACS為一個(gè)M×N維的矩陣，稱為感知矩陣。在已知y和ACS的前提下，可以利用l0范數(shù)意義下優(yōu)化求解上述問(wèn)題：

(4)

(1-δK)‖x‖2≤‖Φx‖2≤(1+δK)‖x‖2。

(5)

式中：參數(shù)δK∈(0,1)。式(4)的優(yōu)化方程的求解是一個(gè)NP-hard問(wèn)題，求解此類問(wèn)題存在困難，需要做相應(yīng)調(diào)整。文獻(xiàn)[10]的研究表明，當(dāng)觀測(cè)矩陣Φ具有參數(shù)的δK∈(0,1)的RIP性質(zhì)時(shí)，組合優(yōu)化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換成求解最小化l1范數(shù)問(wèn)題，兩者可以得到同樣的解。

(6)

1.2 MIMO-OFDM系統(tǒng)

考慮一個(gè)MIMO-OFDM系統(tǒng)，基站側(cè)配置有Nt根天線，接收端天線配有Nr根，使用K個(gè)子載波，其結(jié)構(gòu)框架如圖1所示。

圖1 MIMO-OFDM系統(tǒng)模型

假設(shè)系統(tǒng)傳輸模型為慢衰落頻率選擇性衰落信道，則可以看作在一個(gè)符號(hào)間隙內(nèi)信道參數(shù)幾乎不變。設(shè)插入導(dǎo)頻數(shù)量為M，分別放置在k1,k2，…,kM上，則在接收端第j根天線上收到的導(dǎo)頻為

(7)

(8)

則式(7)可以改寫為

(9)

Yj=Φhj+Nj，

(10)

進(jìn)一步寫成

Y=Φh+N。

(11)

由于信道沖激響應(yīng)h具有稀疏性，故可以應(yīng)用壓縮感知技術(shù)，利用接收信號(hào)Y和Φ重構(gòu)出h。根據(jù)估計(jì)出的h，可以計(jì)算出發(fā)射端預(yù)編碼的矩陣W。為方便得到預(yù)編碼矩陣，令

[H11,…,H1Nt,H21,…,HNr Nt]，

則式(11)可以改寫成

(12)

在采用迫零預(yù)編碼的情況下，相應(yīng)的加權(quán)矩陣可以表示成

W=H-1。

(13)

2 壓縮感知重構(gòu)算法

憑借壓縮感知技術(shù)，可以在使用少量導(dǎo)頻的情況下完成對(duì)稀疏信道h的估計(jì)，估計(jì)性能的好壞取決于導(dǎo)頻放置方式和壓縮感知重構(gòu)算法的設(shè)計(jì)。本節(jié)主要考慮壓縮感知重構(gòu)算法的設(shè)計(jì)，分為稀疏度預(yù)估計(jì)和追蹤重構(gòu)兩部分，其中導(dǎo)頻位置放置方式為隨機(jī)。首先給出算法的第一部分稀疏度預(yù)估方法，其思想是通過(guò)不斷擴(kuò)大支撐集進(jìn)行匹配測(cè)試，獲得的支撐集的勢(shì)略小于原始信號(hào)真實(shí)稀疏度。

2.1 冪函數(shù)試探思路

由文獻(xiàn)[13]可以給出下面預(yù)估計(jì)理論的命題：

由于上述結(jié)論是充分不必要的，因此實(shí)際使用時(shí)，通常使用其結(jié)論的逆否命題來(lái)判斷對(duì)稀疏度的預(yù)估計(jì)值是否過(guò)估計(jì)。

由上述定理可以得到對(duì)稀疏度進(jìn)行預(yù)估的方法：首先對(duì)K0取1，逐漸增加K0的值，直至上述不等式不成立為止。這樣計(jì)算相較于傳統(tǒng)算法可以快速得到一個(gè)稀疏度預(yù)估計(jì)值，但是逐次增加也會(huì)降低算法效率。本文引入分段思想，首先以冪函數(shù)進(jìn)行試探，令步長(zhǎng)自適應(yīng)試探次數(shù)變化，這樣設(shè)計(jì)可以快速逼近真實(shí)稀疏度。冪函數(shù)的基本形式如下所示：

Ki+1=Ki+「ib?×s。

(14)

式中：i=1,2,…,n為階段試探次數(shù)；起始步長(zhǎng)為s；b為控制搜索步長(zhǎng)參數(shù)，通常設(shè)置為0.5～0.7，這樣設(shè)計(jì)能在保證精度的同時(shí)以較快的速度擴(kuò)大支撐集來(lái)逼近信號(hào)真實(shí)稀疏度，從而得到一個(gè)粗略估計(jì)稀疏度值，再通過(guò)小步長(zhǎng)逐漸逼近得到準(zhǔn)確的稀疏度估計(jì)值。

2.2 算法步驟

算法的流程圖如圖2 所示。

圖2 算法流程圖

整體算法步驟如下：

輸入：感知矩陣A=XPWP，接收到的導(dǎo)頻信號(hào)yP，標(biāo)識(shí)閾值參數(shù)μ，原子篩選參數(shù)α

Step1 初始化：初始稀疏度估計(jì)值K0=1，初始索引支撐集Γ0=?，迭代步長(zhǎng)s，迭代次數(shù)n=1，初始試探次數(shù)i=1。

Step2 獲取索引集：Γ0=max(|ATyP|,K0)，即從|A*yP|選出前K0個(gè)最大值索引存入Γ0。

Step6 計(jì)算gn=ATrn-1，獲取索引集Jn=max(|gn|,2×card(Γn-1))，card(·)表示集合元素個(gè)數(shù)，即從|gn|選出前card(Γn-1)個(gè)最大元素對(duì)應(yīng)的索引構(gòu)成集合。

2.3 算法可行性說(shuō)明

算法將對(duì)稀疏度的預(yù)估計(jì)分為兩個(gè)過(guò)程，粗略試探過(guò)程和精細(xì)試探過(guò)程。在粗略試探過(guò)程，利用冪函數(shù)始終增長(zhǎng)但增長(zhǎng)速率緩慢的特性進(jìn)行粗略搜索，得到一個(gè)粗略的稀疏度估計(jì)值；在精細(xì)試探過(guò)程，以小步長(zhǎng)擴(kuò)大支撐集進(jìn)行精細(xì)搜索，可以保證獲得準(zhǔn)確的稀疏度預(yù)估值。稀疏度預(yù)估計(jì)為后面的重構(gòu)提供了可靠的先驗(yàn)信息，提高了算法效率，避免了傳統(tǒng)算法對(duì)步長(zhǎng)的依賴。

根據(jù)計(jì)算得到最相關(guān)的2k個(gè)原子構(gòu)成初始預(yù)選集，然后通過(guò)回溯剔除不理想原子，改善了估計(jì)結(jié)果，在保證算法重建精度的同時(shí)提高了算法抗噪性能。

在候選集無(wú)法達(dá)到要求時(shí)，需要引進(jìn)新的原子進(jìn)行重估，傳統(tǒng)做法是通過(guò)原子篩選，再引進(jìn)L個(gè)最相關(guān)的原子，隨著支撐集的增大，排序靠后的候選原子為不理想的原子概率也增大，引入這些原子會(huì)影響重建效果。為盡量引入理想原子提高重建精度，采用弱選擇原則，通過(guò)設(shè)置合適閾值來(lái)控制選擇原子數(shù)量，篩選出大于一定相關(guān)性的原子加入支撐集。已有實(shí)驗(yàn)表明[14]，弱匹配參數(shù)α在[0.4，0.8]之間取值時(shí)可以兼顧算法性能和運(yùn)算速度。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

為比較所提改進(jìn)的P-SAMP算法與OMP算法、VSStAMP算法及SASP算法在點(diǎn)對(duì)點(diǎn)MIMO-OFDM系統(tǒng)下行鏈路的信道估計(jì)的性能，本文進(jìn)行了仿真，驗(yàn)證所提算法在MIMO-OFDM的下行信道估計(jì)中的優(yōu)勢(shì)。仿真實(shí)驗(yàn)所使用的環(huán)境為AMD Ryzen 2600X CPU@3.6 GHz,16 GB RAM,Matlab 2018a。假設(shè)MIMO-OFDM的天線方案為4×4，即收發(fā)天線數(shù)目皆為4根，仿真時(shí)MIMO-OFDM系統(tǒng)采用16QAM調(diào)制，子載波數(shù)為512,信道長(zhǎng)度為60，并假設(shè)系統(tǒng)經(jīng)歷的是慢衰落，即信道在一個(gè)或者多個(gè)周期內(nèi)保持穩(wěn)定。為了簡(jiǎn)便，導(dǎo)頻放置方式為隨機(jī)放置。本節(jié)仿真中，各算法的迭代停止條件均設(shè)為‖rn‖2<ε，其中‖rn‖2代表當(dāng)前階段的殘差，ε取噪聲功率。采用歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error，NMSE)來(lái)衡量估計(jì)性能：

(15)

3.1 初始參數(shù)的確定

算法首先要對(duì)真實(shí)稀疏度K進(jìn)行預(yù)估，得到一個(gè)略小于K的估計(jì)值K0，因此對(duì)δK值的選取十分重要。選取合適的δK會(huì)使估計(jì)出的K0非?？拷鎸?shí)稀疏度K，以減少迭代次數(shù)提升算法效率。通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法考察約束等距常量δK對(duì)稀疏度預(yù)估計(jì)的影響，在0.25～0.4之間每隔0.05取一個(gè)值。圖3比較了K=20條件下不同δK值對(duì)稀疏度K的預(yù)估，可以看出，δK=0.35時(shí)稀疏度預(yù)估計(jì)的效果最好。同時(shí)，對(duì)δK取0.35仿真5 000次，得到預(yù)估計(jì)的K0的平均值為14.581 9，比較接近真實(shí)稀疏度K，因此以后的仿真都選取δK=0.35。在粗略試探過(guò)程階段，選取合適的搜索步長(zhǎng)參數(shù)b也十分重要，合適的b值能提高試探速度，因此需要考慮參數(shù)b對(duì)算法重建時(shí)間的影響。由表1可以看出，當(dāng)b=0.6時(shí)，單次平均運(yùn)行時(shí)間最短，故在以后的仿真都取b=0.6。

圖3 稀疏度預(yù)估計(jì)

搜索步長(zhǎng)參數(shù)b單次平均運(yùn)行時(shí)間/ms0.55.290.64.930.75.17

接下來(lái)通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法考查閾值參數(shù)α對(duì)信號(hào)重建性能的影響。α在0.4～0.7 之間每隔0.1取一個(gè)值，仿真結(jié)果如圖4所示，可見(jiàn)當(dāng)α= 0.7時(shí)，信號(hào)的重建恢復(fù)率最好，因此之后的仿真都取α= 0.7。

圖4 不同閾值參數(shù)α下PSAMP算法的重建恢復(fù)率

3.2 性能比較

圖5對(duì)比了三種算法在不同信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)下的NMSE性能表現(xiàn)，這里使用的導(dǎo)頻數(shù)為32。圖中OMP算法效果不好是因?yàn)橄∈瓒任醋鳛橄闰?yàn)信息輸入時(shí)，迭代次數(shù)不定，且其沒(méi)有回溯機(jī)制，無(wú)法剔除選中的不理想原子，致使算法結(jié)果不好；VSStAMP算法引入了變步長(zhǎng)思想，過(guò)估和欠估的概率下降，但擴(kuò)充候選集時(shí)未引入回溯思想，容易引入大量不理想的原子，影響算法精度；本文提出的PSAMP算法首先對(duì)稀疏度進(jìn)行了預(yù)估計(jì)，提高了算法效率，同時(shí)在第二階段采用回溯機(jī)制，得到了更好的信道估計(jì)性能。由對(duì)比結(jié)果可知，VSStAMP和PSAMP算法在0～5 dB信噪比之間時(shí)相比OMP有10 dB左右的優(yōu)勢(shì)，且隨著信噪比的增加優(yōu)勢(shì)依舊保持；在0～3 dB下，所提算法性能略低于VSStAMP算法。這是由于PSAMP算法在低信噪比下預(yù)估計(jì)易出現(xiàn)過(guò)估計(jì)的情況，進(jìn)而導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果不佳。在信噪比大于10 dB以后，三種算法的性能均隨著SNR的增大而提高，VSStAMP算法相較OMP算法有4 dB左右的優(yōu)勢(shì)，PSAMP算法的NMSE曲線比VSStAMP低3 dB左右，本文提出的PSAMP算法優(yōu)于其他算法。

圖5 OMP算法、VSStAMP算法和PSAMP算法在不同信噪比下的均方誤差

在移動(dòng)通信系統(tǒng)中，接收端收到的信號(hào)通常因受到信道的影響而失真，因而需要進(jìn)行信道估計(jì)來(lái)均衡信道帶來(lái)的影響。因此，比較準(zhǔn)確的信道估計(jì)能降低系統(tǒng)的誤碼率。圖6給出了導(dǎo)頻數(shù)為32時(shí)，所采用的三種算法在不同信噪比下的誤比特率性能。從仿真結(jié)果可以看出，PSAMP算法和VSStAMP算法相較于OMP算法有明顯優(yōu)勢(shì)，本文提出的PSAMP算法相較于VSStAMP算法在0～10 dB信噪比區(qū)間性能相近，但隨著信噪比的增加，為系統(tǒng)帶來(lái)的性能改善逐漸明顯，有更低的誤比特率性能；三種算法的曲線在高信噪比處都出現(xiàn)了不光滑的現(xiàn)象，這是對(duì)導(dǎo)頻符號(hào)選取為隨機(jī)導(dǎo)致的，后續(xù)的研究將對(duì)導(dǎo)頻符號(hào)的選取進(jìn)行優(yōu)化。

圖6 OMP、VSStAMP和PSAMP算法在不同信噪比下的誤比特率

表2所示的是不同信道估計(jì)算法的單次平均運(yùn)行時(shí)間。由表2可知，OMP 算法的運(yùn)行時(shí)間最短，但在稀疏度未知的情況下估計(jì)性能較差；本文所提的PSAMP算法和文獻(xiàn)[12]的VSStAMP算法因存在回溯機(jī)制，因而運(yùn)行時(shí)間比OMP算法的運(yùn)行時(shí)間長(zhǎng)。本文提出的PSAMP算法在重構(gòu)之前設(shè)計(jì)了一種冪函數(shù)預(yù)估計(jì)過(guò)程，使得后續(xù)重構(gòu)階段可以更快地逼近真實(shí)稀疏度，因此算法的運(yùn)行時(shí)間低于VSStAMP 算法。

表2 不同信道估計(jì)算法單次平均運(yùn)行時(shí)間

4 結(jié)束語(yǔ)

超密集組網(wǎng)不可避免在相鄰小區(qū)使用非正交導(dǎo)頻，其帶來(lái)的干擾將嚴(yán)重影響信道估計(jì)的準(zhǔn)確性。針對(duì)該問(wèn)題，本文提出了一種使用短導(dǎo)頻的冪函數(shù)稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤(PSAMP)算法，實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證了其有效性。

本文利用壓縮感知技術(shù)對(duì)稀疏信道支撐集進(jìn)行追蹤時(shí)，對(duì)導(dǎo)頻符號(hào)選取為隨機(jī)，盡管它可以與大部分正交基字典保持著不相關(guān)，但是仍存在小概率相關(guān)性較大，影響數(shù)據(jù)的傳輸。故在實(shí)際應(yīng)用中，不能在每次數(shù)據(jù)傳輸之前隨機(jī)選取導(dǎo)頻符號(hào)，應(yīng)在系統(tǒng)設(shè)計(jì)的階段就將對(duì)導(dǎo)頻符號(hào)固定下來(lái)，這對(duì)壓縮感知技術(shù)在實(shí)際中的運(yùn)用具有重大的意義。